[Памяти И. М. Яглома]

Квант 1988, №7 с. 2-9 Тег 60VN

ЯКОВ ШТЕЙНЕР
(из истории геометрии)

Доктор физико-математических наук
И. М. ЯГЛОМ

Во второй половине XVIII и в начале XIX века в Швейцарии жил замечательный педагог-гуманист Юганн Генрих Песталоши (1746—1827). Ныне Песталоши во всем мире считается основоположником теории начального обучения детей, идиен о соедининиях обучения с производительным трудом. Рассказывать о нем можно было бы долго — но не Песталоши является здесь нашим героем. Свои идей Песталоши проверял и реализоввал в основанной им превосходной начальной школе-интернате для детей бедняков. Сотрудники Песталоши разъезждали по всей Швейцарии, отбирая будущих учеников и уговаривая (часто это было труднее всего) их родителей послать детей в школе.

В 1814 году один из последних Песталоши сотрудников встретил в горах Швейцарии молодого пастуха Якоба Штейнера, сына бедного крестьянна. Якоб в это время едва умел читать и писать, однокамоучкой он прибрел некоторые позаниния в математике и в особенно увлекательей его тогда астрономии. Эти знания и интересы молодого пастуха поразили сотрудника Песталоши, который стал убеждать Штейнера-отца отказается от услуг ценного помощи и отправить сына в школе учиться. С большим трудом ему удалось до-

Автор этой статьи Исаак Монсеевич Яглом умер 17 апреля этого года. Читательям «Кванта» хорошо известно это имя: И. М. Яглому принадлежит такое большое число пуплярных книг по математике, что, вероятно, каждый интересующийся математикой читал что-то написанное им. В развитие годы на страницах журнала было опубликовано более десяти его статей. Более сорока лет жизни он верно служил пупуляризации математики.

Исаак Монсеевич Яглом родился в 1921 году. По счастью служайности, когда он чилися в старших классах, замечательные математики с энтузизмом организативали в Московском университе перевытел математические кружки и олимпиды. В 1938 году Яглом получил первый на олимпиде, а на следующей год, став студентом, И. М. Яглом оказался одним из самых активных руководителей кружка. Еще до войны Д. О. Шклярский, погибший на фронте, задумал создать сборник кружковских задачи и начал собирать материалы. Замысел Шклярского был завершен после войны, причем большая часть работы была выполнена Исааком Монсеевичем, ставшим основным хранителем «кружковской мудрости». Трехтомник «Задачи и теоремы элементарной математики» Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова и И. М. Яглома на долге годы становится основным руководством для ребят, интересующихся математикой. Эта книга открыла серию «Библиотека математического кружка». В этой серии вышло еще несколько книг И. М. Яглома.

Для Яглома важно, что уже в школьные годы ребята могут не только решать изолированные красные задачи, но и, работая над хорошего спланированием серии задачи, они могут непрерывно переходить к профессиональной математической деятельности. На это ориентированы такие книги «Библиотека» как «Выпуклы фигуры» (написана совместно с В. Г. Болтянским), «Незlementарные задачи в элементарном изложении» (совместно с А. М. Ягломом), двухотомник «Геометрические преобразования».

В последнем году жизни Исаака Монсеевича остро волновали гуманитарные аспекты математики: он много пшет о ее истории, связях с естественными и гуманитарными научками, ее месте в жизни общества. В этой деятельности в полной мере проявились высокая культура, широкая эрудиция, которые порожали кадрого, кто имел счастье быть лично знаком Исаака Монсеевича.

Предлагаем внимание читателя стать посвящена Якобу Штейнеру, крупнейшему представителю «золотого века» немецкой геометрии. Очень характерно, что внимание И. М. Яглома привлекала эта колоритная, противоречивая фигуря. В Штейнере уживались фантастическая геометрическая intuция и необучайный консервативism, выражавшийся в категорическом непрятнии координат и комплексных чисел в геометрии, которые, как он был искуснее уверен, ведут к уничтожению истинного двух геометрики.

бится этого — и 18-летний Штейнер (он родился в 1796 году) нассгда покинул родную деревню. Вскоре Якоб оказался в городке Иверен вблизи Берна, в руководимой Песталоши школе-интернате, куда Песталоши приял его бесплатно: ведь ни за учебу, ни за питание, ни за проживание Штейнер платьь было нечем.

