Заказы принимаются...

Квант 1988, №7 с. 22, 23, 25, 26, 27, 28, 30 Тег TVA0

имеет максимальное значение при
$\cos \vartheta = \cos \vartheta_0 = \frac{v}{c}.$
Тогда $\sin \vartheta_0 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ , и максимальное значение видимой скорости —
$\tilde{v}_{\text{max}} = \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.$
Скорость $\tilde{v}_{\text{max}}$ стремится к бесконечности, когда скорость реализного перемещения $v$ стремится к скорости света $c$ .

Чтобы закончить наше рассмотрение, остается еще сравнить две величины: промежуток времени между испусканиями сигналов — $(\Delta t)_0 = t_1 = \frac{s}{v}$ и промежуток времени между их приемами — $\Delta t = \frac{s}{v} (1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta)$ .

Возможно, у читателя возникнет вопрос: почему у нас отношение $(\Delta t)_0 / \Delta t$ не совпало с отношением $T_0 / T$ из формулы (1)? Куда делся множество $\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}$ ? Дело в том, что с этим множительем, встречающимся почти во всех формулах теории относительнойности (его называют релятивистским корнем), связан более тонкий эффект, который в нашем простом расчете ускользает: ведь мы пользовались не теории относительнойности в полном ее объeme, а только фактом конечности скорости света. Можно сказать, что мы сделали расчет в приближении, в котором пренебрегается всеми степенями величины $\frac{v}{c} < 1$ более высокими, чем первая. А формула для эффекта Доплера — это точный результат теории относительнойности.

Надеемся, что читатель понял, как может возникать иллюзия движений со сверхсветовыми скоростями. Но рассмотренный нами пример с фонариком — не единственная мысливая возможность. Вот еще ситuation, в которой мы предлагаем вам разобраться самостояльно. Пусть имеется некоторая полоса, перpendикулярная лучу зрения, которая в какой-то момент все одновременно вспыхнула. Что будет видеть наблюдаться?

Можно рассмотреть не полосу, а вспыхивающийшую сферу. Это могла бы быть оболочка квазара, освещаемая его центральным источником. В этом случае картине наблюдаемого явления — увеличению в размерах света щетогося пятна — будет соответствовать сверхсветовые скорости. Легко придумать и другие модели такого рода.

Гораздо труднее выяснить, какова действительная природа мощных взрывов, вспышек, выбросов, которые создают иллюзию сверхсветовых движений. Это — задача дальнейших исследований.

Заказы принимаются…

Глабная редактирация физico-mатематической литературы издательства «Наука» является крупнейшей издательской организации, выпускающей литерару по физico-mатематической наукам.

На все издания Глабной редактирации физico-mатематической литературы, включенные в тематическую склейп план выпуска на 1989 год, гарантирует полное выполнение заказов книготорговых организаций.

Ниже приведен список книг (с краткими аннотациями), которые могут заинтересовать наших читателей. Нуемая соответствие тематической плану. Цена — ориентировочная.

Математика

Бюллер В. Гаусс (биографический оцерк): Пер. с англ. 1 р. 80 к.

Впервы на русском языке издается книга, специально посвященная жизни и творчеству К. Ф. Гаусс (1777—1855) — одного из велини

Чайших математиков в истории человека. Много вимания уделяется историческим событиям, на фоне которых протекала нелегкая жизнь ученого.

Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. и нем. 2 р.

В сборник включены произведения выдающегося математика современности Германа Вейля (1885—1955), посвященные теоретико-позначательным проблемам математики, ее взаимодействием с научами о природе, роли в исследовании внешнего мира и творчества заменательных ученых Д. Гильберта, Ф. Клейна, Э. Нетер, А. Пуанкаре и В. Паули.

Клейн Ф. Лекции о развитини математики в XIX столетии. В 2-х томах. Т. I: Пер. с нем. 2 р. 50 к.

Новый перевод первого тома классического труда по истории математики девятнадцатого столетия, написанного выдающимся немецким математиком, педагогом и дейтелем математического просвещения Ф. Клейном (1849—1925).

Клейн Ф. Лекции об inklocation и решении уравнений пятой степени: Пер. с нем. 1 р. 90 к.

Посвящена одному из ярчайших разделов математики — геометрической теории inklocation и является уникальной по широте охватываемого материала и мастерству его изложения. Во второй части излагается основная геометрическая свойств inklocation теории уравнения пятой степени. На русском языке выходит впервые.

Гашков С. Б., Оlexник С. Н., Сергеев И. Н. Применим математку. 60 к.

