Беседа с академиком В. П. Масловым

2

БЕСЕДА С АКАДЕМИКОМ
В. П. МАСЛОВЫМ

Виктор Павлович, когда и как у вас возникли интерес к физике и математике? Что повлияет в большей степени — школа, кружки, семья?

В крупках я не участвовал, в школе ни математикой, ни физикой особенно не увлекался. Наоборот, был довольно слаб в этих предметах, особенно по физике. А это было такое время, когда физикувлекались многие мои друзья, тогда была moda на физике. может быть именно мое отставание по физике сыграло некоторую роль: я решил, что у меня не хватает образования, что мне надо пойти на физический факультет, чтобы его воспользовать.

В олимпiadах вы, наверное, не участвовали?

Один раз я участвовал в олимпiadе по математике. Я пошел более или менее случайно, просто мои друзья пошли туда. Был это второй тур, я решил только одну задачу, после чего ушел. Получил за это грамоту.

Окончив школе, вы пошли учиться на физический факультет МГУ. Были ли у вас другие варианты выбора жизниного пути?

Да, я вообще больше увлекался гуманитарными науки. Но мой отчим, известный историк, профессор Борис Федорович Поршнев, сильно меняет отговаривал от гуманитарного пути. Собственно говоря, он и уговорил меня идти на физический факультет.

Кого вы считаете своим учительям? Кто из ваших коллег оказал на вас наиболее влияние?

Мой учитель — Сергей Васильевич Фомин. Он работал в пятидесятых годах на кафедре математики физического факультета МГУ. На втором курсе я стал интересовать некоторых частот математических задачи, в частности алгебраических. Я обрабатился тогда к известному алгебраическому Игорю Ростиславовичу Шафарвичу. Некоторые времени я занимался с ним, решил даже перейти на мехмат. Но когда я захотел это сделать, профессор Анатолий Алексеевич Blасов, у которого я был на кафедре, меня не опустил. Чтобы проверить, действительно ли я математик, он поставил мне одну математическую задачу. Я ее доволно быстро решил. Но Blасов мого доказательства никак не хотел понять, поскольку оно было не прямое, как он, видимо, хотел, а косвенно. Потом мне все-tаки удалось его убедить, он согласился меня опустить. Но тут со мной стал заниматься Сергей Васильевич Фомин. Он

3

меня и отговорил от перехода на мехмат. Тогда я перешел к нему на кафедру математики физического факультета.

— Какие трудности встретились у вас на пути становления ученого?

— Я почувствовал очень большое трудности из-за недостаточного математического образования. Я мало знал специальный литературу. После окончания физического факультета мне пришлось довольно долго привлекатель к математическому языку. Поэтому я не сразу был воспринят математиками как математик, а скорее как физик, поскольку язык у меня был для них несколько необъявный. Поначалу ряд моих вопросов математических работ переписывались математики, иногда даже без ссылок. Среди математков установилось мне, что мои работы не строгие. Пришлось предполагать эту точку зрения. Это мне удалось, как ни странно, когда я доказал свою компетентность в современно других областях математики, а не в тех, которые я в основном в это время занялся.

— Создается такое влечение, что вы все время шли по линии наиболее сопротивления: пошли на физический факультет, потому что физика вам давалась хуже всего, а потом стали заниматься математикой, потому что вам не хватило математического языка. Это что — черта характера?

— Нет, по-видимому, я математикой увлекся на физическом факультете потому, что у меня просто были большие склонности к математике. Как я говорил, это увлечение произошло на втором курсе. Дальше, правда, я стал увлекателься и квантовой механикой, квантовой физикой. Пожалуйста, можно сказать, что вообще-то я шел по линии своих увлечений, по линии наименшшего сопротивления в своей жизни. А на физический факультет я, может быть, действительно попал изупрятства: у меня в школьном аттестате была даже тройка по физике.

— Ваши первые работы (впрочем, и многие из внешних) относятся кfundamentalным исследованием и интересу в первую очередь математиков-теоретическов. С другой стороны, вы известнейший математик-прикладник. Как вы соответствите «чистую» математку с физикой и прикладными вопросами?

