Задачи LI Московской городской математической олимпиады

72

Задание LI Московской городской математической олимпиады

28 февраля 1988 года в Московском государственном университете состоялся заключительный тур LI Московской городской математической олимпиады. В нем участвовали 654 школьника 7—10 классов. Ниже приведется задание этого типа (на их решение отводилось по 4 часа).

7 класс

1. Докажите, что при простых $p > 7$ число $p^4 - 1$ делится на 240.
2. На серединах ребер $AB$ и $B'C'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ взяты точки $M$ и $P$. Изображите на грани $BCC'B'$ все точки, кратчайшие расстояния от которых по поверхности куба до точки $M$ и $P$ равны.
3. С помощью кронциркуля и линейки проведите через данную точку прямую, параллельную данной. Кронциркуль — это инструкмент, пожожий на циркуль, но на концах у него две иглики. Он позволяет переносить одинаковые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать) окружности, дуги окружностей и делать засечки.
4. 20 телефонов соединены проводами так, что каждый провод соединяет два телефонна, каждый пара телефонов соединена не более чем один проводом и от каждой телефонна отходит не более двух проводов. Нужно закрасить провода (каждый провод целиком однойкрасной) так, чтобы от каждой телефонна отходил не более двух проводов. Какого наименьшего числа красок достаточно для такой закраски?
   8 класс
5. Над строкой из четырех чисел 1, 9, 8, 8 проделаем следующую операцию: между каждыми двумя соседними числами в пшщем число, которое получится в результате вычитания левого числа из правого. Над новый строкой проделаем ту же операцию и т. д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после ста таких операций.
6. Имеется линейка без делений и специальный инструкмент, позволяющий замерть расстояние между двумя произвольными точкими и откладывать это расстояние на любой уже проведенной прямой от произвольной точки этой прямой. Как с помощью этих инструкентов и карандаша разделить пополам данный отрезок?
7. Докажите, что ни одна четверка натуральных чисел $x, y, z$, $t$ не удовлетворяет равенству $3x^4 + 5y^4 + 7z^4 = 11t^4$.
8. Даны четыре монеты, среди которых могут оказаться фальшивые. Известно, что настоящая монета весит 10 г, а фальшивая — 9 г. Весь с одной чашкой показывают общий вес положенных на эту чашку монет. Найдите наименьшее количество взвешивания, которое нужно сделать, чтобы наверняка определять, какие монеты являются фальшивыми, а какие — настоящими.

9 класс

1. Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четые треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел не может оказаться и делать засечки.
2. Докажите, что при простых $p \geq 5$, $i = 1, 2, \dots, 24$ число $p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_{24}^2$ делится на 24.
3. На плоскости дны две перпендикулярные прямые. С помощью кронциркуля укажите на плоскости три точки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника. Кронциркуль — это инструмент, пожожий на циркуль, но на концах у него две иглики. Он позволяет переносить одинаковые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать) окружности, дуги окружностей и делать засечки.
4. Пусть $x$ и $y$ натуральные числа. Расстояние функции
   $$f(x, y) = \frac{(x+y-1)(x+y-2)}{2} + y.$$
   Докажите, что множество значений $f(x, y)$ является все натуральные числа, причем для любого натурального $i = f(x, y)$ числа $x$ и $y$ определяются однозначно.
5. 20 телефонов соединены проводами так, что каждый провод соединяет два телефонна, каждая пара телефонов соединена не более чем один проводом и от каждой телефонна отходит не более трех проводов. Нужно закрасить провода (каждый провод целиком однойкрасной) так, чтобы от каждой телефонна отходил не более трех проводов. Какого наименьшего числа красок достаточно для такой закраски?
   10 класс
6. Калькулятор выполняет путь операции: сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня. Найдите формулу, по которой на этом калькуляторе можно определить наименьшее из двух произвольных чисел $a$ и $b$.
7. Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции $y = 2^x$?
8. Всякий ли паралелепипед можно рассечь плоскостью так, чтобы в сечении получился прямой график функции?
9. Имеется линейка без делений и этаlonдлины, позволяющий откладывать неокторое фиксированное расстояние на любой уже проведенной прямой от произвольной точки этой прямой. Как с помощью этих инструкентов и карандаша проведится какой-нибудь перпендикуляр к данной прямой?