Вселенная как тепловая машина

2

ВСЕЛЕННАЯ
КАК ТЕПЛОВАЯ МАШИНА

Доктор физико-математических наук
И. Д. НОВИКОВ

Мы живем в распирающейся Вселенной. Этот факт был предсказан теоретически советским математиком А. А. Фридманом и подтвержден в конце 20-х годов американским астрофизиком Э. Хабблом.

Нестационность окружающей нас мира имеет определенное значение для физических процессов во Вселенной. В этой статье мы рассекем о некоторых общих закономерностях телловых процессов в макромире. Применение открытых в прошлом веще законов термодинамики ко всей Вселенной приводило к странам выводам, порой к парадоксам. И мы рассмотрим здесь некоторые из них. Но прежде чем обращаться к этим проблемам, напомним очень кратко суть теоретического предсказания Фридмана.

Основная мысль работы Фридмана генциально проста и состоит в следующем. В очень больших масштабах (как теперь известно, в масштабах более многохотен миллионов световых лет) материя в виде галактики, их скопленный распределена в пространстве однородно. Взаимное приятие гигантских масс неизбежно приведет к их движению и взаимному перемешению. Приводит это движение к распределению или скатанию системы — зависит от начальных условий, от того, например, сообщили ли какие-то силы начальные скорости разлегавався вшеству, из которого потом образовались галактики (т. е. произно-
Настоящая статья появилась в ходе работы автора над книгой «Как взорвалась Вселенная». Книга будет выпущена в свет издательством «Наука» в серии «Виблотечека «Квант» в этом году. Очеень советуем приобретти эту книгу. Из нее вы узнаете о современных представлениях космологии, о проблемах, стоящих перед учеными в этой области.

шел ли в прошлом своеобразный взрыв Вселенной), или, скажем, начальное состояние вещества было очень разреженным, и силы взаимного тяготения стягивали его, заставляя скиматться со все нарастой скоростью.

А. А. Фридман использовал в своих работах релятивистскую теорию тяготения А. Эйнштейна, обобщившую на случай сверхсильных полей закон всемирного тяготения И. Ньютона. Однако важные закономерности его выводов можно посянить и в рамках теории Ньютона, не обращаясь к сложной теории Эйнштейна.

Нам потребуется основной закон движения масс Вселенной. Этот закон можно вывести из следующих сообщений. Расмотрим во Вселенной большой сферической объем с радиусом $R$ много световых лет (так чтобы распределение матрицы можно было считать однородным). Обозначим его массу $M$. Из наблюдаемой известно, что галактики удаляются друг от друга, т. е. наш объем распирается, его граница удаляется от центра. Как с течение времени будет меняться скорость $v$ этого распирания?

Согласно закону Ньютона на галактику массой $m$ ($m \ll M$), находящуюся на границе нашего объема, со стороны всех неограниченного пространизации внешних масс, учитывать не надо, так как они направлены в разные стороны и при сложении точно урав-
2

3

новшивают друг друга (мы этого доказывать здесь не будем). Теперъ уже легко написать закон движения галактики на границе шара, а значит и закон движения самой границцы шара. Для этого запишем полную энергию $E$ галактики. Она складывает из кинетической энергии $E_\kappa = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии тяготения $E_\pi = -\frac{GMm}{R}$ (заметьте, что энергия тяготения отрицательна):

$$E = E_\kappa + E_\pi = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{R}.$$

Подчеркнем, что в силу закона сохранения энергии полная энергия $E$ не меняется — $E = \text{const}$.

Из формулы (1) видно, что если $E > 0$, то радиус шара может увеличаться неограниченно — $v$ при этом хотя и уменьшается, но не обращается в нуль. При $R \to \infty$ энергия $E$ целиком определяется кинетической энергий движения. Если же $E < 0$, то тяготение останавливает расширение шара, $v$ обращается в нуль при неокотором максимальном значении радиуса $R_{\text{max}}$ —

$$R_{\text{max}} = \frac{GMm}{|E|},$$

а затем шар начинает скиматться.

