Из геометрии тетраэдра

66

Из геометрии
тетраэдра

В. Э. МАТИЗЕН, В. Н. ДУВРОВСКИЙ

В этой статье речь пойдет главным образом о признаках принадлежности tetraэдра к тому или другому классу. Примеры таких классов — правильные треугольные прямоугольники и правильные tetraэдры, которые можно считать аналогами, соответственно, равнобедренных и равносторонних треугольников. Но в отличие от планиметрии, где можно назвать еще разве что прямогольные треугольники, встерометрии интересные классы tetraэдров этим отношь не исчерпываются. О двух таких классах уже расссказываюсь в «Кванте» (см. «Квант», 1983, № 7, с. 34): это классы равногравных и каркасных tetraэдров. В класс равногравных tetraэдров входят tetraэдры, все грани которых равны между собой. В класс каркасных tetraэдров — tetraэдры, все ребра которых касаются некоторой сферы. В статье, опубликованной в 1983 году, обсуждались многочисленные признаки «равногранности» и «каркасности». Знакомство с ней для понимания дальнейшего необходимости (хотя и полезно): мы будем изучать свойства трех других классов tetraэдров.

Ортоцентрический tetraэдр

В отличие от треугольника, высоты которого всегда пересекаются в одной точке — ортоцентре, не всякий tetraэдр обладает аналогичным свойством (рис. 1). Тетраэдр, высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим. Мы начнем изучение ортоцентрических tetraэдров с необходимых и достаточно условий ортоцентриности; каждое из них можно принять за определенное ортоцентрического tetraэдра.

67

Итак, мы докажем эквивалентность следующих свойств тетраэдра:
О1. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
О2. Основания высот тетраэдра являются ортогенрами граней.
О3. Каждый два противоложных ребра тетраэдра перепендикулярны.
О4. Суммы квадратов противоложных ребер тетраэдра равны.
О5. Отрезки, соединяющие середины противоложных ребер тетраэдра, равны (эти отрезки называются бимедuanами).
О6. Произведения косинусов противоложных двух границ улов равны.
О7. Сумма квадратов площадей граней четверго меньше суммы квадратов противоложных ребер.
Обозначим через $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ ребра тетраэдра $ABCD$ ($a=BC, a_1=DA, b=CA, \dots$; рис. 2), через $m_a, m_b, m_c$ — бимеданны ($m_a$ соединяет середины ребер $a$ и $a_1$ и т. д.); те же буквы обозначают длины соответствующих отрезков — из контекста будет ясно, что имеется в виду — отрезок или его длина. Величины двумя углов тетраэдра при ребрах $a, b, \dots$ обозначим так: $\hat{a}, \hat{b}, \dots$. Сначала рассмотрим тетраэдр, который является ортогенрическим как «наполовину», а именно, докажем равно сльность следующих условий:
$O1^\circ$. высоты $AA_1$ и $DD_1$ пересекаются.
$O2^\circ$. точка $D_1$ (проекция вершины $D$ на грань $ABC$) лежит на высоте грани $ABC$, проведенной из вершины $A$ (или на ее продолжении).

$O3^\circ$. Ребра $BC$ и $AD$ ($a$ и $a_1$) перпендикулярны.
$O4^\circ$. Вимеданны $m_b$ и $m_c$ равны.
$O5^\circ$. $b^2+b_1^2=c^2+c_1^2$.
$O6^\circ$. $\cos b \cdot \cos b_1=\cos \hat{c} \cdot \cos \hat{c}$.

Установить, что $O1^\circ\Leftrightarrow O2^\circ\Leftrightarrow O3^\circ$, совсем легко: проектура прямые $AA_1$ и $AD$ на грань $ABC$, мы из теоремы о трех перпендикулярах получим, что каждое из этих трех утверждений эквивалентно перпендикулярности прямых $AD_1$ и $BC$ (или, возможно, совпадению точек $D_1$ и $A$).