У Песталоши Штейнер провел 4 года. Сначала он учился в школе, а затем сам преподавал в ней математику. Оdnako Песталоши быстро понял, что талант Штейнера заслуживает лучшего применения. Следуя настоятьным советам Песталоши, Штейнер в 1818 году переезжает в Германию, в город Гейдельберг — ближайший к Иверену крупный университетский центр.

Песталоши расчитывал, что Штейнер закончит Гейдельбергский университет и затем сам выберет свой путь; однako в полной мере эти надежды не осуществились. Песталоши выдал Штейнер неокоторую сумму денег на дорогу и на первое обзаведение в чужом городе. Но дальше Штейнер предстояло самому обеспечивать себя хлебом насушным. Никакой профессий, кроме профессии учитель математики, Штейнер не владел. Он вынужден был перегружать себя частиными уроками, за которые платили ему мало: ведь он не имел никакого сервисного образования. Эти глубоко ненавидимые Штейнером уроки не давали ему возможность систематически посещать университет. За три года пребывания в Гейдельберге он сумел прослушать лишь несколько университетских курсов (что, впрочем, тоже было не мало, учитьвая его уровень подготовки). Кроме того, в Гейдельберге Штейнер приобрел первые математические знакомства, либо выдавшие таланты швейцарца сразу же бросались в глаза.

В 1821 году друзья сообщили Штейнер об открышении в Берлине вакансии преподавателя математики в одной из столичных гимназий, и он сразу же пустился в путь. Положение гимназического учитель давало бы ему регулярный заработок. Но для занятия столженной места ему предстояло еще сдать экзамены, а их результаты никак не могли особенно водушевить руководство гимназии.

Предде всего у кандидата на должность учителя спросили, знаком ли он с курсом гимназии. На этот вопрос Штейнер ответил кратко: «Нет, не знаком». А что еще он мог сказать? Ведь в русской гимназии проходились латынь и древнегреческий язык, с которых сын Швейцарского крестьянна был знаком не больше, чем мы с вами, мой читатель. Но и с экзаменом по математике дело обстояло не слишком благополучно: Штейнер показал общирные и глубокие знания по геометрии, но более чем скромные — по алгебре и тригонометрии, а в области математического анализа у него оказались зняющие проблемы. Оdnako бросающееся в глаза выдающее геометрическое способности молодого швейцарца и представленные им лестные характеристики сделали свое дело: Штейнер было разрешено два года преподавать математике во всех классах, кроме выпускного. Он должен был за это время сдать экзамены по курсу гимназии (их Штейнер так никогда и не сделал) и дополнительный экзамен по математике (его Штейнер сделал значительное позже).

В средней школе Штейнер пробовал 14 лет. Стало это возможным лишь после открытия в Берлине реальный училища, в котором увешено было число часов на математике и на естественные науки, но не преодавались древние языки (а следовательно, их знание не требовалось и от учительей училища). Оdnako, несмотря на то, что организатором и директором училища являлся также ученик Песталоши, Штейнер сначала и здесь числился только помощником учителя. Лишь после сдачи дополнительных экзаменов (в 1829 году) он стал старшим учительом. Увы! Приходится принять, что разделительный и ненимательный к лодям Штейнер учитель был неважным. Он с увлечением знамался с одаренными учениками, придумывая для них яркие и индивидуальные задания (в первую очередь — по геометрии, см. задачи 1,

2, 6 и Приложение). Остальные же школьники только сердили его: отсутствие у учащегося способностей и интереса к математике Штейнер просто не мог понять. Иногда, когда становилось совсем уж невмогуту, он даже бросал регулярую работу в школе и вновь, как в молодости, добавил пропитание частными уроками. Так же обстоятель дело и в тот, к счастью, критий период, когда от преподавания в гимназии Штейнер за necesidad экзаменов был отстраен, а реальное училище не открылось. Однако он неизмененно возвращался в родное училище, где к его выходкам привели, а математические его таланты высоко ценились.