Так как наш шар был выбран произвольно, а распределение материи во Вселенной однородно, то движение границцы шара по существу описывает движение любых больших масс во Вселенной. Перешитем уравнение (1), поделив его на $m$, в виде

$$\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = \text{const}',$$

где $\text{const}' = E/m$. Это уравнение описывает с течением времени расстояний $R$ между любыми далими галактиками или частицами вещества во Вселенной (в прошлом, когда галактик еще не было). Таким образом, уравнение (3) есть уравнение диамники Вселенной.

К сказанному добавим следующей. Согласно теории Эйнштейна тяготение меняет геометрическое свойство пространства, «искривляет» его. Если const’ < 0 ($E < 0$), то геометрия оказывается подобной геометрии на сфере, паралельные прямые пересекаются, а само пространство оказывается замкнутым, имеющим конечный объем. Искривленность пространства задается «радуком кривизны мира» $l$, а полный объем замкнутой Вселенной по порядку величины есть $V \sim l^3$. Изменение $l$ с течением времени описывается, как и изменение других расстояний во Вселенной, законом (3).

Прослеживая изменение $R$ или $l$ в прошлом, мы приходим к заключению, что расширение началось с формирования точных размеров и бесконечной плотности материи $\varrho$ — как говорят, с сингулярного состояния. Мы употребили слово «формально», чтобы поддержнуть, что это заключищее — лишь математическая идеализация, либо при очень больших плотности (как показывают оценки, при $\varrho \approx 10^{94}$ г/cm$^3$) должны проявляться новые физические закономерности. В частности, в этих условиях должны появиться и которые обусловили возникновение сил отталкивания, вызвающих начальный взрыв Вселенной. Естественно возникает вопрос: а что было до того? Однакочно это ответа пока нет, и специальы расматривают здесь разные возможности.

Все сказанное выше позволяет нам представить эволюцию Вселенной в прошлом следующим образом. До сингулярного состояния произходило скатание Вселенной, плотность материи увеличалась, и в конце концов сверхплотное сингулярное состояние. Законы природы в этом состоянии мы знаем еще очень плохо, точнее — только договораемся о неокторых из них. В этом состоянии, верятно, возникнет огромные силы gravитационного отталкивания, которые останавливают скатание Вселенной и заставляют ее начать расширяться. В этой расширяющейся Вселенной мы и живем сегодня.

Возможен ли такой «сценарий» эволюции Вселенной?

4

В принципие — возможен. До недавнего времени некоторые специалистисы относились к нему весыма благосклонно. Вероятно, это отношение связано в первую очередь с чисто субъективными причинами. Действи-тельно, в таком сценарии время длит-

4

6

согласии с нашими привчными и «наглядными» представлениями). Правда, в простейшем варианте есть заметный дефект. А именно: мы считаем, что в дальнейшем в сельневая схемале из беконечного разреженного начального состояния. Уже очень приитивно и «наивно» выглядают это начальное состояние беконечного малой плотности.

Указанный «дефект» пытаюсь убрать следующим образом. Будем считать, что постоянная const’ в уравнения (3) меньше нуля. тогда расширение В сельной должно сменится скатнем. Если теперь мы положим, что после скатия до сингуляного состояния наступает новое распределение (так ли это — мы пока не знаем), то это означает повторение цикла: новое распределение В сельной, затем новое сжатие и т. д. Таким образом, мы получили пульсирушую модель В сельной. На первый взгляд эта модель выглядит очень привлекательно. Казалось бы, в ней нет истока «реки времени», В сельная существует вечно. Кроме того, нет и странного состояния беконечного малой плотности в дальнейшем, а вместо этого представка картина в среднем неизменной вечной В сельной с беконечным числом циклов пульсации.

Но оказалось, что дело обстоит вовсе не так просто, и подобный сценарий эволюции В сельной wird ли может осуществляться в действительности. Трудности, которые возникают в такой теории, уходят своим корнями в середину прошлоого века.

