Задачи

Квант 1988, №9 с. 51, 53, 54, 56, 59 Тег RDP6

Задчи

Можно ли в кружки звезды на рисунке расставить десять различных натуральных чисел так, чтобы суммы четырех чисел вдоль каждой из пяты прямы были нечетными?
ШестЬ пассажиров автобуса без кондуктора должны упланить за билеты по 5 копеек. Но у них есть лишь монеты по 10, 15 и 20 копеек. Тем не менее пассажеры справились с задачей. Покажите, что общее число монет у них не меньше во всем. Смогут ли пассажеры решить эту задачу, если монет у них в суммеровно восем?
Два последовательных двухначных числа сложили и в их сумме переставили цифры. В результате получилось большее из складываемых чисел. Какие числа складывают?
Определите числовое значение слова ТРАНСПОРТИРОВКА, если одинаковые буквы заменить соответственно одинаковыми цифрами, разные — разными, причем так, чтобы были выполнены указанные на рисунке неравенства.
Два параллелограмма — красный и синий — имеют общую вершину и еще по одной вершине каждой на стороне другого (см. рисунок). Покажите, что их площади равны.

Эти задчи нам предложили: А. М. Домашенко, Н. Б. Васильев, Жора Головатенко из Москвы, М. П. Мочалов и В. В. Произвольов.

ПРАВИЛО КРАЙНЕГО

Кандидат физико-mатематических наук
А. Л. РОЗЕНТАЛЬ

Если вы хотите научиться решать математические задачи, вам надо попытаться овладеть более или менее общими подходами, приемами и методами математических рассудений. Рассмотрим один весма общий подход, который мы будем называть правилом крайнего.

Правило крайнего может быть кратко выражено словами «Рассмотри крайнее!». Это правило есть просту рекомендация рассмотрить объект, обладающий какими-либо крайными, или, как говорят математики, экстремальными, свойствами. Если речь в задаче идет о множество точек на прямой, то правило «Рассмотри крайнее!» советует нам сосредоточить свое внимание на самой крайней точке множества (самой левой или самой правой). Если в задаче фигурирует некоторый набор чисел, то правило крайнего рекомендует рассмотреть наиболее или наиболее из этих чисел. Вот несколько примеров.

Задание 1. На плоскости задано неокоторое множество точек M такое, что каждая точка из M является серединой отрезка, соединяющего какую-либо пару точки это же множество M. Докажите, что множество M содержит бесконечную множество точек.

Очень часто бывают так, что ключи к решению задачи находят, решая более простую аналогичную задачу. Поэтому, прежде чем решать данную задачу, попробуем решить следующее задачу.

Задание 2. На прямой задано множество точек M такое, что каждая точка из M является серединой отрезка, соединяющего две другие точки из M. Докажите, что множество M бесконечно.

Предположим, что множество M конечно. Применим правило крайнего:

Эта статья впервые была опубликована в «Кванте» № 8 за 1976 год. (Примец. ред.)

если множество M — конечно, то среди его точек есть крайние — самая левая и самая правая. Рассмотрим одну из них, например самую левую; обозначим ее буквой A. Точка A — крайняя и потому не может лежать внутри отрезка, соединяющего две другие точки множества M; значит, она не принадлежит M. Полученное противоречие и доказывает, что множество M не может быть конечным.

Приведем еще одно решение этой задачи, использующее правило крайнего. Допустим снова, что множество M конечно, и рассмотрим длины отрезков, соединяющих точки из M. Этот набор чисел конечен. Применим к ней нашей правило в форме «Рассмотри наиболее!» — рассмотрим отрезок BC наиболее длинны. Ясно, что вне отрезка BC нет точки из M, иначе существовали бы отрезки с большими длинами. Таким образом, все точки множества M лежат на отрезке BC и, значит, ни B, ни C не удовлетворяют условиям, т. е. не принадлежат множеству M. Противоречие.

Вернемся теперь к задаче 1. Допустим, что множество M конечно. Снова применим правило крайнего. Для этого зафиксируем положение плоскости и рассмотрим самую левую точку множества M, а если «самых левых» точки несколько, то возьмем самую нижнюю из них. Легко убедиться, что эта точка, обозначим ее через A, не может лежать внутри отрезка, соединяющего две точки множества M. Действительно, если бы такой отрезок существовал, то один из его концов находится бы либо левее точки A, либо на одной вертикали с A, но ниже ее. Ни того, ни другого не может быть в силу выбора точки A.

Здесь, как и в задаче 2, тоже существует решение, основанное на рассмотрении попарных расстояний между точки множества M. Если множества M конечно, то и попарных расстояний конечное число, и среди

них, руководствуясь правилом крайнего, можно отыскать наиболее.

Пусть это будет рассмотрение между точками A и B. Но точка B является серединой неокоторого отрезка CD, концы которого по условию принадлежат множеству M (рис. 1). Тогда легко доказать, что либо AD, либо AC больше AB (сделайте это самостояльно, воспользоваться тем, что медиана m, проведенная к одной из сторон треугольника, меньше полусуммы двух других сторон).

