Решения задач М1091—М1095; Ф1103—Ф1107

36

Решения задач

M1091. Изовем натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.
a) Найдите наименьшее число а такое, что числа а и а+1 — удачные.
b) Существует ли такое a, что числа a, а+1 и а+2 — удачные?

M1092. Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник 10 раз складывают (перецбая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получиться?

Ответ: a=549. Очевидно, сумма цифр любого числа четна. Поэтому, если a и a+1 — удачные числа, то a оказывается на 9 (инначе цифры этих двух чисел имеют разную четность). Ясно, что a не может быть двух значений (99+1=100). Если число a — трехзначное, т. е. a=xy9 (черта означает десятичную запись), то y<9 и a+1=x(y+1)0. Следовательно, x+y=9, x=y+1. Отсюда x=5, y=4.

6. Ответ: не существует. Как видно из решения задачи a), оба числа — a и a+1 — должны оказаться на 9, но это невозможно.

Н. И. Зильберер

Ответ: 1025. Решим задачу сразу в общем случае для n стибов. Проведем внутри многоугольника произвольный отрезок AB и отметим на нем точки C₁, C₂, …, Cₙ+1 также, что CₙB=2⁻k·AB (см. рисунок). Через каждую из точки Cₙ проведем прямую lₖ перепendlкулярно к AB. Последовательно перегнем многоугольник по прямым l₁, l₂, …, lₙ слева направо n раз (мы считаем, что первоначально точка A лежит левее B) и разрежем его по прямой lₙ+1. Отрезок AB сложится в отрезок CₙB, на котором сложенная фигура имеет 2ⁿ слое. Слева от разреза каждой слой соединен с другим сломем через перегиб lₙ, поэтому слова мы получим 2ⁿ−1 кусков. Справа от разреза слой также попарно соединены, за исключением двух одиночных нижних слов — краев исходной фигуры. Поэтому справа получится 2ⁿ−1+1 кусков, а всего получится 2ⁿ+1 кусков.

Покажем индикцией по числу перегибов n, что число кусков не может быть больше 2ⁿ+1. При n=0 это утверждение очевидно. Пусть оно верно для n перегибов. Перегнем многоугольник n+1 раз. После первого перегиба получается два соединенных между собой частично перекрывающихся многоугольных слоя. В дальнейшем каждый из этих слов можно рассматривать отдельно: он будет перегнут n раз и разрезан, что по предположению индикции дест 2ⁿ+1 кусков. Посокльку хотя бы два куска из разных слов должны быть соединены через перегиб, общее число кусков не превыходит 2(2ⁿ+1)-1=2ⁿ−1+1.

Таким образом, максимальное число кусков равно 2ⁿ+1; в частности, при n=10 получится 2¹⁰+1=1025 кусков.

С. В. Казаков

Ответ в задаче a): n−k+1.
a), 6) Разобем точки на «серии», каждая из которых начинается с двойки и включает следом

37

но во всех точках производаются следующие преобразования: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по числовой стрелке цилиндрического равнлось $k \ge 1$.

a) Через какое количество преобразований заведomo не останется ни одной двойки?

b) Пусть, кроме того, в $n-k$ остальных точках вначале стояли единицы. Докажите, что в конце концов останется $k$ единиц и $n-k$ нуля.

(по часовой стрелке) единцы. Если серия начинается в точке $A_1$, заканчивается перед точкой $A_2$ (где стоит двойка или ноль — на рисунке 1 это обозначено звездом)

Дочкой) и включает $m \ge 0$ единиц, то через $m+1$ шагов в $m$ точках, следующих за $A_1$, будут стоять $m$ нуля, а в точке $A_2$ — единица. На рисунках 2, а, б, в изображена эволюция одной серии для $m=0$, $m=1$ и $m=4$ ($\emptyset$ означает 0 или 1). Такая эволюция происходит одновременно со всеми сериями. Таким образом, если вначале было $k$ двойки в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_k$ и самая длинная серия содержала $m \le n-k$ единиц, торовно через $m+1$ преобразований не останется ни одной двойки. Если при этом в остальных $n-k$ точках стояли единицы, то после всех преобразований на их местах будут стоять нуля, а в $k$ точках $A_1$, $A_2$, …, $A_k$ — единицы.