В 1850 году немецкий физик P. Клаузиус и в 1851 году независям от него английский физик У. Томсон открыли закон, известный как второе начало термодинамики. В формулировке Томсона этот закон звучит следующим образом: в природе невозможен процесс, единственный результатом которого была механическая работа, совершенная за счет охлаждения теплового резервуара. Отсюда следовало, что невозможное полное превращение тепла в механическую энергию. Это означает, что если изолировать какую-либо систему, то в конце концов в этой системе все виды энергии перейдут в теплло, а теплло равномерно распределится по всей системе — наступит, как говоря, термодинамическое равновесие.

На практике мы прекрасно знаем проявление этого закона. В механических системах тривиального к переходу механического энергии в теплло. В тепловых машинах мы можем, правда, переводить теплую энергию в механическую работу. Но для этого обязательно надо поддерживать разницу в температуре нагреваателя и холодильника, иначе машина работает не будет, а на это надо затрачивать энергию, и часть затрачиваемой энергии при этом также переходит в теплло. Так происходит непрерывное накопливание тепла, переход всех видов энергии в теплло. Позже Клаузиус дал математическое выражение второго начала термодинамики.

Томсон и Клаузиус поняли важнейшее значение открытого ими закона термодинамики для эволюции всех В сельной. Действительно, все В сельная должна рассматривать как изолированная система, и для нее обмен энергий сками-то «другими системами» невозможен. Значит, во В сельной все виды энергии должны перейти в конце концов в теплло, теплло равномерно распределится по В сельной. Хотя закон сохранения энергии при этом не нарушается, энергияникуда не исчезает и остается в виде тепловой энергии, но она оказывается «бессильной», лишенной возможности превращения в механическую работу, и все макросопперечисление движения во В сельной прекратятся. Такое мрачное состояние получило «тепловой смерти» В сельной. Читатель, наверное, согласится, что название этого очень хорошо характеризует саму субъектно состояние. Но В сельная, в которой мы живем, явно не находится в состоянии «тепловой смерти»! Отсюда направилась теологические выводы: либо В сельная существенно недолго и не пришла еще к состоянию «тепловой смерти», либо «кто-то» состояны вместе в эволюцию В сельной, не давая ей развивать к состоянию «тепловой смерти».

7

Проследим, как эти劈ные предсказания определились науковой. Термодинамические идеи Клаузиуса и Томсона были развиты авторским физиком Л. Больцманом. Он показал, в чем заключается смысл второго начала термодинамики. Тепло является по существу хаотическая движением atomов или молекул, составляющих матерIALные тела. Поэтому переход энергии механического движения отдельных частей системы в тепло ознакомлен переход организованного движения в хаотическое, увеличенное беспорядка в системе. То же можно сказать и о других видах движения материи. Такое увеличение беспорядка неизбежно в силу статистических законов, если только на системе не влияет извне, не способствует сохранению порядка.

Больцман показал, что метод беспорядка в системе является величины, введенная еще Клаузиусом, — энтропия. Чем больше хаос — тем больше энтропия. Переход отдельных видов движения материи в тепло ознакомлен рост энтропии. Если все виды энергии перешли в тепло, а тепловомер распределилось по системе, то это состояние максимального хаоса уже не меняется с течение времени и соответствует максимуму энтропии.

Но такая интерпретация означает, что второе начало термодинамики не всегда выполняется абсolutно точно, возможно отклонения от него. Действительно, смысл этого закона состоит в том, что изолированная система переходить во все более вероятное состояние хаотического движения частичек, ее составляющих. Но в ходе перехода возможные отклонения, флуктуации. Так, например, в каком-то небольшим объеме газа atoms при стольновениях с содержими могут случайно приобретти одинаково направленные импульсы, т. е. могут случайно начать двигаться в одном направлении. Это будет уже не тепловое (хаотическое) движение, а направление движения какого-то объема газа в целом. Тепловое движение частиц случайно перешло в направление механического движения.