— Я думаю — удачно сложилось, что я пошел на физический факультете.

У меня есть склонность к обобщениям, к математическим и общим постановкам. Мой занятие физкой для мне источник математических задач; это в целом положительное повлияло на мою работу. В студенческие испрантские годы я поставил перед собой ряд проблем, связанных с теоретической физикой. До них пор не все проблемы мне удалось решить. Я думало, что такой путь поиска математических задач на границе с теоретической физикой — хороший. С другой стороны, это позволяет оценивать окончательные результаты с точки зрения их приложений к физике или к каким-либо других приложенным областям. В альгебре, и особенно в теории чисел, есть критерии, по которым обобщено оценвается работа. Например, давно ли поставлена задача, кто ее решал и не решил, спортивный элемент, что ли. Если удается также решить — значит, имеется серьезное продвижение. А вот в математике, связанной с приложениями, таким критерием, в известной степени, является именно приложение, широта возможных приложений. Здесь должны быть определена интупция, нужно чувствовать, какие именно задачи, решаемые данным математиком, могут быть полезны. Ну и в этом случае поогалот знания физики и физических проблем. Приведу пример такой математикка, как Людвиг Дмитриевич Фаддеев. Он тоже окончил физический факультет. Задачи, которые он начиная занимать читали ли не первым, потом получали широкий резонс благодаря его и не только его работам. Фаддеев часто удается по математике животрепешущие проблемы одним из первых. Это такие проблемы, как уравнение Кортевера-Дефриза*) или, скажем, обратная задача теории рассеивания. Фаддеев как-то чувствует, какие именно проблемы в дальнейшем будут развивать. И это связано, в большой степени, с его физическим образом.

*) Дифференциальное уравнение, описывающее волны на неглубоких водоемах, решения которого (так называемые солитоны) обладают очень низким математическим свойством.

4

— Недавно, в качестве эксперт-математика, вы участвовали в создании проекта захоронения авариного блока Черновьлской АЭС. Что вы можете рассказать об этом?

— По-видимому, в человеке есть какие-то такие скрытые возможности, которые пока наука еще не в состоянии обьясить. Фокусик гипотезирует человека, и тот на пальцах рук и ногустойчиво висит между двумя стульями. Это показывает совершенное необычайные потенциальные возможности, заложенные в человеке. Меня всегда поражало, насколько велик во время войны оказался потенциально нашего народа и наших ученых. Несмотря на огромные потери, страна после войны оказалась более сильной, чем до нее. Видимо, и здесь есть момент массового гипноза: колосальное напряжение усилило народ.

Такая же ситуация была у нас, когда мы работали над проблемой Черновьлской АЭС после взрыва. Это была настоящко напряженная и продуктивная работа, что я до сих пор считаю, — такую работу можно проделать за два, три года, но никак не за те два месяца, за которые мы ее выполнили. Притом не только мы — математики, но и все, кто этим занимался, все приехавшие учены другие специализостей были охвачены этим массовым подъемом. Откуда только брались силы — работа шла неимоверно быстрю. Никаких биоркатаических преград, на предоление которых вповседневной жизни уходят основные силы ученого. Когда мы продумывали и предлагали какой-либо опыт, я утром, скажем, обращался к организациим, и в тот же день эксперимент проводился на Черновьлской АЭС. Мы, конечно, прекрасно знали, как дорого обходится каждый эксперимент, сколько рентген-часов на человека приходится при той или иной проверке. Это создало необычайное напряжение. Другой пример — мой товарищ по работе В. П. Мясников звонил мне в три часа ночи сообщить, что «дыра» в доказательстве, которую я обнаружил, задавается — вариант «держится». Или еще мои молодые сотрудники задерживались у меня вечерами после последнего автораса настоящего установки, что уже вообще не могли больше работать, то уходили в отпуск (это было время отпусков, и я всех их задержал), их заменили другие. Никогда в своей жизни я не испытвал такого сильного напряжения. Когда решались сервисные вопросы, связанные с каркофагом, и надо было принять ответственное решение, каждый представлял себе наколько важными могут быть последствия неправильного выбора. Сроки поджимали, ведь каркофаг создавался молниеносно, наште математическое моделирование иногда не успевало. А когда учит и заставляет переделывать природа, это горький и дорогостойший опыт. Поэтому работа была совершенной необычайная, напряженная и интенсивная. А в конечном случае были получены не только расчеты, касающиеся этой станции непосредственно, — хотя мы проводили расчеты только для нее. Но тем не менее в результате математического моделирования получилось описания неожиданных для механики эффективов, иногда противоречащих предположениям наших коллег-физиков.