В результате подбирая задачи для сильных школьников, Штейнер прибрел сохранившийся у него на всю жизнь интерес к элементарной геометрии. Рассмотрим несколько результатов Штейера в этой области. Начнем с задач, идущих от великого Эйлера.

Эйлер установил, что три середины сторон произвольного треугольника, три основания его высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от точки их пересечения (ортоцентра треугольника) до вершин принадлежат одной окружности. Эта окружность называется окружностью Эйлера или окружностью девяты точек треугольника. Замечательно, что для каждой треугольника его окружность Эйлера касается вписанной и трех внешисанных окружностей (рис. 1). Этот факт часто называют теоремой Фейербаха по имени того, кто впервые его доказал; но мало кто знает, что неизнакомый с результатом Фейербаха Штейнер доказал эту теорему всего через два года после ее первооткрытателя и сразу же опубликовал свой результат (так что многие математики познакомились с ним по публикации Штейнера, а не Фейербаха).

Задча 1. Пусть окружность S с центром в ортоцентре H треугольника ABC пересекает его средние линии B₁A₁(∥AB), C₁B₁(∥BC) и A₁C₁(∥CA) соответственно в точках F₁ и F₂, D₁ и D₂, E₁ и E₂. Докажите, что AD₁=AD₂=BE₁=BE₂=CF₁=CF₂ (теорема Штейнера).

Два треугольника ABC и A₁B₁C₁ пересеканы с центром пересечений P, если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ сохраняются в одной точке P. Два «собственно подобных» треугольника ABC и A₁B₁C₁ (т. е. подобных и таких, что направления обхода A→B→C и A₁→B₁→C₁ одинаковы — оба совпадает с направлением вращения часовой стрелки или оба противоположны

ему) всегда можно совместить центром Q, т. е. равномерным растяжением от Q или скатнем к Q (гомотетей), сопровождаемым повтором вокруг Q (почему?); точка Q называется центром подобия треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Задача 2. Пусть a, b, c — прямые, образующие треугольник T; пусть прямая l пересекает a, b, c в точках A₀, B₀, C₀. Восстановим в этих точках перепедикуляры к сторонам треугольника T: a₁ ⊥ a, b₁ ⊥ b, c₁ ⊥ c. Обозначим треугольник, образованный прямыми a₁, b₁, c₁, через t.

a) Тогда треугольники T и t собственно подобны и перспективны; описанные вокруг них окружности S и s взaimно перепедикуляры (т. е. перепедикуляры касательные к S и к s в точке их пересечения); точки {P, Q} = S∏s является соответственно центром перепедиктуры и центром подобия треугольников T и t (теоремы Штейнера).

Как изменяется приведенные теоремы, если прямые a₁, b₁, c₁ не перепедикуляры a, b и c, а образуют c, c b и с с соответственно заданный (по величине и по направлению) угол α?

Следующая серия задач, касающся полного четырехсторонника, идет от великого Гаусса: Штейнер со вкусом выбирал предшественников!

Полным четырехсторонником Ч называется фигура, образованная четырьмя прямыми «общего положения» (т. е. такими, что никакие три не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны); треугольники, сторонами которых являются три из этих прямых, называются треугольниками четырехсторонника Ч; точки пересечения прямых — вершинами четырехсторонника Ч; отрезки, соединяющие одной из наших прямых) вершины, — диагоналими четырехсторонника Ч.

Задачи

3 (теорема Гаусса). Середины трех диагоналей четырехсторонника Ч принадлежат одной прямой (рис. 2, a). Эта прямая называется прямой Гаусса четырехсторонника Ч.

Описанные вокруг четырех треугольников

Уильям Киндом Клиффорд (1845—1879).

угольников Ч окружности пересекаются в одной точке (рис. 2, б). Эта точка С называется точкой Клиффорда четырехсторонника Ч.