Но, разумеется, такие случаи очень редки и маловероятны. И чем больше объем в газе мы будем брать, тем с меньшей вероятностью с ним могут случайаться подобыные казы. В целом, за исключением очень редких и небольших флуктуации, энтропия изолированной системы всегда растет, и система приходит в наиболее вероятное состояние максимума энтропии, в котором должна превышать неограниченное долго. Но все же, хотя и редко, то в одном месте системы, то в другом по закону случай будет проискать отклонения от этого состояния, как правило очень небольшие.

Вот на этом пути Больцман и искал выхода из мрачного заключания о «тепловой смерти» Вселенной.

Бессонченая Вселенная, говорил он, вечно пребывает в наиболее вероятном состоянии термодинамического равновесия с максимальной энтропией. Но в любом объеме ее возможны редкие отклонения от этого состояния — флуктуации. Правда, в больших объемах заметные флуктуации очень редки. Но если у нас в запасе бесконечное время, то мы можем доказатьсколько большой случайной флуктуации в огромных объемах. Вот в такой гигантской флуктуации, согласно Больцману, мы и живем.

Флуктуация гипотеза Больцмана была единственной (с точки зрения тогдашней физики) попыткой опровержения вывода о «тепловой смерти» вплоть до открытий Фридмана и Хаббла.

Эти открытия в корне изменили наши представления о том, к какому состоянии направлена эволюция проессов во Вселенной. Прежде всего, выяснили, что определенную роль в эволюции Вселенной играет тяготение. В рассудении о «тепловой смерти» тяготение вообществе игнорировалось. Между тем этого делать никак нельзя.

В общих рассудениях о переходе всех видов энергии в тепло и замирании в результате этого всех процессов в изолированной системе полагалось, что обще количество энергии системы не меняется. Конечно, скажет

8

читатель, это предположение справедливо — ведь система изолирована. Откуда же может взяться дополнительная энергия, способная поддерживать движение в системе?

Разумеется, закон сохранения полной энергии независим. Но мы не учили в наших рассудениях энергию тяготения. А эта энергия своеобразна — она отрицательна (см. формулу (1)). Как это сказывается на произходящих во Вселенной процессов? Попробуем разобраться в этом на таком примере: рассмотрим газовый шар, между частицами которого действуют силы тяготения. Предположим, что сначала вещество шара было холодное и было рассеяно в пространстве, взаимное тяготение между частицами было крайне мало, и gravитационная энергия вещества практически была равна нулю. Пусть постепенно под действием хотя и слабого тяготения вещество собирается в шар, и этот шар скнимается все дальше тяготением. Ясно, что вещество шара при этом набирает все большую скорость и, следовательно, все большую кинетическую энергию движения. Эта положительная энергиянарастет за счет тяготения. Но в силу закона сохранения энергии, полная энергия системы должна сохранять. Значит рост положительной энергии движения сопроводяется уменьшением потенциальной энергии тяготения, т. е. ростом ее абсолютной величины (ведь $E_\pi < 0$). Теперь понятно, что при сканитии системы положительная часть ее энергии может возрастать за счет тяготения. Вот это обстоятельство раныше, когда на тяготение не обращали должного внимания, и не учитывались. Раз положительная часть энергии изолированной системы может возрастать, то нарастание энергии (которое обязательно произходит) не обязательно ведет к замиранию процессов.

Таким образом, вывод о «тепловой смерти» в том виде, как он делался в середине прошло века, когда не принимался во внимание факт несущонарности Вселенной, — неправилен.

Посмотрим теперь, как конкретно «работает» тяготение в модели пульсирующей Вселенной, определяя выбор о замирании всех макросоппических движений в мире.

В пульсирующей Вселенной в каждом цикле происходит увеличение энергии, накопление теплла (согласно второму началу термодинамики, справедливо к которым, конечно, не нарушается). накопление тепловой энергии происходит в больших масштабах, например, при свечении звезд, перерабатывающих запасы ядерной энергии в изучение. Будем предполагать, что в сигнлярном состоянии энергия не может резко уменьшаться.

Энтропия нарастает от цикла к циклу. На первый взгляд, это должно быть бы приводить к замиранию пульсации, к уменьшению их амплитуды. Казалось бы, картина должна быть подобна затуханию колебаний мятника, когда трене в его подвесе постепенно переводит энергию колебаний в телло. На самом деле картина пульсации в такой модели Вселенной выглядает совсем иначе — амплитуда пульсации Вселенной увеличивается!