— В прикладных задачах, подобных моделированию поведения сложной системы (типа вышедшей из повиновения АЭС), используется компьютерный эксперимент. Применяли ли эти прием?

— Компьютерный эксперимент на самом деле надо было бы применять до того, как это печальное событие произойдет. Как говорится, русский человек задним умом крепок — такой компьютерный эксперимент сейчас и был проведен; он прямо показал, что взрыв должен быть произойти. После того как взрыв произошел, компьютерный эксперимент, показывающий какой-то один из возможных вариантов поведения реактора, уже на самом деле оказался бы не достигнутым, поэтому, что мы должны были просмотреть все варианты. Ведь наша цель — дать определенные рекомендации. Например, наш расчет показал, что не обязательно было подводить бетонную литу (подушку) под каркофаг. Отромные деньги были затрачены, в начале казалось — самая большая

7

другу в одном и том же порядке.
Коши доказал, что подобная ситуация неозможно, если речь идет о двух выпуклых многогранниках.
Теорема Коши. Два выпуклых многогранника с попарно равными граями, составными в одном и том же порядке, равны.
Для доказательства этой теоремы (ono намечено ниже) коней Коши предложил новый метод, который, по словам академика А. Д. Алексадрова, «представляет собой одно из прекраснейших рассужdenий, какие только знает геометрия». Воспел逮ии это действительное прекрасное рассужdenие стало в теории многогранников одним из стандартных методов доказательства других, аналогичных, теорем единственности.

Гипотеза Эйлера
Вопрос — однозначно ли задается форма многогранной поверхности своих граями, или поверхности может как-то меняться, несмотря на неизменность своих граней, — интересовал математиков задолго до Коши.
Над вопросом единственности размышлял и великий Эйлер. В 1766 году он высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». «Замкнутой пространственной фигурой» у Эйлера считалось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхности. Тем самым предположение Эйлера относилось не только к многогранным поверхности. Но по отношению к многогранникам уверенность в справедливости этой гипотезы была наиболее основательной. Эта уверенность покопалась на многовековом опите обращения с многогранниками и по своей丝ле достигала верования в аксиomy.

Простые многогранники
Вопрос о неизменности многогранной поверхности оказался твердым орешком, но прежде, чем в нем разобраться, необходимо уточнить некоторые понятия. Условия здесь под многогранником поняты не тело, ограниченнойное многоугольниками, как это делается в школе, а поверхность, составленную из этих многоугольников; при этом мы будем предложать, что наш многогранник склеен из конечного числа конечных многоугольников так, что к каждой стороне любой ее грани приклеена одна и только одна грань*). Многогранник с таким условиям называют замкнутым. Условие замкнутости — это естественное условие. Любой из многогранников, изучаемый в школьном курсе — признаны, парамиды, платоновы тела — замкнутый. Общий фанерный ящик для посылок, но без крышки, нельзя считать замкнутым многогранником. Но стоит прибить к нему крышку, как получается замкнутый многогранник.

Мы будем также предложать, что наш многогранник является, как говорят математики, топологической сфера. Топологическая сфера — это такая поверхность, которая отличается от обычной «круглой» сферы настоящего, насколько изогнутшаяся поррышка спушенного мяча отличается от накачанного. Другими словами, мы предложаем, что наш многогранник, будь он сделан из резины, можно было бы растнуть без разрывов и склеек в обычную круглую сферу. Условия называют такой многогранник простым. Все выпуклы, в том числе и «школьные», многогранники — простые, так же, как оба многогранника на рисунках 1, 2. На рисунке 3 приведен пример не простого, а троообразного многогранника.