Задача 3. На полях бесконечной шахматной доски написаны натуральные числа так, что каждое число равно среднему арифметической суммы соседних чисел — верхнего, нижнего, правого и левого. Докажите, что все числа на доске равны между собой.

Решить эту задачу нам помогет правила крайнего в форме «Рассмотри наименование!». Среди натуральных чисел, записанных на полях шахматной доски, непреемно существуют наименование. В этом нетрудно убедиться. Пусть k — одно из данных чисел. Если среди чисел, записанных на доске, имеется единица, то она и является таким наименшим числом (не существует натуральных чисел, меньше единиц). Если единица на доске нет, посмотрим, нет ли там двойки. Если есть, то она и является наименшим числом, если же нет, то позием на доске трейку, и т. д. Не более чем за k шагов мы отыщем таким образом наименование число m.

Рассмотрим поле P, на котором оно записано. Обозначим числа, записанные на соседних полях, буквами a, b, c и d. По условию m=(a+b+c+d)/4. Отсюда a+b+c+d=4m. В силу выбора числа m имеем a≥m, b≥m, c≥m, d≥m. Если хотя одно из этих неравенств было бы строит, то мы имеем a+b+c+d>4m, что противоречит условиям. Значит a=b=c=d=m.

Таким образом, если на некотором поле записано число m, то и на соседних полях записано число m. Отсюда следует, что на горизонтали, содержащей поле P, записаны одни только числа m. Но любая вертикаль пересекает эту горизонталь, т. е. она содержит число m, и, значит, все числа на вертикальных равны m. Поэтому вообществе все числа на доске равны m.

Задача 4. На квадратной шахматной доске размером n×n расставлены ладьи с соблюдением следующей условия: если неокоторое поле свободно, то общее количество ладей, стоящих на одной с этим полем горизонтали и на одной с ним вертикали, не меньше n. Докажите, что на доске находится не менее $\frac{n^2}{2}$ ладей.

Эта задача — трудная. Однако умение применение правил крайнего может существовать понск решения. Именно, правильно называть на мысль расстоять ту из линейной доски — вертикальной и горизонтальной, — на которой стоит меньше ладей. Можно случить, что есть несколько таких линей, «одинаково нагруженных» ладями. Тогда выберем любую из них. Пусть эта линей — горизонталь (в противном случае повернем доску на 90° — вертикали станут горизонтальными). Число ладей на этой горизонтали обозначим через k. Если k≥ $\frac{n}{2}$ , то на каждой из n горизонталей не менее $\frac{n}{2}$ ладей, а всего на доске не менее $\frac{n^2}{2}$ ладей.

Пусть теперь k< $\frac{n}{2}$ . На рассматриваемой горизонтали n—k свободных полей, и каждая вертикаль, проходящая через такое свободное поле,

окружность, проходящая через точки A, B, C. Она — искомая, потому что любая окружность, проведенная через точки A и B и некоторую точку C’ «серпа» (рис. 2), меньше окружности, проходящей через точки A, B, C (доказите это самостояльно).

Задача 7. На плоскости проведено n прямы (n≥3). Никакие две из них не параллельны, Никакие три не пересекаются в одной точке. Эти прямы разрезают плоскость на части. Докажите, что какую бы из n прямы мы ни взяли, хотя бы одна из прямыкающих к ней частей плоскости является треугольник.

Пусть $l_1$ — одна из данных прямы. Руководствуясь правилом крайнего, из всех точек пересечения остальных прямы выберем ту, которая находится на наименьшем расстоянии от прямой $l_1$ . Пусть в этой точке, обозначим ее буквой P, пересекаются прямы $l_2$ и $l_3$ . Нетрудно доказать (сделайте это самостояльно), что треугольник, образуемый прямыми $l_1$ , $l_2$ и $l_3$ , составляет одну часть плоскости и, следовательно, удовлетворяет условиям задачи.

Задача 8. Докажите, что не существует четверки натуральных чисел x, y, z, u, удовлителью чисел $x^2+y^2=3(z^2+u^2)$ .

Допустим, что такие четверки существуют. Расмотрим ту из них, для которого величины $x^2+y^2$ минимальная (если есть несколько четверок, у которых эта величина одинакова и минимальная, расмотрим одну из них, любую). Пусть это будет четверка a, b, c, d. Из уравнения $a^2+b^2=3(c^2+d^2)$ видно, что $a^2+b^2$ кратно trem. Но легко доказать, что $a^2+b^2$ делится на три тогда и только тогда, когда и a, и b делятся на три, потому что квадрат числа, не делается на три, дает при делении на три в остатке единицу.

Следовательно, $a=3m$ , $b=3n$ , откуда
$a^2+b^2=9m^2+9n^2=3(c^2+d^2).$
Сокращая последнее равенство на 3, получим:
$c^2+d^2=3(m^2+n^2).$
Мы нашли четверку чисел c, d, m, n, удовлителью число данному уравне-
ню, причем для этой четверки
$c^2+d^2<a^2+b^2,$
а это невозможно в силу выбора четверки a, b, c, d.