Рассматривают вопросы построения и измерения ограниченных средствми, поиск оптимального решения в той или иной ситуации, способы быстроого счета, задачи на разрезание, переливание, взвешивание и т. п.

Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишЬ сфераграфом в пространстве. 30 к.

Книга написана на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал школьникам, принимашим участие в описании г. Львова.

Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по теорематрии. 80 к.

Содержит около 600 задач, сначалахенных подробными решениями, и 70 задач для самостоятельной работы. Большинство задачи по свеже тематике близки к школьной программе.

Задачи по математике. Начала анализа. 1 р. 70 к.

Методические построения справочника позволяет углубленно повторить этот раздел математики и самостояльно подготовиться к построению вуз с повышенной математической прорамкой. Книга создана на основе опыта преподавания математики на подготовительном отделении Московского государственного университета (механико-matематический факультет).

Цышкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения задачи математике для средней школы. 1 р. 90 к.

Содержит основные методы решения задачи школьного курса математики. Изложение методов сопроводяется разбором типичных задач.

Арнольд В. И. Гюйгенс и Барруу, Ньюотон и

Гук — первые шаги математического анализа и теории катастроф от эволюент до квазикристаллов. 80 к.

В книге, написанной на основе лекции для студентов, рассказывает оождении современной математики и теоретической физики в трудах великих ученых XVII века.

Никольский С. М. Элементы математического анализа. 40 к.

Mathematical analysis in the first edition of the book is based on the works of the author, who is a graduate student in the field of mathematics and a professor of mathematics. The book is written in Russian, and the text is in English.

Физика

Воробьев И. И. Теория относительной в задачах. 50 к.

Fisical theories of relative in the tasks. 50 к.

Майер В. В. Кумулятивный эфект в простых опитах. 50 к.

Physical effects in simple effects. 50 к.

Пономарев Л. И. Под знаком кванта! 1 р. 10 к.

Physical effects in simple effects. 10 к.

ИСТОРИЯ РОСИНКИ

Кандидат физico-mатематических наук
А. А. АБРИКОСОВ (мл.)

Состояние вещества былает: твердое, капельное, паровое и воздушное.
В. Даль. Толковый словарь живого велико-русского языка.

Введение

Все мы буквально на каждом шаг стalkиваемся с процессами испарения и кондensation. И хотя большим тут же представит себе кипящий чайник, безусловно, важнейший пример — это природный крутоворот воды, вне которого жизнь на Земле была бы, по меньшей мере,иной.

Итак, солнечное телло испаряет влагу у земной поверхности, конвективные точки и диффузия позволяют парамет доступить высоких атмосферных слоев. По мере движения вверх температура воздуха падает, пары конденсируются и образуют облака. Слияние и укрупнение капель внутри облаков завершается доjem — цикл замыкается.

Мы поговорим об одном из важнейших звеньев в этой цепочке — об образованни капелек при охлаждении водыного пара, но вначале напомним одно важное понятие.

Как вы знаете, насыщенные называются пары, которые находятся в равновесии с жидкой фазой. Каждый температуре $T$ соответствует свое определенное значение $p^0(T)$ давления насыщенного пара (рис. 1). Линия $p^0(T)$ разбиивает плоскость $p, T$ на области, соответствующие жидkomу и газообразному состоянием.

Равновесие между жидкостью и газом представляет собой пример так называемого динамического равновесия. Через поверхность раздела происходит постоянный обмен молекулами между фазами: идут как бы встречные процессы испарения и кондensation. Если пары насыщенные, то потоки частиц в ту и другую стороны одинаковы и количество вещества в обеих фазах неизменно.

Концентрация насыщенного пара определяется скоростью испарения с единицами поверхности жидкости, т. е. плотность насыщенных паров является мерой летучости вещества.

«Телеканнибализм» в мире капель. Качественный аспект

Тепер мы можем перейти к основной теме нашей статьи — влиянию формирования на равновесие жидкой и газовой фаз. Оказывается, что искривление поверхности приводит к изменению давления насыщенного пара. Давайте рассмотрим пример.

Пусть под колпаком находятся две одинаковые почти сферические капельки. Мы уже знаем, что каждаяся неизменность такой системы обманчива. На самом деле под колпаком присутствует пар, причем молекулы, покинувшие одну каплю, легко достигают другой. Устойчив ли в данном случае динамическое равновесие?