Многогранник может быть сільно «закручен», что иногда трудно разобраться, простой он или нет. Тем более замечательно, что о многограннике можно сказать, простой он или нет, даже не взглянув на него. Представим, что кто-то сообщил нам число всех вершин В, число всех ребер P и число всех граней Γ неизвестного нам многогранника X. Тогда, подчитав число φ(X), называемое эйлеровой характеристикой многого-

*) Дать строгое математическое определение многогранника, охватывающее и невеликие многогранники, не так просто, и мы здесь этого делать не будем.

8

граничка $X$, по формуле
$$\varphi(X) = B - P + \Gamma,$$
можно уверенно сказать, будет ли многогранник $X$ простым. Многогранник будет простым тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристка равна 2. Для многогранников, не являющихся простыми, эйлерова характеристка не превозходит нуля. В частности, для торговых многогранников (см. рис. 3) эйлерова характеристка равна нулю.

Изгибаемость многогранников

Представим теперь, что из картоных многоугольников с помощью клейкой ленты мы склеили многогранник (разумеется, конечный, замкнутый, простой). Ясно, что из-за гибкой в каждом ребре связи любые две соединние грани могут быть поворачивать друг относительно друга вокруг общего ребра, подобно страничкам книги, могли бы… если бы они не были связаны с остальных гранями.

Когда же грани склеены в многогранник, то возникнет вопрос: можно ли перерывно изменять, деформировать многогранник так, чтобы при деформации все его грани оставались неизменными, а изменялись лишь друганные углы? Если для данного многогранника такая деформация возникна, то многогранник назовем изгибаемым, а если нет — неизгибаемым.

Таким образом, изгибаемие многогранника, если оно вообшевозможно, связано с изменением друганных углов. И, хотя каждая пара соседних по ребру граней сама по себе свободна в выборе своего другого угла, каждая весма верятным, что в обществе других граней эта свободатрачивается. Возможно, что такого рода «праводоподобные расужения» послужили Эйлеру опорой для гипотезы о том, что замкнутые многогранники неизгибаемы.

Вопрос об изгибаемости простых многогранников был решен только спустя два века после Эйлера. Уже в нашей время, всего лишь десять лет назад, выяснили, что относительно многогранников Эйлер в своем пред-положении был прав… и не прав. Прав потому, что, как было установлено в 1975 году, «почти все» простые многогранники неизгибаемые. Однако «почти все» — это еще не все многогранники, а их в некоторых смысле «подавляющее большое институто». Два года спустя, в 1977 году, американский геометр Р. Коннелли построил первые примеры изгибаемых многогранников и тем самым опроверг гипотезу Эйлера (см. «Квант», 1978, № 9, с. 14, а также первую и четверую страницы обложки настоящего номера).

Не исключаено, что открытие изгибаемых многогранников кому-то показется не очень удивительным, особенно если он вспомнит о механих музыкальных инструментов, например, баяна. Но эта ассоциация здесь не уменьша. Дело в том, что механи «работают» благодарящегося и сминанию материалов, из которого они изготовлены. Если мы механи собраны из твердых пластин, соединенных между собой маленькими дверными петлями, то сыграть на инструменте не удалось бы. Такие механи, как нетрудно понять, нельзя было бы ни сжать, ни растнуть.

Впрочем, изгибаемый многогранник тоже непригоден для механи, хотя и по другой причине. Дело в том, что известная на сегодня коллекция изгибаемых многогранников обладает несколько неожиданным свойством: заключенный в многограннике объем при изгибании остается постоянным, т. е. многогранник «не дышит». Возникла гипотеза, что это всегда так — этот объем не изменяется при изгибании многогранника.

Заметим далее, что вследствие теоремы Коши изгибаемый многогранник не может быть выпуклым.

Действительно, изгибаемость данного многогранника означает, что существуют другие многогранники, склеенные из тех же граней в том же порядке, но не равные данному из-за чуть-чуть других других других углов. При этом, если исходный многогранник был выпуклым, то и другой сclerка лишь отличующимся углами, то же должны быть выпуклым. А это

9

противоречит теореме Коши, согласно которой два таких выпukлы многоугольника должны стать равны.