Задача 9. На плоскости расположены n прямы (n≥3). Любые две прямы пересекаются и через каждую точку пересечения проходят не менее трех из данных прямы. Докажите, что все прямы пересекаются в одной точке.

Пусть M — одна из точек пересечения прямы. Допустим, что она — не единственная. Тогда найдется прямая l данной системы, не проходящая через M. Множество точек пересечения прямы, не лежащих на l, непусто — оно содержит, например, точку M. Расмотите точку этого множества, близкой к l (а если имеется несколько точек, находящихся на минимальном расстоянии от l, то выберете одну из них, любую), и получите противоречие.

Вот еще одна аналогичная задача.

Задача 10. На плоскости заданы n точек (n≥3). Известно, что на всякой прямой, проходящей через 2 данные точки, расположена по крайне мере еще одна из данных точек. Докажите, что тогда все n точек лежат на одной прямой.

Развитием правилка крайнего является «правило расположения», которое звучит так: «Расположение элементы исследуемого множества в каком-нибудь порядке: возвращения, убывания или в каком-нибудь другом!».

Задача 11. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем никакие две не собрали одинаково числа грибов. Докажите, что есть грибников, собраших вместе не менее 50 грибов.

Составим «таблицу пересечения», помещив в ней грибников в порядке убывания числа собраных имги грибов. Ясно, что рассматривать надо грибников, занявших первые 3 места — они собрали грибов больше, чем любая другая тройка. Попробуем доказать, что они собрали не менее 50 грибов. Если грибник, занявший 3-е место, собрал 16 грибов

весты положение и скорость тела в какой-то момент времени и характер его движения; надо определить положение и скорость этого тела в некоторый другой момент времени. Это — ключевая фраза! В ней «зашифрована» практические все cinematika, но и скрыто много «подводных камней».

Начнем со слов: «известны положение и скорость тела в какой-то момент времени». Эти слова означают, во-первых, что выбранные тело отчета и система координат и, во-вторых, что выбранно начало отчета времени. Другими словами, выбранная система отчета. А это — важнейший элемент описания любой физической ситуации. Ведь для того, например, чтобы смотреть фильм, нужен экран, на котором будет разворачивать все события фильма. Так и система отчета является своеобразным экраном для физических событий.

Пойдем далее. Мы уже несколько раз употребляли слова «характер движения». Как вы знаете, положение тела в любой момент времени $t$ задается его координатами $x, y, z$ , а изменение координат — вектор перемещения тела $\vec{s}$ . Слова «известен характер движения» изначают, что известен вид функции $\vec{s}(t)$ или, что то же самое, вид функции $x(t), y(t)$ и $z(t)$ .

В природае существует огромное разнообразие типов движения. Простые движения описываются простыми функциями: прямолинейное равномерное движение — линейной функцией $x=x_0+vt$ , или $\vec{s}(t)=\vec{v}t$ ; прямолинейное равновесное — квадратной функцией $x=x_0+v_0t+at^2/2$ , или $\vec{s}(t)=\vec{v}_0t+\vec{a}t^2/2$ ; колбаательное — гармонический функцией синуса (или косинуса) $x=x_m\sin \omega t$ и т. д. А попробyte проследить за какой-нибудь точкой на ободе катящая колеса или за гипнастом, сосакивающим с перекладины, и вы убедитесь, что для описания таких движений попадаются горздо более сложные функции. Но в принципе это можно сделать всегда, и, что очень важно, метод решения основной cinematической задачи универсален и не зависит от типа движения.

Наконец, последняя фраза в формулировке задачи: «определить положение и скорость тела в некоторый момент времени». Здесь основная проблема состоит в том, что этот конечный момент времени, как правило, указывается неясно. Очеень редко говорится прямо, в какой именно момент времени нужно найти положение и скорость тела. В большинстве случаев этот момент задается каким-то дополнительным условием. (Так, например, в случае единоборства Гвидона с коршуном конечный момент времени определяется «встречей» стрелы с коршуном.) Используя это условие, нужно найти момент времени, в котором оно выполняется, а затем уже это время подставить в выражения для перемещения (координаты) и скорости тела.

«Расшифровав» таким образом содержание основной задачи cinematики, мы фактически сормулировали и алгоритм ее решения:

Выбрать систему отчета (всегда желательен рисунок).
Определить характер движения.
Записать перемещение и скорость (в проекциях на соответствующие оси координат) как функции времени; если в задание присутствует сколько движущихся тел, то уравнение движения надо записать для каждой тела отдельно.
Используя дополнительные сведения, определить конечный момент времени. Подставить это время в уравнение для интерсуюшей нас величины — и задача решения.

А теперь вернемся к Пушкину. Пусть Гвидон, прежде чем выпустить стрелу, немного посчитает (а заодно и мы вместе с ним).

Исходная информация, которой обладает Гвидон, выглядит так: коршун находится прямо над царевной на высоте $H$ (помните — «бъется лебедь сыбей, коршун носится над ней») и камнем пикирует на нее. Предположим, что начальная скорость коршyna равна нулю, Гвидон находится на одном cinematике, оно зависит от типа движения.