Н. В. Васильев

M1094. Пусть $a, b, c$ — неотрицательные числа.
a) Докажите, что из неравенства $a^4+b^4+c^4 \le 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (1)
следует неравенство $a^2+b^2+c^2 \le 2(ab+bc+ca)$. (2)
b) Верно ли обратное: из неравенства (2) следует неравенство (1)?

a) Преобразуем разность правой и левой части (1):
$$D=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=4a^2b^2-(a^2+b^2)^2+2c^2(a^2+b^2)-c^4=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2.$$
Если $D \ge 0$, то $2ab \ge |a^2+b^2-c^2|$. Поскольку буквы $a, b, c$ входят в условие совершенного симметричного образом, можно считать $a \ge b \ge c$. Тогда $a^2+b^2+c^2=|a^2+b^2-c^2|+2c^2 \le 2ab+2c^2 \le 2(ab+bc+ca)$.
6) Ответ: не верно. (Пример: $a=4$, $b=c=1$.)
Заметим, что, продолжив преобразования разности $D$, можно разложить ее на линейные множители:
$$D=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).$$
Здесь лишь одна скобка (в котором вычитается набольшее из чисел $a, b, c$) может оказаться отрицательной. Таким образом, (1) эквивалентно условию, что каждое из чисел $a, b, c$ не больше суммы двух других. Аналогично, (2) эквивалентно тому, что каждое из чисел $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$ не больше суммы двух других. Отсюда легко получить другое решение задачи a): ведь если $b+c \ge a$, то $(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \ge b+c \ge a$ и $\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge \sqrt{a}$.
Выражение $D$ встречает в формуле Герона для плошади треугольника со сторонами $a, b, c$ (эта площадь равна $\sqrt{D}/4$); такой треугольник существует, если $D > 0$.

38

М1095*. На плоскости задана окружность с центром O и две точки A, B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Построите хорду MN этой окружности, которая видна из точки A под заданным углом α и a) параллельна прямой AB; б) проходит через точку B. (Если В лежит вне окружности, то через B должен проходит продолжение хорды MN.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Для любой прямой, проходящей через произвольную даниную точку P и пересекающей даниную окружность, PX $\times$PY = $|d^2 - R^2|$, где X и Y — точки пересечения, d = PO — расстояние от P до центра O окружности, R — радиус окружности. (Из подобия треугольников PXX1 и PY1Y следует, что PX $\cdot$PY = PX1 $\times$PY1 = $(d + R)|d - R|$).

по доказанному, получившийся отрезок MM1 будет иметь нужную длину. Тепер, пользоваться тем, что для исходной хорды MN известен угол MN1N (он равен α) и расстояния ON=OM=R, мы можем построить отрезок, равный этой хорде. Для этого достаточно проведсти луч под углом α к уже построенному отрезку MM1 из его конца M1 и отметить точки пересечения этого луч с данной окружностью. Таких точек может быть 0, 1 или 2 (рис. 3). Отрезки, соединяющие эти точки с M, и дают возможность значения длины исходной хорды. Остается построить в данной окружности хорду известной длины, параллельную данной прямой AB. Поскольку эта известная длина принимает 0, 1 или 2 значения, наша задача может иметь 0, 2 или 4 решения. (Читатель самостояльно покажет, что 4 решения задача может иметь, если точка A лежит вне данной окружности; пример такой ситуации приведен на рисунке 4.)

6. Снова предположим, что искомая хорда MN построена (рис. 5). Проведем окружность AMN и обозначим через с прямыми AB и MO ($C \neq A, M_1 \neq M$). По-прежнему оказывается,

39

Что длина отрезка $MM_1$ не зависит от данного угла. Для доказательства нужно несколько раз применить теорему, приведенную выше (рис. 2):
$$BC \cdot BA = BM \cdot BN = BE \cdot BF,$$
где $E$ и $F$ — точки пересечения исходной окружности с $AB$; значит, положение точки $C$ не зависит от данного угла, и снова

$$OM_1 \cdot OM = OA \cdot OC.$$

Далее решение почти не отличается от решения задачи a), только на сея раз нужного строить не хорду данной длины, параллельную данной прямой, а хорду данной длины, продолжение которого проходит через данную точку. Нужно также отметить, что при некоторых расположениях точек $A$ и $B$ (см., например, рис. 6) угол $MM_1N$ может оказаться равным $\pi - \alpha$, а не $\alpha$.

Рис. 4.

Можно избежать перебора случаев, если воспользоваться понятием «направленного угла»: угол от прямой $AM$ до прямой $AN$, отсутствием, скажем, против часовой стрелки, всегда будет равен углу от $M_1M$ до $M_1N$, отсутствием в том же направлении. По-прежнему задача имеет 0, 2 или 4 решения.