Лемма Коши о выпukлы многоугольника

Для доказательства теоремы Коши полезно внимательно посмотреть, как обстоятель дела с многоугольниками. Совсем не случайно в названни работы Коши, посвященной теореме о многоугольниках, присутствует слово «многоугольник». Представим плоский многоугольник, составленный из стержней с шарнирными соединительми в их концах. В случае треугольника длины стержней задают углы между ними (третий признак треугольников), и конструкция является жесткой. С практическим применением этого очевидного геометрического факта мы сталкиваемся на каждом шагу: в стержневых конструкциях, которые подвергаются значительным нагрузкам (фермы местов, стрелы подъемных кранов, перекрытия сооружений и т. п.), для обеспечения жесткости присутствуют треугольные элементы.

В случае же многоугольника с большим числом сторон длины сторон не определяют его углов, а следовательно, не задают и сам многоугольник. Тем не менее, Коши обратил внимание на один факт, оказывающийся существенным при доказательстве его теоремы.

Пусть $A = A_1A_2...A_n$ и $B = B_1B_2...B_n$ — выпukлы $n$-угольники, причем $A_1A_2 = B_1B_2, ..., A_{n-1}A_n = B_{n-1}B_n, A_nA_1 = B_nB_1$. Соответим каждой вершине $A_i$ первого многоугольника знак «+» или «-» в зависимости от того $\angle A_i > \angle B_i$ или $\angle A_i < \angle B_i$. Если $\angle A_i = \angle B_i$, то вершина $A_i$ остается неотмеченной. Прежде чем перейти к лемме Коши, заметим, что отмеченных вершин у неравных многоугольников не меньше четырех, иначе (как легко доказать) многоугольники $A$ и $B$ равны и неотмеченных вершин нет вовсе.

Лемма 1. Пусть у двух выпukлы многоугольников соответствие стороны попарно равны, а среда соответствие сторон попарно равны.

стевных углов имеются попарно неравные. Тогда при обходе вершин многоугольников разности соответствives углов меняют знак не менее четырех раз.

Понятоно, что число перемен знака при обходе вершин многоугольника должно быть четно и не равно нулю. Следовательно, для доказательства леммы нужно показать, что число перемен знака не равно двум. Изложим идею доказательства.

Предположим, что число перемен знака равно двум. Тогда многоугольник $A$ разбивает на две ломаны: у одной ломаной $A_iA_{i+1}...A_j$ есть вершины, отмещенные знаком «+», и ни одна из вершин не отмещена минусом; у другой ломаной — $A_jA_{j+1}...A_i$, наоборот, есть вершины, отмещенные знаком «-», и ни одна из вершин не отмещена знаком «+» (рис. 4).

Позотому ломаню $A_iA_{i+1}...A_j$ можно получить из соответствующих ломаной $B_iB_{i+1}...B_j$ многоугольника $B$, увеличивая углы последней. Каждый совершенню очередным, что в результате такой деформации ломаной, замыкающий ее хорда должна увеличивать, т. е. $A_iA_j > B_iB_j$. (Строю доказательство этого факта не

10

сколько утомительно, и мы его опускаем.)

С другой стороны, вторая ломанная $A_jA_{j+1}$ многоугольника $A$ получается из соответствующей ломанной $B_jB_{j+1}$ многоугольника $B$ в результате уменьшения углов. При этом замыкающий хорда должна уменьшаться. Значит, с другой стороны, $A_iA_j < B_iB_j$. Два противоречных друг друг неравенства показывают, что предположение о наличиировно двух перемен знака неверно. Следовательно, перемен знака не меньше четырех, что и требовалось доказать.

Лемма 1, о которой только что шла речь, потребуется для доказательства теоремы Коши, но в другом варианте — для случая выпуклых многоугольников на сфере. Формулируется и доказывается она так же, как выше: нужно только уточнить соответствующие понятия.

