Соударение тел

30

СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ

Доктор физико-математических наук
В. В. КОЗЛОВ

Введение

Некоторые физические теории построены по образцу, принятому в математике, — из небольшого числа физических утверждений, которые играют ту же роль, что аксиомы в математических теории, логических строго выводятся разнообразные следствия. Эта статья посвящена одной такой теории — теории соударения тел. Явление удара хорошо описывает несложной математической моделью. Недвижительное поэтому законы удара были установлены до открытия основных принципов динамики.

Еще Галилей поставил ряд опытов для выяснения законов соударения тел. Эти опыты, правда, не привели его к определенным выводам. Современник Галилея, пряжский професор Марци в своем сочинении «De proportione motus» (1639) опубликовал некоторые результаты своих исследований явления удара. В частности, ему было известно, что тело, упруго ударившись о такое же покоящеся тело, теряет свою скорость, сообщая ее этому телу. Первоое детальное исследование законов удара было предприято в 1668 году по предложению Лондонского королевского общества. При выдающихся механика и математика Валлис, Рен и Гойгенс представили свои работы, в которых они изложили законы движения соударюшихся тел.

Джон Валлис ограничился, не оваривая этого, рассмотрением абсоалютно неупругого удара. Он исходил из гипотез о сохранении суммарного импульса сталкивающих тела.

31

Кристофер Рен изложил правила расчета упругого удара. Рен, как и Валлис, не привед никаких теоретических рассмотреней, однако для проверки своих правил он проделал ряд простых и убедительных опитов. На эти опыты ссылался Ньютон в своих знаментих «Математических начальных натуральной физиофии» (1687). Конкурсный меруар Христина Гюйгена был наиболее полным исследованием по теории удара. В нем был намечен вывод соответствий теории удара, основанный на принципие относительной Галилея. Лондонское королевское общество напечатало лишь меруары Валлиса и Рена. Гюйгенс напечатал свой меруар в 1669 году в париском «Журнале ученых».

Сохранение импульса

Рассмотрим ряд задач механики, связанных с исследованием соударения двух тел с массами $m_1$ и $m_2$, движущихся по прямой безвоздействия каких-либо сил. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости этих тел до удара (рис. 1). Мы будем считать скорость алгебраической величины: если тело движется вправо, то его скорость положительная, а если влево, то отрицательна. В момент удара на тела действуют только внутренние силы; поэтому их суммарный импульс $m_1v_1+m_2v_2$ сохраняется. Пусть $v'_1$ и $v'_2$ — скорости тел после удара. Из сохранения суммарного импульса получаем соотношение

$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2.$$ (1)

Из одного этого уравнения, конечно, нельзя найти $v'_1$ и $v'_2$. Это и неудивительно: соударения бывают разными. Есть упругие и неупругие. Например, при абсолотно неупругом ударе тела сппаются и движутся затем как одно целое. В этом случае $v'_1=v'_2=v$ и из формулы (1) находим скорость сппашихся тел после удара:

$$v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}.$$ (2)

Задание 1. Пусть $v_1 \leq v_2$. Докажите, что $v_1 \leq v \leq v_2$.

Изменение кинетической энергии

Кроме импульса в механике важную роль играет кинетическая энергия, равная $mv^2/2$, где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость. Рассмотрим абсолотно неупругий удар двух тел. В этом случае

$$\Delta T=(\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2})-\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$$

называется потеряной кинетической энергей.

Следующое утверждение называется первой теоремой Карно:

Потеряная кинетическая энергия равна энергии точки массой $\mu=$

$$\frac{1}{1/m_1+1/m_2},$$

которая движется со скоростью, равной разности скоростей точки до удара:

$$\Delta T=\frac{\mu(v_1-v_2)^2}{2}.$$

Задание 2. Докажите первуго теорему Карно.

Масса $\mu$ называется в механике приведенной массой системы. Она равна половине среднего гармоничского чисел $m_1$ и $m_2$.

Задание 3. Докажите неравенства

$$\mu \leq \frac{m_1+m_2}{4}, \mu \leq \frac{1}{2}\sqrt{m_1m_2}.$$

Введем в рассмотрение потеряные скорости: $u_1=v-v_1$, $u_2=v-v_2$, с помощью которых формулируется вторая теорема Карно:

Потеряная кинетическая энергия равна суммарной кинетической энергии тел с массами $m_1$ и $m_2$, движущся с потеряными скорностями $u_1$ и $u_2$:

$$\Delta T=\frac{m_1u_1^2}{2}+\frac{m_2u_2^2}{2}.$$

Задание 4. Докажите вторую теорему Карно.

