10
ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ
А. А. ПАНОВ
Приглашаем вас на коротку эскурсию в загадочный мир флексагонов и флексов — бумажных игрушек, обладающих порозительной способностью внезапно менять свою форму и цвет. Любую из этих игрушек вы суммеете склить за самое короткое время.
Но прежде всего — о названии статьи. Англійское to flex ознакомной складываться, сгибаться, гнутся.
А теперь приготовьте листavatмана или плотной альбомной бумаги, карандаши, ножницы, клей — и за делю.
Гексафлексаон
Флексаон — это склеенный из бумаги многоугольник, который, изгибаясь и складываясь, может переходить во все новые и новые состояния.
Гексафлексаон — это флексаон, имеющий форму правильного шестиугольника. Вырежем из бумаги полоску шириной 2,5 см, состоящую из десяти правильных треугольников, и раскраим ее обе стороны — прямую и оборотную, как на рисунке 1.
Несколько раз перегнем полоску по границам треугольников и продолжим изготовление флексаона, складывая полоску, как на рисунке 2.
Теперь остаться только подогнуть визз синий треугольник, склить друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности — и флексаон готов. Однако у него красная, другая — синия. Чтобы извлечь на свет его третью — зеленую поверхность, необходимо действия следующим образом. Сначала флексаон ставится на плоскость стола так, чтобы он опирался на три нижние точки. Эти точки нужно поджать друг к другу, и в момент их полного сбижения флексаон сам собой вывернет наизнанку, обнажая свою зеленую поверхность. Теперь остается развести верхние точки флексаона в стороны, и флексаон готов к новой трансформации. Так, последовательно переходя из одного состояния в другое, флексаон будет почередно предъявлять нам все свои три поверхности. Рисунок 3 дает неокоторое представление об изготовлении флексаона.
Сделанная нами модель является простейшей из общирного семейства гексафлексаонов, описанного в книге Мартина Гарднера «Matematические головоломки и развлечения» (М., Мир, 1971). В этой интереснейшей книге изложена история открытия гексафлексаонов и подробно расскажено о том, как можно строить модели с большим числом поверхностей.
Двойное шарнирное соединение
Двойное шарнирное соединение — это конструктивный элемент, служащий основой для еще одного ряда флексаонных моделей. Вырежем из бумаги два прямогольника размером 2,5×5 см и две полоски размером 1×7 см. На обихах конца каждой полоски отгленем по квадрату 1×1 см. Раскраским прямогольниками и полоски, как на рисунке 4, где представлены их прямые и оборотные стороны.
Приклеим обе полоски к одному из прямогольников, соединяя неакрашенные квадраты с неакрашенными, и завернем обе полоски на красную сторону прямогольника. Должно получиться то, что изображено на рисунке 5.
Слэрку красной стороны наложим второй прямогольник и снова склеим неакрашенные квадраты. Это и есть двойное шарнирное соединение. Она само является простейшим флексаоном, который может находиться в
14
выражете, нужно будет сделать стибы — по сплошным линиям грибом вверх, а по пучкиным — вниз.
Теперь присутствим к склейке. Сначала работаем с левой полоской из четырех зеленьх треугольников. Изогнем ее и подклеим клапан так, чтобы из этих треугольников составился тетрадр. Сдвинемся впрово и склейм следующий тетрадр из филолетовых треугольников и так далее. После того как будет склеена цепочка из девяты тетрадров, останется четырьх треугольника. Теперь вы уже легко сообщите, как обведить эти треугольники в последний, десятий тетрадр и замкнуть цепочку. Можно проконтролировать себя, взглянуть на четвертую страницу обложки.
Эта цепочка обладает удивительной способностью изгибаться и выворачивать до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетрадров — это первый пример флекса — изгибаемого многогранника. Еще о кольцах из тетрадров вы можете прочесть в увлекательной книге У. Болла и Г. Коксетера «Matematические всеся и развлечения» (М., Мир, 1986).
Флексы Роберта Коннелли и Клауса Штефена
Нужно сказать, что колцо из тетрадров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений. Во-первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходит по четыре грани. Так что не понятно, стоит ли называть это колцо многогранником.
Что бы избежать всяких сомнений, при поиске флексов можно было бы ограничиться только выпukлями многогранниками, т. е. многогранниками, лежащими по одному сторону от каждой из своих граней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том, что любый выпukляй многогранник неизгибаем (см. например, статью Н. П. Долбилина «Жесткость выпukляих многогранников», «Квант», 1988, № 5). Она была доказана в 1813 году. Хотя эта теорема не исключаа существования невыпukляих флексов, но многие математики считали, что и таких флексов тоже не существует. Поэтому сенсцией являся флексор, открытий Робертом Коннелли в 1977 году. В свое время конструкция, предложенная Коннелли, обсуждалась в статье В. Залгалера «Непрерывно изгибаемый многогранник» («Квант», 1978, № 9) и показалась мне тогда настолько сложной, что я даже и не стал в ней разбираться. Однако вскоре Клаусу Штефену удалось придумать настолько простой флексор, что его можно склеить буквально за считанные минуты. Как это сделать, показано на 4-й странице обложки «Кванта» № 5 за этот год.
А теперь переходим к заключительному сюжету.
Флексмы
Флексмы — это существа, населяющие мир флексагонов и флексов. Вы уже наверняка обратили внимание на изображение флексана (с. 13). Чтобы пользоваться с флексманами, вырежьте из плотной бумаги квадрат со стороной 15—20 см. Его нужно согласно по диагоналям грибом вверх и по штириховой линии (рисунок 16, а) грибом вниз, а затем сложить, чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четырьше одинаковые операции. Результат первого из них — сибб по штириховой линии рисунка 16, б — изображен на рисунке 16, с, окончательный результат — на рисунке 16, г. Остаюется еще четырьше одинаковые операции — отгибание маленьких треугольников, и перед нами — флексман.
Самое применительное свойство флексанов — это их умение ходить по наклонным плоскостям. Стоит поставить флексана на достаточно пологую наклонную плоскость, и он тут же начинает мелким шажками спускаться по ней. Каждый из флексанов обладает своеобразным характеристим или, уж во всяком случае, своеобразной походкой. Думаю, что знакомство с ним доставит вам удобствие.