Определение сферического многоугольника совершено аналогично определению плоского многоугольника. При этом надо иметь в виду, что, во-первых, сторона сферического многоугольника — это угол между касательными, проведенными к двумя сторонам в точке их пересечения, т. е. в вершине многоугольника. Очевидно, что угол между сторонами равен линейному углу двугранного угла, образованного плоскостями соответствующих больших окружностей (рис. 5). В-третьих, выпуклый сферический многоугольник — это такой многоугольник, который лежит на сфере по одному сторону от каждой большой окружности, содержащей сторону-другу нашего многоугольника.

Основная лемма Коши

Предположим, что два многоугольника, удовлетворяющие условия теоремы Коши, не равны. Тогда среди соответствующих двугранных углов должны быть попарно неравны. Отметим ребро одного из наших многоугольников знаком «+» или знаком «—» в зависимости от того, двугранный угол при этом ребре больше, или меньше соответствующего двугранного углаDF многоугольника. Разумеется, не все ребра обязаны быть отмечены, поскольку среди соответствующих двугранных углов могут быть и попарно равные углы.

Выберем какую-нибуд вершину O многоугольника, к которой подходит отмеченые тем или иным знаком ребра, и опишем из нее, как из центра,

11

сферу $S$. При этом радиус возьмем настолько маленьким, чтобы сфера $S$, пересекая ребра и грани многогранника, подходящие к вершине-центру $O$, не задевала никаких других ребер и граней многогранника. Ясно, что грани многогранника, образующие многогранный угол с вершиной $O$, вырезают на сфере $S$ выпуклы (сферическая) многоугольник $M$, углы которого равны двумгранным углам многогранника. Если проведи таким же радиусом сфера $S'$ в соответствиишей вершине $O'$ другого многогранника, то на ней вырезается многоугольник $M'$, стороны которого равны соответствующим сторонам многоугольника $M$. Равенство сторона вытекает из условия теоремы Коши: в соответствииших вершинах многогранников должны сходиться попарно равные грани.

Вот здесь и настоящей время леммы 1. Мы предположили, что теорема Коши о единственности неверна; это значит, что хотя бы одно ребро оказывается отмещенным знаком «+» или «-», и, в соответствии с леммой 1, если к какой-нибудь вершине подходят отмещенные ребра, то число перемен знака у ребер при обходе вокруг этой вершины не меньше 4.

От этого несложного замечания до доказательства теоремы, казалось бы, еще далеко. Но здесь Коши находится неожиданный острумный ход, после которого доказательство становится делом техники. Оказывается, справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть на замкнутом выпуклом многограннике некоторые ребра отмещены знаком + или —. Выделим все те вершины многогранника, к которым подходит хотя бы одно отмещенное ребро. Тогда среды выделенных вершин всегда найдется такая вершина, при обходе вокруг встреченного парой соседних ребер и при обходе вокруг соответствующей грани и наоборот (рис. 7).

Обозначим через $\Gamma_n$ число $n$-угольных граней многогранника, $n \geqslant 3$. Тогда

$$\Gamma = \Gamma_3 + \Gamma_4 + \Gamma_5 + \Gamma_6 + \dots$$

(1)

Ясно, что при обходе $n$-угольника число перемен знака не больше $n$, а если $n$ нечетно, то не больше, чем $n-1$. Поэтому

$$N \leqslant 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 4\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + 6\Gamma_7 + \dots$$

(2)

Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то

$$2P = 3\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 5\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + \dots$$

(3)

Перешем формулу Эйлера в виде

$$4B - 8 = 4P - 4\Gamma.$$

(4)

Подставим в (4) соответствия (3) и (1):

$$4B - 8 = 2(3\Gamma_3 + 5\Gamma_5 + \dots) - 2(2\Gamma_3 + 2\Gamma_4 + 2\Gamma_5 + \dots) = 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 6\Gamma_5 + \dots$$

(5)

В соответствии (5) коэффициент при $\Gamma_n$ равен $2(n-2)$ и, следовательно,

12

Teorema Alekсандрова
о достаочности

Когда работа Коши увидела свет, научные интересы ее авторы были уже далеко от этой области. В дальнейшем глобкие результаты по теории многоугольников были получены представления геометрической шкалы академика А. Д. Александрова. В 1939 году А. Д. Александров доказал теорему об условиях, при которых из данной развертки можно склить выпуклый многоугольник.