Рассмотрим теперь противоположный случай: абсолотно неупругий удар. По определению, в этом случае, кроме суммарного импульса, сохраня-

Рис. 1.

32

ется еще суммарная кинетическая энергия:

$$m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1(v_1')^2 + m_2(v_2')^2.$$

Задача 5. Докажите, что в случае абсолотно упругого удара относительные скорости тел до и после удара равны по величины и противоположны по направлению:

$$v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2').$$

Задача 6. Докажите равенства:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2,$$

$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2.$$

В частном случае, когда $m_1 = m_2$, эти формулы прибретают наиболее простой вид:

$$v_1' = v_2, v_2' = v_1.$$

Следовательно в момент абсолотно упругого удара происходит обмен скорости. Как уже говорилось, этот эффект был впервые описан Марци.

Абсолотно упругий удар тел равной массы удобно изобразать на графиках движения тел, т. е. на графиках зависимости координат от времени (рис. 2). Эта графикаская интерпретация используется в следующей задаче.

Задача 7. По прямой движутся с постоянными (не обязательно равными) скоростями несколько одинаковых шариков. Предположим, что соударения между ними абсолотно упругие и в каждом соударении участуют только два шарика. Докажите, что общее число соударений конечно.

Рассмотрим еще один частный случай, когда масса $m_1$ много меньше массы $m_2$. Тогда

$$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1/m_2 - 1}{m_1/m_2 + 1} \approx -1,$$

$$\frac{2m_1}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1/m_2}{m_1/m_2 + 1} \approx 0,$$

$$\frac{2m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2}{m_1/m_2 + 1} \approx 2,$$

33

так как отношение масс $m_1/m_2$ близко к нулю. С учетом этих замечаний формулы (4) примут следующие вид:

$$v_1' = -v_1 + 2v_2 = v_2 - (v_1 - v_2),$$
$$v_2' = v_2.$$

Следовательно, второе тело не изменит свой скорости, а первое будет движаться за вторым, отставая от него со скоростью, равной их относительной скорости до удара.

На практике, однако, чашце встречются случан, когда в момент удара тела не слипаются, но и их суммарная энергия не сохраняется. В этой ситуации обычно принимают гипотезу Ньютона, заменная соответствие (3) следующим соотношением:

$$e(v_1 - v_2) = -(v_1' - v_2').$$

Здесь $e$ — некоторый безразмерный коэффициент, заключенный в промежутке от 0 до 1 и определяемый общим из эксперимента. Число $e$ называют коэффициентом восстановления. При $e=0$ получается абсоалютно неупругий удар, а при $e=1$ удар будет абсоалютно упругим.

Пусть $u_1$ и $u_2$ снова обозначают потеряные скорости.

Величина потеряной энергии в общем случае вычисляется с помощью обобщенной теоремы Карно:

$$\Delta T = \frac{1-e}{1+e} \left( \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2} \right).$$

При $e=0$ это утверждение известно нам как вторая теорема Карно; при $e=1$ потеря энергии вообще не про-

34

исходит — удар абсолотно упругий.
Задча 8. Доказите обобщенную теорему Карно.

Адинабатический инвариант

В качестве почительного применения формул (5) рассмотрим следующую задачу. Шарик движется между двумя стenkами, одна из которых неподвижна, а другая приближается к ней со скоростью $V$ (рис. 3; шарик начинает движение от неподвижной стенки). Удар шарика о стенки абсолотно упругий. После столковения с неподвижной стенкой величины скорости шарика не меняется, а после каждого столковения с подвижной стенкой скорость шарика (см. формулы (5)) уvelичивается на $2V$. Следовательно, энергия шарика тоже уvelичивается. Пусть $v_0$ — величина скорости шарика в начальной момент времени (т. е. момент «нулевого» удара о неподвижную стенку), $l_0$ — расстояние между стенками в этот момент. Аналогично, через $v_n$ и $l_n$ обозначим величины скорости шарика и расстояние между стенками в момент $n$-го удара шарика о неподвижную стенку. Положим $I_n = v_n l_n$ ($n = 0, 1, 2, \dots$).

Задча 9. Доказите, что $I_n = I_0$.

