Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений

45

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений» предназначаена восмиллассикам, заметка «Сколько бывают состояния у вещества?» — девятиклассикам, «Неколько заменой по поводу фотоэфекта» — десятиклассикам.

Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений

Рассказывал, что для строительства одного из соборов в Швейцарии его архитектору попадобились блоки, позволяющие поднимать на большую высоту особо тяжелые грузы. Он конструкровал весма сложный полиспаст, но запутался в многочисленных силах натяжения тросов и так и не смог расчитать, сколько же человек нужно будет нанять для его обслуживания. За помощь архитектор обработился к известному ученому Юганну Бернулли (1667—1748). Каково же было удивление архитектора, когда Бернулли, едва взглянув на чертеж, тут же дал ответ. Пораженный архитектор попросил открыть ему тайну столбного расчета…

Попробуем и мы (вслед за Бернулли) обсуить условия равновесия механической системы с несколько иных позиций, чем это сделано в следующей главе школьного учебника «Физика 8».

Obviously для того, чтобы выяснить условия равновесия системы,водят силы реакции механических связей*). Связями принято называть те ограничения, которые наложены на положение отдельных частей системы, или на возможность их перемещения.

*) См. статью А. И. Черноуцана «Кinemатические связи в задачах диамники» во втором номере журнала за 1988 год.

46

В качестве примеров механических связей можно назвать нить, на котором подвешен груз, шарнир, соединяющий отдельные части механизма, плоскость, на которой находится тела системы, и т. п. Чем больше в системе связи (например, нитей в полиспасте, сконструированном нашим архитектором), тем сложнее проследить за действием всех возникающих в них сил реакции.

Во многих случаях механические связи обладают неким замечательным свойством, которое Бернулли и положил в основу своего простого и изящного способа нахождения условий равновесия механической системы. Это свойство заключается в том, что полная работа всех сил реакции, возникших в связи системы при любых достаточно малых возможных отклонениях ее от положения равновесия, равна нулю.

Тут следует специально оговорить, что подразумевается под «любими достаточно малыми возможными отклонениями» системы от положения равновесия. Прежде всего, конечно, перемещения точек системы, определяющие такие отклонения, не должны противоречить механическим связям (нити не должны раваться, шарниры — ломатся). Такие перемещения называют возникшими, или виртуальными (что означает — мысленными). Их следует отличать от истинных перемещений, которые проискдают под действием приложенных сил. Виртуальные перемещения не имеют относительной проессу движения системы — они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соответствия сил и установить условия равновесия. Малость же перемещений нужно для того, чтобы можно было силы реакции считать неизменными.

Связи, для которых сумма элементарных работ сил реакции при любых виртуальных перемещениях равна нулю, называют идеальными. Подчеркнем, что не все связи идеальными. Так, если тела системы лежат на плоскости с трением, то эта связь (плоскость) уже не идеальная.

Рассмотрим, как выполняется свойство идеальных связей на примере системы точек, образующих абсолотно твердое тело. Любая точка $A$ такого тела связана со всеми другими точками силами реакции. Выделим какую-либо точку $B$ и обозначим силы реакции, действующие между точками, через $\vec{F}_{AB}$ и $\vec{F}_{BA}$ (первая из них приложена к точке $A$, вторая — к $B$). Забудем на время обо всех остальных точках тела, кроме двух выделенных. Тогда у нас остается система двух материалов точек, соединенных несовместимым жестким стержнем. Согласно третьему закону Ньютона,

$$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}.$$

Совершим теперь некоторые виртуальные перемещения этих точек $\Delta s_A$ и $\Delta s_B$. Можно считать, что $\Delta s_A$ — общее для всех точек поступательное перемещение твердого тела как целого, а $\Delta s_B = \Delta s_A + \Delta s'$, где $\Delta s'$ — перемещение, соответствующое выражению точки $B$ относительно точки $A$. Полная работа сил реакции при этих виртуальных перемещениях есть

$$\Delta A = (\vec{F}_{AB} \cdot \Delta s_A) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s_B) = \left( (\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BA}) \cdot \Delta s_A \right) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s').$$

Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в силу условия (*). Равным нулю оказывается и второе слагаемое, так как перемещение $\Delta s'$, соответствующое выражению точки $B$ относительно точки $A$, перpendикулярно силе $\vec{F}_{BA}$, которая направлена вдоль прямой, соединяющей точки $A$ и $B$. Точно так же можно показать, что виртуальная работа (т. е. полная работа при виртуальных перемещениях) сил реакции и для любых других твердого тела равна нулю. Таким образом, на рассмотрении примере мы убедились в справедливости обсуждаемого свойства идеальных связей.

Для того чтобы окончательно формировать новый принцип равновесия, нам осталось рассмотреть виртуальную работу внешних сил. Заметим, что каждая приложенная система внешняя сила в условиях равновесия должна находиться в равновесии с силами реакции, вызванными