Теорема из задачи 4 была известна и до Клиффорда. Он, однako, придумал замечательную конструкцию (цель Клиффорда), в котором эта задача включается. Полным n-сторонником N называем n прямых «общего положения»; N содержит n полных (n—1)-сторонников $M_1, M_2, \dots, M_n$ , получаемых отрасыванием прямых по одной. Точкой Клиффорда «полного 2-сторонника» (a, b) называем точку пересечения прямых a и b, а окружность Клиффорда полного 3-сторонника (a, b, c) — окружность, содержащую три точки Клиффорда 2-сторонников (a, b), (a, c) и (b, c) (т. е. окружность, описанную вокруг треугольника со стороны a, b, c). Далее, если n четно, то n окружностей Клиффорда (n—1)-сторонников $M_1, M_2, \dots, M_n$ пересекаются в одной точке — точке Клиффорда полного n-сторонника N (при n=4 — это теорема задачи 4). Если же n нечетно, то n точек Клиффорда (n—1)-сторонников $M_1, M_2, \dots, M_n$ принадлежат одной окружности — окружности Клиффорда полного n-сторонника N.

Задание

5 (вспомогательные задачи). a) Основания перpendикularов, опущенных на стороны треугольника T из точки M описанной вокруг него окружности, принадлежат одной прямой (рис. 2, б). Эта прямая w называется прямой Симпсона — Валлиса точки M относительно треугольника T.

Прямая w делит пополам отрезок MH, где H — ortоцентр треугольника T.

6 (теоремы Штейнера). a) Ортоцентры четырех треугольников Y принадлежат одной прямой (рис. 2, б). Эта прямая s называется прямой Штейнера четырехсторонника Y.

Для каждой полного четырехсторонника Y его прямая Штейнера s переpendикularна его прямой Гаусса g.

Продолжим теперь жизнь описания Штейнера. Самой большой его удачей в берлинский период жизни было знакомство с математиком-любителем, богатым промышленником, талантливым инженером и железнодорожным магнатом Августом Леопольдом Крепле (1780—1855). Видным ученым Крепле не был, хотя он и состоит членом Берлинской (Прусской) и членом-корреспондентом Петербургской (Российской) академий наук. Однако этих отличий он удостовился скорее за свои инженерные достижения и организационные таланты, чем за научные успехи. Но крупный предприниматель обязан хорошего разбиателя в людах — и Крепле доказал, что эти миспособностями он обладает в полной мере.

Первый специальированный математический журнал в Европе был основан в 1810 году известным французским математиком Жозефом Динаом Жергоном (1771—1859) и назывался «Анналы Жергона». Крепле решил создать математический журнал в Германии. Обдумывая состав будуших авторов журнала, Крепле в первую очередь рассчитывал на двух совершенной неизвестных професссионным математикам лиц, в таланты

которых он глубоко верил: на недоучившегося норвежского студента Н. Х. Абеля и на учтеля средней школьы Якоба Штейнера. Первый выпуск нового журнала, который инженер Крепле называл: «Журнал чистой и прикладной математики», вышел в 1826 году. Основное его содержание (как и содержание следующих выпусков журнала) составляли статьи Абеля и Штейнера. Так, в первых трех томах журнала напечатано 15 (!) статей и заметок Штейнера. «Журнал Крепле», как его тут же стал именовать математики, стал «первым математическим журналом мира». (В этой связи Жергон даже закрыл в 1831 году свой журнал. Впрочем, в 1836 году он был возобновлен другим французским математиком Жозефом Ливиллем (1809—1882) под названием, в точности копирующим название журнала Крепле.)

С созданием журнала Крепле Штейнер получил трибуну, с которой он мог возвратить свои геометрические идеи. К тому же влягательный Крепле стал инциатором избрания Штейнера (в 1834 году) в Берлинскую Академию наук: выдавшиеся научные труды Штейнера, опубликованные в журнале Крепле, давали для этого достающие основания. После этого было уже нетрудно добиться избрания Штейнера профессором — и в 1835 году Штейнер расстался со средней школе, заняв место профессора естественного научного отделения Берлинского университета.