Условим задачу. Введем функцию $I(t)$, равную произведению величины скорости $v(t)$ шарика на расстояние $l(t)$ между стенками в произвольный момент времени $t$. Пусть $t_0, t_1, \dots$ — момент удара шарика о неподвижную стенку. Согласно утверждению задачи 9, $I(t_n) = I_0$ для всех $n \geqslant 0$. Оdnako при остальных значениях $t$ получаем $I(t) \neq I_0$.

Задча 10. Доказите неравенство

$$\left| \frac{I(t) - I_0}{I_0} \right| \leq \frac{V}{v_0 + V}.$$

Подсказкой к решению этой задачи служит график функции $I(t)$, изображенный на рисунке 4.

Следовательно, если скорость стенки много меньше скорости шарика ($V \ll v_0$), то величина $I(t)$ будет очень мало отличаться от своего первого значения $I_0$. В механике также величины называются адвабатическими инвариантами (в термодинамике адвабатическим процессом называется процесс, проходящий без выделения и поглощения тепла).

Баллистический матник

В качестве еще одного применения законов удара рассмотрим задачу о баллистическом матнике, с помощью которого изменяют скорости движения тел. Он состоит из труби массой $M$, заполненной песком и подвешенной на неевесомом трое длиной $l$ (рис. 5). Снаряд массой $m$, попадая в трубу, застревает в песке. Происходит очень быстро потеря скорости снаряда — абсолотно неупругый удар.

Задча 11. Зная максимальный угол отклонения труби $\varphi$, найдите скорость снаряда.

Баллистический матник изображен англійским механиком Робинсом и описан в книге «Новые принципы пушечной стреллы» (1742).

Прицели относительно и закон сохранения импульса

Мы решили ряд конкретных задач из механики соударющся тел. Теперь снова можно обратиться к основным соотношям теории удара и обсудить их смысл и проискождение.

В темугаре Гюйгена «О движении тел под воздействием удара» закон сохранения импульса выводится из принципи относительно матрицы Галилея. Мы воспроизведем рассуджение Гюйгена для случая абсолотно неупругого удара.

35

Рис. 4.

Сначала напомним определение инерциальной системы отчета и формулировку прицена относительной пещевой времени. Предположим, что одна система отчета движется относительно друг с постоянной скоростью. Прицили относительно Галилея утверждает, что все законы механики (в том числе и законы удара) имеют в обеих системах отчета одинаковый вид. Этот принцип относительно является очень интересной механике. Специфика ньютоновской механики проявляется в том, как связанные системы отчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью.

Эта связь выражается преобразованными Галилея. Предположим, что в обеих системах производится наблюдание одного и того же тела. Пусть в первой системе отчета координата тела на прямой равна $x$, а часы показывают время $t$; во второй системе значения координаты и времени равны $x'$ и $t'$. Если $v$ — постоянная скорость

Рис. 5.

рост движения второй системы отчета относительно первой, то

$$x = x' + vt' + a, \quad t = \pm t' + b,$$

где $a$ и $b$ — некоторые constants.

Обратимся к выводу формулы (2) для абсцилтоно неупругого удара.

Рассуждания Гойгена включают анализ нескольких случаев.

a) Рассмотрим сначала простейшую ситуацию, когда стalkиваются два одинаковых тела с массами $m$, движущиеся настречу друг друг со скоростью $v$ и $-v$. В силу предположения о неупругом характере удара тела спипаются, образуя одно тело массой $2m$. По сообщениям симметрины, это тело после удара будет покопаться.

b) Рассмотрим более сложный случай, когда стalkиваются две одинаковые массы $m$, имеющие до момента удара произвольные скорости $v_1$ и $v_2$. Перейдем к новой инерциальной системе отчета $S'$, которая движется относительно исходной системы $S$ с постоянной скоростью $v = (v_1 + v_2)/2$. В системе $S'$ картина движения тела будет, как в случае a): тела одинаковой массы спипаются с равными по величины скорости $(v_1 - v_2)/2$ и $(v_2 - v_1)/2$. Согласно принципу относительно и заключанию пункта a), после удара тела массой $2m$ будет покопаться в системе $S'$. Следовательно, относительно системы $S$ оно будет движется со скоростью $(v_1 + v_2)/2$. Итак, формула (2) установлена в случае, когда $m_1 = m_2$.

