Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

62

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданава

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультеты математiko-механический, физический, прикладной математики — процессов управления)

1. Сумма цифр неоторого трехзначного числа равна 11. Если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть 594, то получится искомое число. Найдите это трехзначное число, если известно, что сумма трех попарных произведений цифр этого числа равна 31.

2. Решите неравенство $x - \sqrt{1-x} \leq 0$.

3.1. (математiko-механический факультет) Числа $x, y, a$ таковые, что
$$\begin{cases} x + y = a - 1, \\ x^2 + y^2 = 5a^2 - 3a + 0,5. \end{cases}$$

При каком $a$ произведении $xy$ принимает наиболее значение?

3.2 (физический факультет)
Решите уравнение
$$\log_{3x+7}(9+12x+4x^2) + \log_{2x+3}(6x^2+23x+21) = 4.$$

3.3. (факультет прикладной математики — процессов управления)
Решите уравнение
$$8\cos x = \frac{1}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin x}.$$

4. Найдите площадь квадрата, описанного в прямоугольный треугольник с квадратами $a$ и $b$ (сторона квадрата лежит на гипotenuse, а две вершины — на квадрат треугольника).

5. Все четыре грани треугольной примыты — равные равноведенные треугольники, длина боковых сторон которых равна $\sqrt{3}$. Найдите длину оснований этих треугольников, если известно, что объем примыды равен $\frac{2}{3}$.

Вариант 2
(библио-почвенный факультет)

1. Два лижники стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй лижник договора на расстоянии 1 км от точки старта. Дойдя до поворота на отметке 5 км, второй лижник повернул обратно и встретился с первым лижником. Эта встреча произошла через 20 мин после старта первого лижника. Найдите скорость первого лижника.

2. Решите уравнение
   $$\log_3(3^x-8) = 2-x.$$

3.1. (отделение почвенного)
Решите уравнение
$$\sqrt{10-18\cos x} = 6\cos x - 2.$$

3.2 При каких $a$ уравнение $\cos(\sqrt{a-x^2}) = 1$ имеет равно 8 решений?

4. В окружность радиуса $r$ выснана равноведенная трапеция с острым углом $a$ при основании и высотой $h$. Найдите площадь трапеции.

5. Объем правильной треугольной примыты равен $V$, угол между диагоналими двух граней, проведенными из одной и той же вершины, равен $a$. Найдите сторону основания примыцы.

Вариант 3
(геодрафический и геологический факультеты)

1. Два мотиклиста, выхав одновременно из пункта $A$, едут с разными, но постоянными скоростями в пункт $B$ и, доступную его, сейчас же поворачивают обратно. Первая мотиклист, обогнав второго, встречает его на обратном пути на расстоянии 13 км от $B$, затем, достигаves $A$ и снова повернув обратно $B$, он встречает второго мотиклистса, проехав $\frac{1}{7}$ расстояния от $A$ до $B$. Найдите расстояние от $A$ до $B$.

2.1. (геодрафический факультет).
Решите уравнение
$$\log_3\left(\frac{3}{x}\right) - \log_3\left(\frac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2} + \log_2\sqrt{x}.$$

2.2. (геодрафический факультет)
Решите уравнение
$$\sqrt{1+4x-x^2} = x-1.$$

3. Решите уравнение
   $$\sin 7x - \sin x + 2\cos^2 2x = 1.$$

4. Найдите углы прямого треугольника, если известно, что радиус окружности равен 2, а гипotenuse — 13.

5.1. (геодрафический факультет)
Угол между боковым ребром и основанием правильной четырехугольной примыты равен $60^\circ$, боковое ребро равное $a$. Через середину одного из боковых ребер перепедикулярно к нему проведена плоскость. Найдите площадь секения.

5.2. (геодрафический факультет)
Решите уравнение
$$\log_{\frac{x+1}{5}}(x^2-6x+9) \geq 0.$$

Вариант 4
(xимическый факультет)

1. Из колбы, в которой имеется 80 г 10-процентного растора поваренной соли, отливают неокотropy часть растора в пробирку и выпаивают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повышается второе. После этого выпаенный растор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 2%. Какое количество растора отлили из колбы в пробирку?

2. Решите уравнение $(x^2-4)\sqrt{x+1} = 0.$

3. Решите уравнение
   $$\sin x = \sqrt{\sin^2 3x - \sin^2 2x}.$$