Замечательно, что неважный школьный учтель Штейнер оказался выдающимся университетским профессором. В школе его разделжалиучные математические ученики; интересующие же геометрией студенты вдохновляли Штейнера, и его яркие по форме и темпераментные по использованию лекции сразу же стал пользоваться очень большим успехом: даже швейцарский акцент необычного профессора правался студентам. Импонировало студентам и то, что Штейнер постоял на своих лекциях задачи и вызывал служателей к доке для решения этих задач. (В наши дни так же стройл свои лекции в Московском университете)

Этот успех lekций Штейнера в истории геометрии частично сыгral даже отрицательную роль. Так, еще и во второй половине нашего столетия, лекции, скажем, по проективной геометрии во многих университетах мира читались по сільно к тому времени устаревшей схеме, разработанной не получившим систематического образованияшей цейарским пастухом. При этом использовалась придуманная Штейнером арханческая терминология, не употребляющая больше ни в одном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер兵力ствовали необычно профессора правался студентам и то, что Штейнер постоял на своих лекциях задачи и вызывал служателей к доке для решения этих задач. (В наши дни так же стройл свои лекции в Московском университете)

Этот успех lekций Штейнера в истории геометрии частично сыгral даже отрицательную роль. Так, еще и во второй половине нашего геометрии, стремящемся заменить геометрические образы их записью в координатах и затем работать с координатными представлениями геометрических объектов, использую совершенную алгебраический аппарат. Уже одно это было крайне антипатично «чистиому» геометриу Штейнеру, аналитических методов в геометрии не признавашему. Кроме того, возможно, Плюкер имел в глазах выходца из бедной крестьянской семьи Штейнера, так и не получившего университетского образования, еще два недостатка. Плюкер произходил из семьи рейнских промышленных магнатов и был чрезвычайно богат. Помимо того, он окончил два университета: в Бонне и в Париже. Поэтому немного, что работает Плюкера вызывали яростить Штейнера.

Плюкер в своих работах был неаккуратен — описки и другие дефекты, общно легко установить у него передко, так что почва для наладок Штейнера и в самом деле была. Резкая (и чаще всего несправедливая) критика Штейнера так утомила Плюкера, что он времени-

но даже вовсе отказался от геометрии, вернулись к ней (с выдающимся успехами) лишь после смерти Штейнера. Пока же он обратился к эспериментальной физике, успев и в этой области очень много. В частности, возможно, что без нападок Штейнера на Плюкера человеково позже пришло бы к идеям физического структурного анализа и к открытию так называемых категных лучей, осуществленному учеником Плюкера Юганом Вильгельмом Гиттором (1824—1914).

Так даже недостатки больших учены и/or оборачиваются благом для науки!

Последение два года жизни Штейнер много более сказалось перепряжение и недоедание в ранние годы. Для излечения он частоездил в родную Швейцарию, но в 1863 году из такой поездки он так и не вернулся: Штейнер умер 1 апреля 1863 года в полном одиночестве в номере гостиницы в Берне. Длительный период материальной необеспечности помещал ему обзавестись семьей. Он за

вещал некоторую сумму денег Берлинской Академии наук — для учреждения премии за социения по геометрии (конечное же, «чистой»!), и руководствукантана, где он родился — на премию за успехи в области математики ученикам начальной школи для детей бедняков.

Приложение

Построения с помощью одной линейки

Поступаты 1—3 Евклидовых «Начал» утверждают возможность неограниченного продолжения заданного отрезка прямой, проведения прямой через две известные точки и проведения окружности с заданным центром (точкой) и радиусом (отрезком). Вместе с подразумеваемыми Евклидом, но явно не формулируемыми, поступатами о возможности указать точку пересечения двух заданных (например, каждая — двумя свойствами точками) прямых, двух известных (определенных свойствами центрами и радиусами) окружностей и заданных прямой и окружности эти поступаты описывают весь массив «разрешимых по Евклиду» задач на построение: эти задачи должны совпать к перечисленным построальным, т. е. решаться с помощью линейки и циркуля.

В 1797 году в Италии была издана книга Лоренцо Маскерони (1750—1800) «Геометрия циркуля», в котором установалось, что все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, разрешимы также с помощью одного лишь циркуля (с тем естественным ограничением, что отрезок прямой, понятно, циркулем быть построен не может, — однако, зная две его точки, можно циркулем указать неограниченное количество других точек отрезка). Гораздо позже была найдена изданная в 1672 году (за 125 лет до Маскерони!) по-голландски и по-датски книга датачина Георга Мора (1640—1697), в котором была доказана та же теорема.