в) Пусть теперь имеются три одинаковых тела каждой массой $m$ (рис. 6). В начальной момент все они покопаются, причем тела 1 и 2 соприкасаются. Предположим, что тела 1 и 2 разделяются в разные стороны (например, в результате взрыва). Ввиду симметрины их скорости будут равны по величины. Первое тело будет беспрерывственно движется в скорость $-v$, а второе будет движется вправо со скоростью $v$ и вскоре столкнется с телом 3. Согласно результату пункта 6), тело «2+3» массой $2m$ будет после удара движется вправо со скоростью $v/2$. Если рассстояние

36

между телами очень мало, то столкновение и спиранье тел 2 и 3 происходит практическими мгновенно. Поэтому можно считать, что с самого начала тела 2 и 3 образовывали одно целое и мы приходим к следующему выводу: если в начальной момент времени два тела с массами $m$ и $2m$ соприкасались и затем начали разлетаться в разные стороны, то скорость тела массой $2m$ будет в два раза меньше скорости тела массой $m$.

г) Рассмотрим случай, когда два тела с массами $m$ и $2m$ движутся навстречу друг другу со скоростью $v$ и $-v/2$ соответственно. Утверждается, что после абсолотного неупругого удара спишеся тело массой $3m$ будет покопаться (в соответствии с формулой (2)). Действительно, мы можем вообразить новую систему отчета $S'$, в которой часы идут в «обратную сторону». Относительно системы $S'$ все тела будут движться в противоположном направлении с той же по абсолотной величины скоростью, поэтому нам остается воспользоваться принципом относительной и результатом пункта в).

д) Теперь обратимся к случай, когда тела с массами $m$ и $2m$ движутся с произвольными скорностями $v_1$ и $v_2$. Как и в рассужdenении пункта 6), перейдем к новой системе отчета $S'$, которая движется относительно $S$ со скоростью $v_1 + 2v_2/3$. Именно с этой скоростью движется их общий центр масс (проверьте!). В системе $S'$ центр масс тела $m$ и $2m$ покопится, тело $m$ подлегает к нему со скоростью

$$v_1' = \frac{v_1 + 2v_2}{3} - v_1 = -\frac{2}{3}(v_1 - v_2),$$

а тело $2m$ — со скоростью

$$v_2' = \frac{v_1 + 2v_2}{3} - v_2 = \frac{1}{3}(v_1 - v_2).$$

Мы видим, что относительные скорости $v_1'$ и $v_2'$ отличаются знаками и $|v_1'| = |2v_2'|$. Следовательно, согласно пункту г), после столкновения тело массой $3m$ будет покопаться в системе $S'$, а относительно исходной системы $S$ оно будет движться со скоростью

$$v = \frac{mv_1 + 2mv_2}{3m} = \frac{v_1 + 2v_2}{3}.$$

Таким образом, формула (2) устанавливается в случае, когда $m_2 = 2m_1$.

Рассуждая аналогично, мы можем обосновать формулу (2) для случая рационального отношения масс $m_1$ и $m_2$. Ее обоснование для irrationalных отношений $m_1/m_2$ носит уже формульный характер и связано со строиммведением понятия действительного числа. Дело здесь обстоит так же, как с выводом формулы площади прямогольника со стороны $a$ и $b$: для созмерных $a$ и $b$ прямогольник можно разбит на одинаковые квадраты, а если $a$ и $b$ несозмерными, то нужно использовать приближение irrationalных чисел рациональных.

С математической точки зрения расчудения Гойгенаса, быть может, нельзя признать вполне строгими. Но мы и не стремились дать строое доказательство формулы для абсолотного неупругого удара. У нас была инязаель: показать, что иden Гойгенаса с необходимостью приводят к закону сохранения импульса. Подчеркием, что мы исходили лишь из принципа относительной относительности Галилея и не использовали основные принципы диамники Ньютона (например, закон равенства действия и противодействия). Расчудение Гойгенаса показывает, что закон сохранения импульса следует из симметриности (или инвариантности) законов механики относительной преобразования Галилея. Это отражает общий факт: всякая симметрия законов механики приводит к своему закону сохранения. Например, инвариантность относительной поворотов пространства bleibt закон сохранения момента импульса, а инвариантность относительной сдвигов оси времени — закон сохранения энергии. Общая теорема, связывающая симметрисии с законами сохранения, была открыта значением немецким математиком Эмми Нётер (1882—1935).