Р. О. Бурдин

Ф1103. Математический матник длиной $l$ показывается в точке $A$ на конусе с углом расстояния $2\beta$ (рис. 1). Какой путь пройдет матник до отрыва от поверхности конуса, если легким толком матник вывести из положения равновесия? Угол наклона конуса к поверхности земли $\alpha$, поверхности конуса считается ладкой.

Поскольку верхний конец нити закреплен, матник до отрыва от поверхности конуса будет двигаться по окружности. Плоскость этой окружности наклонена под углом $(\pi/2 - \alpha)$ к горизонту, ее радиус $r = l \sin \beta$. По мере сокращения с конуса скорость точки $A$ растет, значит, должно увеличивается и ее центростремительное ускорение. В некоторых моментах действующих на матник сил может «не хватить» для продолжения движения по окружности, и тогда произойдет отрыв точки $A$ от поверхности конуса.

Рассмотрим силы, действующие на точку $A$ при ее движении по конусе. Это сила тяжесте $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$ (рис. 2). В момент отрыва сilia реакции обращается в нуль. Этим и воспользовется для ответа на вопрос задачи.

Введем систему координат так, как показано на рисунке 2: направим ось $X$ по радиусу к центру окружности, ось $Y$ — по касательной к окружности и ось $Z$ —

41

Проведем из точки $E$ пряму $EF \parallel DN$. Условие возникновения эквивалентно условию возникновения построения треугольника из отрезков $ME$ и $EF=DN$ (равных длинами нитей) и отрезка $MF=|MN|-ED$ (равного разности длины стержней):

$$MF > |EM|-DN|.$$

Таким образом, если разность длины стержней больше разности длины нитей, то параллельные стержни, в противном случае параллельные нитей. В частности, если равны стержни, то параллельные нитей, если же равны нитей, то параллельные стержни. Если разности длины стержней и нитей одинаковы, то и стержни, и нитей лежат на вертикали $OA$.

В. Т. Карпетян

Ф1105. Металлический диск радиусом $r=10$ см врачается в горизонтальной плоскости со скоростью $v=60$ об/мин. Свысоты $H=10$ см на него падает плоскостью брусок, масса которого много меньше массы диска. Нижняя грань бруска все время параллельна плоскости диска, коэффициент треня между металлом и плоскостью $\mu=0,1$. На каком расстоянии от оси должен упасть брусок, чтобы при повторном nadении он унал за пределами диска? Считать, что после отскока брусок поднимается на прежнюю высоту; размеры бруска пренебречь.

Пусть брусок при первом nadении ударяется о диск в точке $A$, находящейся от центра диска на расстоянии $x$ (см. рисунок). Во время удара на брусок со стороны диска действуют две силы — направления вертикального сила реакции опоры $\vec{N}$ и направления горизонтального сила треня $\vec{F}_{\text{тр}}$. Предполагая, что в течение всего соударения скорость бруска относительно диска меньше линейной скорости $v_A = \omega x = 2\pi vx$ точки $A$ диск, получим, что все время $F_{\text{тр}} = \mu N$. Тогда импульс, переданный диском бруску в горизонтальном nadравлении, связан с импульсом, переданным бруску в горизонтальном nadравлении, соответственно.

$$P_r = \mu P_B.$$

С другой стороны,

$$P_r = mv,$$

где $m$ — масса бруска, $v$ — его горизонтальная скорость после соударения,

$$P_B = 2mv_0,$$

где $v_0 = \sqrt{2gh}$ — вертикальная скорость бруска непосредственного перед соударением. Отсюда находится

$$v = 2\mu v_0 = 2\mu \sqrt{2gh}.$$

За промежуток времени $\tau = 2t_{\text{пяд}} = 2\sqrt{2h/g}$ между первым и вторым соударениями брусок пролетит по горизонтали расстояние

$$l = v\tau = 8\mu h.$$

По условию задачи должно выполнять соответствие

$$l > \sqrt{r^2 - x^2},$$

т. е.

$$x > \sqrt{r^2 - l^2} = \sqrt{r^2 - (8\mu h)^2} = 6 \text{ см.}$$

Проверим, будет ли при этом выполнять условие $v < v_A$:

$$v = 2\mu \sqrt{2gh} \approx 28 \text{ см/c},$$

$$v_A = 2\pi vx \approx 38 \text{ см/c} > v.$$

Итак, брусок должен первый раз упасть на диск на расстоянии не меньше 6 см от его центра.