Штейнер же занитересовался построениями, осуществными с помощью одной линейки (см. задачи 1—3 ниже). Он последовательно расмотрел построения одной линейкой, выполнимые при наличии на плоскости а) двух параллельных прямых или отрезка, разделенного известной точкой в данном радиональном отношении; б) параллельграмма; в) квадрата; г) окружности с известным центром — и установил, что в случае г) разрешимы все «разрешимые по Евклиду» задачи на построение (конечное, окружность с данными центром и радиусом мы одной линейкой

Построить не может,— но может найти любое число точек этой окружности).

3 адачи

1°. Даны параллельные прямые AB и l. Постройте: a) середину C отрезка AB; 6) такую точку D этого отрезка, что AD=AB/n, где n — заданное (натуральное) число.

2°. Даны точки A, B и a) середина C отрезка AB; 6) такую точка D этого отрезка, что AD=AB/n. Проведите через заданный точку M прямую l||AB.

3°. На плоскости задны точка M, прямая l и a) параллелограмм, 6) квадрат. Проведите через точку M в случае a) прямую m||l, в случае b) — прямую m⊥l.

4°. На плоскости даны окружность S с центром O и a) 5 точек: A, B, Q, K, L; 6) 6 точек Q, K, L, P, M, N. Постройте в случае a) точки пересечения прямой AB и окружности с центром Q и радиусом KL; в случае b) — точки пересечения окружностей с центрами Q и P и радиусами KL и MN.

5° (задчага Гильберта). На плоскости дана окружность S. Докажите, что одной линейкой — без циркуля! — построить центр этой окружности невозможно.

Кратчайшие сети дорог

Штейнер часто задавал своим студентам задачи, требующие указать самую лучшую в том или ином отношении фигуру или конфигурцию. Вот одна из его любимых задач:

Имелются три деревни: A, B, C. Требуется соединить их минимальной по длине сетью дорог.

Более или менее ясно (хотя и это требуется еще доказать), что решение здесь задается либо двумя (кроме линейшей) сторонами △ ABC, либо отрезками AP, BP, CP, где сумма расстояний от P до вершин △ ABC — наименьшая возможность (рис. 3, a, b). При этом в случае рисука 3,6 отрезки AP, BP, CP должны образоваться в точке P одинаковые углы, либо если, скажем ∠APB≠∠APC, то можно найти точку Q, что QA=PA, а QB+QC<PB+PC. Отсюда следует, что решение задачи Штейнера дается рисунком 3,6, если каждый угол △ ABC меньше 120°, и рисунком 3, a, если ∠B≥120°.

В случае, когда число деревень n>3, «минimalная» система соединиших их дорог может оказаться родственной рисунку 3,a, т. е. состоит из каних-то дорог, соединиших наши деревни — такая система дорог называется остовной. Перебором (если надо — с помощью ЭВМ; сейчас к решению «общей» задачи Штейнера с большим числом «деревень» активино привлекаются компьютеры) всегда можно найти самую коротку остовную систему дорог. Но чаще лучше является сеть дорог, родственная рисуку 3,6, т. е. содержащая дополнительные «узлы» сети, в которых сходятся три дороги, попарно образующие между собой углы в 120° — такие узлы называются точками Штейнера, а содержащие их сети дорог — сетями Штейнера (рис. 4). Увы! Никаких общих методов отыскания минимальных сетей Штейнера, соединиших n пунктов, у нас нет; неизвестно также, когда «абсолютно минимальная» сеть дорог будет остной, а когда — сетью Штейнера. Правда, предполагают, что минимальная остовая сеть дорог очень заменено превышать минимальную сеть Штейнера не может: в самом худшем случае она оказывается всего в (2/3)√3 раз (т. е. примерно на 15%) длине — но и эта гипотеза доказана пока всего лишь для случая n≤5.

Вот как непроста оказылась «обещая» задача Штейнера о кратчайшей сети пути, соединиших n точек (у самого Штейнера для случая n>3 имеется лишь отдельные примеры таких сетей — но и сегодня мы знаем почти так же мало, как знал он!).

3 адачи

6°. Доказите сформированный результат Штейнера.

7°. Найдите кратчайшую сету пути, соединиших 4 точки A, B, C, D, являющиеся вершинами: a) квадрата; 6) треугольной пирамиды (тетраэдра).