Тепер докажем, что $O3^\circ\Leftrightarrow O4^\circ\Leftrightarrow O5^\circ$. Заметим, что каждые две бимеданны являются диагонали параллелограмма (рис. 3), стороны которого, будучи средними линяями граней, параллельны двум противоложным ребрам тетраэдра и равны по длине половина этих ребер. Условия $O3^\circ$ и $O4^\circ$, т. е. $a \perp a_1$ и $m_b=m_c$, равносильны тому, что соответствующий параллелограмм — прямой угольник. Запишем для двух других аналогических параллелограммов известное равенство параллелограмма (сумма квадратов диагонали): $b^2+b_1^2=2(m_c^2+m_a^2), c^2+c_1^2=2(m_a^2+m_b^2)$. Из этих равенств сразу следует, что $O4^\circ\Leftrightarrow O5^\circ$.

Для доказательства того, что $O6^\circ\Leftrightarrow O1^\circ$, рассмотрим точки $P$ и $P'$ пересечения плоскостей $ADD_1$ и $ADA_1$ с прямой $BC$. Отношение $k(P)=BP:PC$ равно отношению $S_{AD_1B}:S_{AD_1C}$ площадей треугольников $AD_1B$ и $AD_1C$ (рис. 4). А так как эти треугольники являются проектями граней $ADB$ и $ADC$ на плоскости $ABC$, для $k(P)$ получаем:

Рис. 1. Неортоцентрический тетраэдр (плоскости $a$ и $b$ перпендикулярны).

69

точек $A, B, C, D$:

$$\bar{a} \cdot \bar{a}_1 + \bar{b} \cdot \bar{b}_1 + \bar{c} \cdot \bar{c}_1 = 0;$$ (1)
$$2\bar{m}_a = \bar{b}_1 - \bar{b} = \bar{c}_1 + \bar{c};$$ (2)
$$m_a^2 - m_b^2 = \bar{c} \cdot \bar{c}_1;$$ (3)
$$2\bar{c} \cdot \bar{c}_1 = b^2 + b_1^2 - a^2 - a_1^2;$$ (4)
$$4m_a^2 = b^2 + b_1^2 + c^2 + c_1^2 - a^2 - a_1^2.$$ (5)

Доказательства этих точек состоит в следующем:

1. каждое из следующих утверждений можно взять за определение ортоцентрического тетраэдра:
   a) $\bar{a} \cdot \bar{a}_1 = \bar{b} \cdot \bar{b}_1 = \bar{c} \cdot \bar{c}_1$,
   b) $\bar{a}_1 \cdot \bar{b}_1 = \bar{b}_1 \cdot \bar{c}_1 = \bar{c}_1 \cdot \bar{a}_1$;
   c) в ортоцентриском тетраэдре плоскке углы при трех вершинах остры, а при четвертой — лобо все остры, лобо все тупые, лобо все прямы, при этом все двугранные углы при четвертой вершине — лобо все остры, лобо все тупые, лобо все прямы, а двугранные углы при остальных вершинах — остры;
2. если $EF$ — общий перpendикULAR ребер $AD$ и $BC$ ортоцентрического тетраэдра $ABCD$ ($E \in AD, F \in BC$), то
   $$\vec{EF}^2 = \vec{AE} \cdot \vec{ED} + \vec{BF} \cdot \vec{FC}.$$

Описанный параллелемед

Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Эти плоскости ограничивают так называемый описанный параллелемед тетраэдра (рис. 6). Некоторые свойства тетраэдра

*) Пункты a) и b) составляют задачу M1039, решения которого опубликовано в «Кванте» № 8 за 1987 год.

