Избранные школьные задачи

36

Ф1092. Найти положение изображения точного источника, находящегося на расстоянии L от передней поверхности толстой плоскопаральной стеклянной пластины, посередней с задней стороны (см. рисунок). Изображение рассматривается перепределкулярно к поверхности пластины. Толщина пластины d, показатель преломления стека n.

На рисунке выполнен построение изображения в пластине. Как видно из рисунка, изображение находится за пластиной на расстоянии $x = \frac{l}{\varphi} - L = L + \frac{2d}{n}$ от передней поверхности.

В. К. Петерсон

Избранные школьные задания

Восьмой класс

1. Решите систему уравнений
   $x_1 + x_1x_2 = 1,$
   $x_2 + x_2x_3 = 1,$
   $x_{99} + x_{99}x_{100} = 1,$
   $x_{100} + x_{100}x_1 = 1$.

2. Докажите, что существует натуральное число, куб которого оканчивается на 1987.

3. Даны 3 целых положительных числа. Их наиболее общий делитель равен 1, сумма любых двух делителя на третье. Найди эти числа.

4. Даны три положительных числа $x, y, z$. При каком условии существует треугольник, высоты которого имеют длины $x, y, z$?

5. В одной книге описан такой случай. Резиновый мяч в дверь комнаты, отражается от стены, потом — от другой стены и, не задев ни одного предмета, в дверь в точности там, где он влетел. Могло ли это быть?

Девятый класс
6. Решите систему уравнений
$\sin x + \sin y = \sqrt{2} \sin a,$
$\cos x + \cos y = \sqrt{2} \cos a$.

7. Квадратное уравнение $x^2 + px - q = 0$ имеет решение. Числа $p$ и $q$ изменены, каждое не более чем на 1 % от его абсолотной величины. Известно, что получшеся уравнение так-

же имеет решение. Можно ли гарантировать, что большее из решений нового уравнения отличается от большого из решений старого уравнения не более, скажем, чем на 10 % от абсолотной величины последнего?

8. Каков наиболее возможный радиус круга, в котором можно расположить четыре неперекрыващих круга радиусом 1?

9. Даны четыре отрезка длиной $a, b, c, d$. При каком условии из них можно составить замкнутую самопересекающую ломанную, наккие три вершины которого не лежат на одной прямой?

10. Нарисуйте график функции
    $y = |1 - |1 - |1 - |1 - |x|$.

Десять класс
11. Решите в целых положительных числа уравнения $x^y = 48 261 724 457$.

12. Найди общего области определения функции
    $f_n(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots + \sqrt{x + 1}}}$.

13. Дан многогранник, ни одно плоское сечение которого не имеет больше 4 сторон. Докажите, что это — тетрадр.

14. Примой круговой цилиндр и прямой круговой конус имеет общее основа. Obъем каждой из них равен 1. Найди объем их общеей части.

15. При каких $a$ и $b$ формула $\sqrt{x} \approx ax + b$ гарантирует наиболее точность при $4 \leq x \leq 9$. Другими словами, при каких $a$ и $b$ наиболее значение выражения $|\sqrt{x} - (ax + b)|$ при $4 \leq x \leq 9$ является наиболее точным?

Публикацию подготовлен Д. В. Фукс