Привлечем сперва энергетические сообщения. Свободная поверхность капли обладает энергейой

$E_S(r) = \sigma S = 4\pi r^2 \sigma$

(здесь $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $S = 4\pi r^2$ — поверхность сферы с радиусом $r$ ). Нетрудно

Рис. 1. Фазовая диалгамма системы жидкости — пар. Линия $p^0(T)$ , разделяющая область жидкой и газовой фаз, задает зависимость давления насыщенных паров от температуры.

убедиться, что минимальный энергию имела бы одна капля с удвоенной массой, а в нашем случае общая поверхность в $\sqrt[3]{2}$ раз больше.

Teoretическая это могло бы значить, что равновесие является неустойчивым. Но существует ли механизм, который привел бы к направленному переносу вещества, если в результате флуктуации симметрия вдруг нарушится и капельки станут хоть чутчь неодинаковы?

Да, такой механизм есть. Мы показем, что скорость испарения зависит от того, какую форму имеет испарющая поверхность. На поверхности большей кривизны (у маленькой капли) этот процесс идет интенсивнее. В свою очередь встречный поток молекул (конденсция) определяется только плотностью паров под колпаком и одинаков для обиха капель. Поэтому, если радиус капель отличается, капли не могут одновременно находиться в равновесии с паром. При этом большая капля оказывается более устойчивой и может постепенно поглотить меньшешую, даже не прикасаясь к ней. Такое «подание» на расстоянии можно было бы назвать телекинибализмом.

Математическое обоснование. Формула Кельвина

Закон сохранения энергии позволяет вычислить поправку к давлению паров, обусловленную искривлением поверхности. Расмотрим машину, изобранную на рисунке 2. Она пред_

Рис. 2. «Вечный двигатель». Из-за разности уровней жидкости в сосуде и в капилляре давление паров над выпуклым мениском больше $p^0(T)$ . Не приведет ли это к круговороту в системе?

ставляет собой «вечный двигатель», единственная недостатком которого является, по мнению изобретателя, лишь малая развиваемая мощность.

Парихская академия наук не рассматривает подобные проекты уже более двух веков (с 1775 года). Закон сохранения энергии гарантирует их неработоспособность. Но поряд оказывается полезно разобраться, где именно допустил ошибку изобретателя, какой конкретный физический принцип он не учел. Методические это напоминает доказательства от противного, общеприятые в математике.

Идея этого perpetuum mobile такова. В сосуде с легко летучей жидкости погружен капилляр из несмачиваемого материала. Уровень жидкости в капилляре будет ниже, чем в основном резервуаре, на величины

$h = \frac{2\sigma}{\rho g r},$

где $\rho$ — плотность жидкости, $r$ — радиус капилляра, $g$ — ускорение свободного давления. Пары жидкости неисредственно над ее поверхности имеют давление $p^0(T)$ , а над меняском в капилляре их давление будет больше на величины

$\Delta p = \rho^0 g h,$

где $\rho^0$ — плотность насыщенных паров (согласно уравнению Клапейрона — Мендлеева, $\rho^0 = \frac{p^0(T) M}{RT}$ ).

По замыслу изобретателя избыток паров выовет усиленную конденсцию в капилляре, и вследствие этого в системе возникнет круговорот жидкости.

Такое рассужждение содержит единственное слабое место: автор не учел эффектив, о котором мы говорили в предыдущем разделе. Сравним молекуры, находящиеся в поверхности жидкости в резервуаре и в капилляре (рис. 3). Очевидно, что в случае $a$ молекula имеет большое число соедей, с которых ее связьают между молекулярные силы. А это значит, что в случае $b$ молекULE проще покинуть жидкость, интенсивность испарения выше, и для компенсации необходимо большей встречный поток частиц.

Закон сохранения энергии утверждает, что направленный круговорот в системе отсутствует. Мы приходим к выводу, что равновесное давление паров над выпukлой поверхности жидкости равно

$p_0(r) = p^0(T) + \Delta p = p(T) + \frac{2\sigma}{r} \frac{\varrho^0(T)}{\varrho_{\text{ж}}}.$

(Обратите внимание, что ускорение свободного давления $g$ не вошло в конечный ответ, хотя и присутствовал в промежуточных выражках.)

Аналіз вечного диггателя — это прием, который позволяет нам кратчайшим путем достичь целли. Зато полученная формула имеет универсальный характер: для данной жидкости давление паров зависит не только от температуры, но и от кривизны поверхности.