становятся более наглідными, если переформулировать их для параллелепипеда. Например, каждое из определений $O3, O4, O5$ ортоцентрического тетраэдра равносильно тому, что

O8. Ребра описанного параллелемеда равны,

т. е. все его грани — ромбы. (Для доказательства надо только заметить, что ребра тетраэдра — это диагонали граней параллелепипеда, а бимедианы тетраэдра равны и параллельны ребрам параллелепипеда, — рис. 6.) Условие же равенства всех граней описанного параллелепипеда (а тем самым и его ребер) характеризует правильные тетраэдры пирамиды. Еще один вид тетраэдров — равнозранные — можно определить так: их описанные параллелепипеды — прямогольные. Кстати, сейчас мы можем дать отрицательный ответ на вопрос, поставленный в конце первого раздела: тетраэдр, библиотeki которого пересекаются в одной точке, не обязательно ортоцентрический. Равнозранный тетраэдр тоже обладает этим свойством, поскольку библиотeki равнозранного тетраэдра совпадают с бимединами и пересекаются в центре его описанного параллелепипеда. Еще один пример можно получить из прямого параллелепипеда, в основании которого ромб, — у соответствующего тетраэдра два противоположных ребра перpendикулярны, а остальные равны.

Другие примеры тетраэдров, у которых библиотeki пересекаются бы в одной точке, нам не известны. Так же не известно, есть ли какие-либо общие условия, при которых это свойство выполняется. Возможно, их найти читатели.

Докажите, что

7. между элементами тетраэдра и элементами его описанного параллелемеда имеются следующие свойства:

a) высотые параллелемеда равны библиотeki равнозрантей тетраэдра,
b) объем параллелемеда второе больше объема тетраэдра,
b) диагонали параллелемеда пересекаются в одной точке и делятся им в отношений

70

шениц 2:1, считая от конца, совпадающего с вершиной тетраэдра;
8. если ABCD — ортоцентрический тетраэдр, Н — его ортоцентр, O и R — центр и радиус описанной около этого тетраэдра сферы, m — длина бимедины, то:
a) перепределиляр, опущенный на грань BCD из вершины описанного параллеленида, противоложной A, проходит через O;
b) точки O и H симметрицы относительно центра тяжести тетраэдра;
c) середины ребер и основания бимедиот тетраэдра лежат на одной сфере;
d) центры тяжести и ортоцентры граней лежат на одной сфере.

Инцентрические тетраэдры

Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоложными вершинами («медианы тетраэдра»), всегда пересекаются в одной точке (эта точка — центр тяжести тетраэдра). Если в этом условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превращится в новое определение ортоцентрического тетраэдра (проверьте!). Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемые ингредиами, мы получим определение нового класса так называемых ингредиических тетраэдров.

Признаки класса ингредиических тетраэдров тоже довольно интересны:

1. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоложные грани, пересекаются в одной точке.
2. Биссектрисы углов двух граней, проведенные к общему ребру этих граней, имеют общие основание.
3. Произведенная длин противоложных ребер равны.
4. Треугольник, образованный вторыми точки пересечения трех ребер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих ребер, является равносторонним (рис. 7).

Проверка эквивалентности этих условий не сложна, и мы оставляем ее читателем, ограничившись только одним указанием: для любого тетраэдра стороны треугольника, о котором говорится в условиям И4, пропорциональны произведением противоложных ребер тетраэдра.

Доказите еще два свойства ингредиических тетраэдров и выясните, можно ли принять их за определения этого класса:

9. косинус угла одной парой противоложных ребер тетраэдра равен сумме косинусов двух углов косинуси парами его противоложных ребер;
10. прямы, по которым плоскости трех граней тетраэдра пересекаются с плоскостью, касающейся его описанной сферы в общей вершине этих граней, образуют друг с другом углы no 60°.

Соглазмерные тетраэдры

Последний класс тетраэдров, с которым мы хотим познакомить читателей,— это класс соглазмерных тетраэдров. Соглазмерными мы называем тетраэдры, у которых
C1. Вывысоты равны.
Это определение можно заменить любым из следующих:
C2. Проекция тетраэдра на плоскость, перепределикулярную любой бимедиане, есть ромб.
C3. Грани описанного параллеленида равновелики.