Посмотрим на рисунок 8, на котором нетрудно узнать хорошо известную развертку куба. Гораздо труднее увидеть, что развертка, представленная на рисунке 9, а также является разверткой куба — одинаково отмеченные на рисунке вершины задают отложение вершин и пар склеиваемых сторон (рис. 9, 6). Обратим внимание на то, что многоугольники развертки не обязательно совпадают с гранями получаются из него многоугольника. Грань многоугольника при этом может составлять из одного или нескольких кусков разных многоугольников развертки. Заметим также, что не всякая вершина многоугольника развертки обязана быть вершиной многоугольника, она может быть «спрятана» внутри ребра или внутри грани многоугольника.

Возьем произвольную развертку, т. е. возьем несколько вырезанных из бумаги выпуклых многоугольников и укажем, какую сторону каждой из них будем скливать с какой стороны другого многоугольника. Склеиваемые стороны, разумеется, должны

13

быть одинаковой длины. Будем склеивать многоугольники в соответствии с указаниями о порядке склеивания (при этом разрешается сибать многоугольники развертки). Возникает вопрос: из каких разверток можно таким образом получить выпуклый многоугольник? Для этого необходимо выполнение двух условий:

(I) для развертки имеет место формула Эйлера (В—Р+Г=2);
(II) сумма плоских углов, скодашихся при склеивания в одной вершине, не превышает 360°.

Смысл теоремы Алексаидрова поражет свой простотой: условия (I) и (II) являются необходимыми и достаточно для того, чтобы из многоугольников развертки можно было склеить выпуклый многоугольник (возможно, дополнительно сибая многоугольники развертки).

Развивая идеи, лежащие в основе этой теоремы, А. Д. Алексаидров построил внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей — одну из важнейших теорий в современной геометрии.

Вернемся к развертке на рисунке 9,a. Далее не глядя на рисунок 9,б, проверив для нее выполимость условия Алексаидрова, можно утверждать, что из этой развертки склеивается некоторый выпуклый многоугольник. Сколько разных выпуклых многоугольников можно склеить из одной развертки? Из-за того, что грани многоугольника не фиксированы, теорема Коши на этот вопрос ответа не дает. А. Д. Алексаидров доказывает теорему, которая, с одной стороны, успела теорему Коши, с другой, — прекрасно дополняет его собственную теорему о достаточноности: если из развертки можно склеить выпуклый многоугольник, то только один.

Волее того, из этой развертки нельзя получить вообще никакой другой выпуклой поверхности, не только многоугольной, но и кривой. Это успешное теоремы Алексаидрова было получено в 1941 году его молодым учеником С. П. Оловяншинковым*.

*) Сергей Оловяншинков — победитель первой математической олимпiadы (1934 г.). Придатые

А. Д. Алексаидров.

Что касается наиболее полного обобщения теоремы Коши на случай произвольных, а не только многоугольных поверхностей, то этот вопрос должен времена оставаться нерешенным. Пусть произвольная замкнутая выпуклая поверхность выполенена из тонкого, гибкого, но нерастимого материала. Можно ли, сохраняя выпуклость, получить из нее поверхность другой геометрической формы? Если исходная поверхность — выпуклый многоугольник, то нельзя — это случае теоремы Коши — Алексаидрова — Оловяншинкова о единственности.

Okончательное обобщение теоремы Коши на случай произвольных поверхностей было получено в 1949 году также представителем школи Алексаидрова, советским геометром, академиком А. В. Погореловым. А. В. Погорелов доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизб�aема с

годы наложили свой отпечаток на нелёгкую судьбу талантливого юноши. В 1941 году ему удалось закончить Ленинградский университет и поступить в аспирантуру к А. Д. Алексаидрову. Но вскоре он ушел на фронт, осенью 1941 года был ранен. В госпитале он и написал работу об обобщении теоремы Коши. Вернувшись на фронт, С. П. Оловяншинков поисти в декабре 1941 года на «Невском пятачке» — известном кровопротивлениями боями плацарме.