Пусть теперь поверхность раздела имеет вогнутую форму. Установив в нашем perpetuum mobile смачиваемый капитляр, мы немедленно получаем результат, в котором добавка $\Delta p$ имеет противоположный знак:

$p_0(r) = p^0(T) - \frac{2\sigma}{r} \frac{\varrho^0(T)}{\varrho_{\text{ж}}}.$

При неслишком малых радиусах кривизны наши соответствия эквивалентны более точному уравнению

$p(r) = p^0(T) e^{\frac{2\sigma}{r} \frac{\varrho}{r} RT},$

полученном в 1871 году лордом Кельвином. Радиус кривизны береется со знаком «+» для выпukлой поверхности и со знаком «-» для вогнутой.

Можно найти характерное для данной жидкости значение радиуса кривизны, при котором поправка к давлению ставит сравнима с давлением надровной поверхностью:

$r_0(T) = \frac{2\sigma}{p^0(T)} \frac{\varrho^0}{\varrho_{\text{ж}}} = \frac{2\sigma M}{\varrho_{\text{ж}} RT} = \frac{2\sigma V_{\text{ж}}}{RT}$

(здесь $V_{\text{ж}}$ — молярный объем жидкой фазы). Величина $r_0$ зависит только от температуры, либо функция температуры является σ и $V_{\text{ж}}$ .

Первые числовые оценки

Давайте обсуждим величины обнаруженного эффекта и выясним, играет ли он сколь-нибудь заметную роль в реализации значения $\sigma$ , $\varrho_{\text{ж}}$ , $\varrho^0$ , $p^0$ и $r_0$ для воды при различных температурах. На первый взгляд кажется, что радиус $r_0$ удваивается.

Таблица

| $T$ , К | $\sigma \cdot 10^5$ Дж/ $\text{м}^2$ | $\varrho_{\text{ж}} \cdot 10^3$ Кг/ $\text{м}^3$ | $\varrho^0 \cdot 10^3$ Кг/ $\text{м}^3$ | $p^0$ , Па | $r_0 \cdot 10^9$ , М |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 273 | 75,5 | 1,00 | 4,88 | 611 | 1,2 | |
| 293 | 72,5 | 1,00 | 17,3 | 2,33 \cdot 10^3 | 1,1 | |
| 373 | 58,8 | 0,96 | 598 | 1,013 \cdot 10^5 | 0,7 | |

ручающе мал, просто не наблюдаем (ведь он в несколько сот раз меньше длины волны видимого света). Однако шарик такого размера содержит

$N(r_0) = \frac{4}{3} \pi r_0^3 \varrho_{\text{ж}} \frac{N_{\text{А}}}{\mu} \sim 10^2 \text{ молекул воды}$
( $N_{\text{А}} = 6,06 \cdot 10^{23} \text{ молекул воды}$ )

(настоящее неорадро). Нельзя не порядався этому результату, и вот почему.

При выводе основной формулы мы неявно предполагали, что система является макросопперской. Говорить о поверхности натяжении и давлении можно только при условии, что искривленный участок поверхности содержит достаточно большое количество молекул. Полученное значение $N(r_0)$ свидетельствует, что это справедливо практическими для всех $r > r_0$ .

Подумаем, где же могут практические свойства искусственных менясков? Разумеется, безнадежно пытается вытянуть одиночный капитляр радиуса $r_0$ . Но в нашем случае можно обойти и менее экзотических средствами.

Заметим прежде всего, что вовсе не обязательно иметь правильную капитальную сеть, можно попробовать воспользоваться пористым веществом. Приером могут служить силикагели — материалы, состоящие из спекшися гранул SiO₂ — вещества, смачиваемого водой. Размеры гранул колблются от 2·10⁻⁷ до 10⁻⁶ см, а промежутки между ними еще меньше, порядка r₀ (рис. 4). Если водыные пары могут беспрерывтенно пропикать в пространство между зернами, то над таким веществом давление паров должны уменьшаться в несколько раз. С помощью силикагелей удаляется создаватель сухую атмосферу для хранения гипросокопичных веществ, защищы металлов от коррозии. Силикагели можно эффективно использовать для очистки воздуха от газов и от других примесей как в промышленных установках, так и в бытовых, например в кухонных воздухаочистителей.

Реальная значимость воображаемой поверхности

Другой пример влияния границ раздела на свойства системы жидкости — пар мы встретием там, где эта граница еще не образовалась, а именно — в пересыщенном паре.

Если насыщенный пар контактует с жидкостью, то охлаждение или скатание неминуто приводят к конденсации. Состояния такой системы описываются точками p⁰(T) фазовой диаграммы (см. рис. 1). Однако, когда жидкая фаза отсутствует, изотерминачески скимая пары или же охлаждая их при постоянном объеме, можно их перенасить. Формула (*) позволяет лучшёй понять, что это значит.