Л. А. Закревский

42

Ф1106. Неколько слов о северпроводниках. Северпроводники обладают свойством выталкивать магнитное поле (так называемый эфект Мейснера), благодара ему они могут парить над магнитом. Этот особенность северпроводников предполагается использовать для создания северскоростных поездов на «магнитной подвеске», опытные образцы которых уже испытывалися. А теперь сама задача. На северпроводии образец массой m, парящий над постоянным магнитом,kladут груз точного такой же массы. Во сколько раз необходимо увеличить магнитную indукцию поля, создаваемого магнитом, чтобы северпроводик с грузом парил на прежнем расстоянии от магнита?

Ф1107. Свежевыпавший пушистый снег искусственно на солнеце. Оцените характерное расстояние между отделными «искриками».

Будем считать, что снежники в снежном покрове представляют собой случайным образом ориентированные плоские зеркала одинаковой площадью порядка 10 mm².

Каждая снежника-зеркальце отражает свет в виде расходящeres пучка. Угол расходимости равен угловому размеру Солнца $a \approx 0,5^\circ$. Вероятность $q$ того, что отраженный свет от случайно ориентированной снежники попадает в данную точку $A$ (см. рисунок), равна отношению площади основания конуса светового пучка к площади полусферы, проходящей через точки $A$ (центр полусферы находится на снежнике). Учитывая, что высота светового конуса практически равна радиусу полусферы, находим

$$q = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 \text{tg}^2 \alpha/2}{\pi R^2} = \text{tg}^2 \alpha/2 \approx \frac{\alpha^2}{4},$$

где $R$ — радиус полусферы, или расстояние от снежники до наблюдаемого, $r$ — радиус основания светового пучка.

На одном квадратном метре северности снежного покрова расположены $n \approx 10^5$ снежинок, при этом свет от $qn$ частиц будет попадать в точку $A$.

Чтобы оценить характерное расстояние между отделными «искриками», будем считать, что светящиеся снежники расположены на поверхности светового поверхности, например на центрах плотнопакованных шестиугольников. Тогда площадь одного шести

43

Угольника $S_0$ и характерное расстояние между искринами $d$ связаны соотношениям

$$S_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} d^2,$$

откуда находится

$$d \approx 60 \text{ см.}$$

При практическом наблюлении снежинок нужно учитывать биокулярность человекаского зрения. При малых расстояниях наблюдается: диаметр светового пучка меньше расстояния между зрачками, и каждый глаз видит «свой» искрини. При большом расстоянии ($R > 30$ м) диаметр светового пучка от отдельной снежинки становится на порядок больше, чем расстояние между зрачками, и можно использовать модель «точного наблюдаателя», как сделано выше.

Заметим, что искристый снег можно наблюдаать не только днем, но и ночью, например в свете фонарей уличного освещения. Вспомните А. А. Фета:

Скрип шагов вдоль улицы белых.
Огоньки вдали.
На стенах оледеных
Блецут хрустали.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Заказы принятия…

(Начало см. на c. 22)

Цель книги — познакомить читателя-neспециализста с основными фактиками квантовой физики и истории их открытия.

95. Тарбеев Ю. В. Физическая величины. Единцы. Эталоны. Константы. 1 р. 10 к.

В краткой и доступной форме представлены основные метrologические понятия, наименования и приятия в практике обозначения физических величины, наиболее точные и надежные значения физических常态, единицы физических величины.

96. Яворский Б. М., Се-лезнев Ю. А. Справочное руководство по физике для поступающих вузы и самообразования. 1 р. 90 к.

Руководство содержит сведения по всем разделам физики, которые изучаются в средней школе и средних специальных учебных заведениях.

108. Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С. Физика в примерах и задачах. 1 р.

Цель авторов — научить читателя рассудать, довести его до глубокого понимания сутки рассматриваемых явлений. В новом издании нашли отражение последние изменения содержания курса физики средней школе и программ конкурсных экзаменов вузы.

109. Гурский И. П. Элементарная физика с примерами решения задач. 1 р. 10 к.

Последовательно и кратко рассмотрен весь элементарный курс физики. Цель автора — помочь абитурентам повторить курс физики с минимальной затратой времени.

110. Меледин Г. В. Физика в задачах: Экзаменационные задачи с решениями. 70 к.

Содержит сведение 500 задач, предлагавшихся на письменном вступительном экзамене по физике в Новосибирском государственном университете.