Покажем это.

Обратимся прежде всего к формуле (3). В каждом цикле в момент максимума расшириения Вселенной (см. формулу (2)), когда расшириение сменяется сжатым, скорость $v$ движения вещества шара на мгновение обращается в нуль. Приравнивая $v=0$ в выражении (3), мы получим условия для этого момент: $\frac{GM}{R_{\max}} = -\text{const}'$. (Напомним, что в нашей модели const’<0.) Теперь подставим в это выражение $M = \frac{4}{3} \pi R_{\max}^3 \varrho_*$, где $\varrho_*$ — плотность вещества в момент максимума расшириения. После этого получим: $\varrho_* R_{\max}^2 = \text{const}''$. Наконец вспомним, что радиус кривизны мира $l$ изменяется со временем точно так же, как и радиус шара $R$. Поэтому и для радиуса кривизны $l_{\max}$ — в максимуме расшириения Вселенной — мы

(Окончание см. на с. 20)

20

1973 году*). Случай графа $K_1$ еще дальше от решения. Фолкман в работе, опубликованной посмертно, доказал, что такой граф Рамсея существует. Однако число вершин графа, который дает конструкция Фолкмана, столб громадно, что его невозможно даже записать, не прибегая к специальным ухищреням. Эрдел

*) Волгарские математики Н. Г. Хадживанов и Н. Д. Ненов постройли пример 15-вершинного графа; они же доказали, что требуемый граф не может содержать менее 12 вершин.

Вселенная как тепловая машина

(Начало см. на с. 2)

должны записать

$$\varrho_* l_{\max}^2 = \text{const}'''.$$ (4)

Мы уже говорили, что объем замкнутого мира $V \approx l^3$. По порядку величины этот объем в максимуме расширяния равен $l_{\max}^3$, а полная масса материи М во Вселенной —

$$\varrho_* l_{\max}^3 = M.$$ (5)

Поделив (5) на (4), получим:

$$l_{\max} = \frac{M}{\text{const}'''}$$.

Итак, $l_{\max}$ пропорционально полной массе материи во Вселенной М. Но масса М складывается из суммы масс частиц, энергии их движения и энергии фотонов. Тепловая энергия все время увеличивается (согласно второму закону термодинамики). Это означает, что будет расти и М, а значит — и пропорциональная ей величина $l_{\max}$, характеризующая амплитуду пульсаций Вселенной. Таким образом, имеет место не затухание пульсаций, а их раскачка! Такой вывод был получен

$$\text{Создание выводу американского физика P. Толмена, так меняется во времени радиусных Вселенной.}$$

в 1934 году американским физиком P. Толменом. Откуда берется энергия на раскачку? Очевидно, раскачка идет за счет отрицательной энергии гравиатического поля (так что сумма положительного энергии и отрицательной не меняется, закон сохранения энергии выполянется).

Возможно ли, что наша реальная Вселенная описывает рассмотренной модель? Вряд ли это так. Дело в том, что хотя никакого подобия старой картины «тепловой смерти» не существует, но в ходе пульсаций тепло, энтропия все более накапливаются. Если бы было бесконечное число пульсаций, то и энтропия накапливаясь бы бесконечная. А этоого нет. Значит, бесконечного числа пульсаций не было. Но тогда исчезает главная привлекательная черта модели — ее бесконечное время существования в прошлом. И мы снова возвращаемся к проблеме начала. О том, как решается эта проблема современной науки, читатель сможет узнать из уже упоминавшейся книги «Как взорвалась Вселенная?».

Развев один миф — миф о «тепловой смерти Вселенной», — наука пришла к новой не менее загадочной проблеме — проблемы начала расширяния Вселенной. Именено на решении этой проблемы сосредоточено сейчас внимание специализов-kосмологов. Таков вечный путь познания, приключения в тайны природы, когда что-то познанное порождает еще более градинозные вопросы.