Пары, давление которых превосходит p⁰(T), будут насыщенными по отношению к капелькам радиуса

$r(p) = \frac{2\sigma}{p - p^0(T)} \frac{Q^0}{Q_{ж}} = \frac{p^0(T)}{p - p^0(T)} r_0(T).$

Такие капли называются критическими зародышами. Например, что капельки меньше размеров охотно испарются.

Количество молекул внутри зародыша равно

$N(r) = \left( \frac{p^0}{p - p^0} \right)^3 N(r_0).$

Если степень пересыщения водного пара составляет 10 % ( $\frac{p - p^0}{p^0} = 0,1$ ), то $N(r) \sim 10^5$ молекул. В газовой фазе также же количество молекул занимает объем в несколько тысяч больший, чем в жидкой. Легко видеть, что образование критического зародыша тут весма затрудено, так как едва ли молекулы пара вдруг захотят так сильно «потребиться». Поэтому пересыщенный пар может «застрять» в своем энергетическом нейггодном, так называемом метасабильном состоянии довольно надолго.

В действительности процесс конденсации проходит немного по-другому. Попробуем оценить характерный размер капелек, с которых начинается образование тумана и выпадение носной росы. Предположим, что наканнуне вечером влажность воздуха была 100 %, т. е. парциальное давление пара в воздухе было p⁰(T_B), где T_B — вечерняя температура. К утру температура попизiliaсь на ΔT градусов. При температуре T_y = T_B — ΔT пар, имеющий давление p⁰(T_B), — пересыщенный, ведь давление насыщенного пара убивает с температурой, и p⁰(T_B) > p⁰(T_y).

Чтобы определить размер зародыша в этих условиях, нам надо преждевременно насыщенного пара от температуры. Эта связь задается уравнением Клапейрона — Клаузиуса:

проявляются в виде цепочек пузырьков (водород вскипает).

Другой пример — это выращивание высококачественных монокристаллов. Небольшой monokристалл-затравку погружают в почти равновесный расплав, где он становится единственным кристаллизационным центром. (В отсутствие затравки удается охладить расплав до $T \approx 0.5$ $T_{\text{плавления}}$ , прежде чем начнет кристаллизация. Но, увы, расплачиваться за высокое качество кристалла приходится длительное времярем роста. Чтобы вырастить большой monокристалл, нужно несколько недель, а то и месяцев.

Заключение, но не финал

Прежде чем поставить точку, выясним еще один вопрос. До сих пор мы обсуждали, с чего начинается образование капель. Но когда оно заканчивается? Почему утром все росинки так похожи? Что остановливает их рост? Ведь мы убедились, что чем больше радиус капли, тем охотнее она «пьет». По-видимому, существует какой-то дополнительный фактор, определяющий максимальный размер.

Слищком далеко искать не нужно. Дело в том, что мы пока нигде не учитывали действие на росинки силы тяжести. Оdnako сплошная форма крупных капель словно намекает, что это не всегда допустимо.

Попробуем оценить, до каких пор можно пренебрегать гравиатционной энергии. Для сферического капли она равна

$E_g = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho g$

и, будучи пропорциональна $r^4$ , неминуем должа превзойти поверхности энергии $E_s = 4 \pi r^2 \sigma$ при увеличении $r$ .

Чтобы найти предельное значение радиуса, приравняем энергию росинки суммарной энергии двух «половинных» капель, на которые она могла бы распасться:

$E(1) = 4 \pi r^2 \sigma + \frac{4}{3} \pi r^4 \varrho g = 2 E\left(\frac{1}{2}\right)$

( $r/\sqrt[3]{2}$ — радиус «половинной» капли). Отсюда следует, что

$r_{\text{max}} = \sqrt{\frac{3^3 \sqrt{2} \sigma}{\varrho g}} \approx 0.5 \text{ см.}$

На первый взгляд — многооваuto для росинки. Но, разумеется, мы не учили всех факторов. В частности, размер капли зависит от того, на какой поверхности она образуется, насколько смчиваема эта поверхность водой. Да и, кроме того, слищком большие капли просто не могут удержаться на листах и травинках и скатываются с них. Однако по порядку величины приведенная оценка в полне достоверна.

Тут, пожалuy, стоит превать наш рассказ. Не потому, что он завершен, завершиласъ история одной только росинки. Но даже в этой капле воды мы видим, что в науке никакой шаг не былает последним.

За каждым ответом подтвердет вопрос: что же дальше?

У капель — тяжесть запонок, И сад сленит, как плеес, Обрызгаанный, закапанный Мильоном синих слёз.

В. Пастернак