За пределами закона Ома

2

ЗА ПРЕДЕЛАМИ
ЗАКОНА ОМА

Кандидат физико-математических наук
С. С. МУРЗИН,
кандидат физико-математических наук
М. Р. ТРУНИН,
кандидат физико-математических наук
Д. В. ШОВКУН

«Бди!» — чашце пользователь этом советом Козьмы Пруткова, когда речь идет о законах физики. В частности — о законах физики. Вспомним, например, закон Ома: ток пропорционален напряжению. Оказывается, бывает и не так. И хорошо! Если бы этот закон соблюдался всегда, то мы остались бы без многих электро- и радиотехнических устройств. К счастью, закон Ома, как и большинство законов физики, имеет ограниченную область применения. Именно за пределами действия этого закона и возникают интересные физические явления, обеспечивающие работу этих устройств. Сами по себе эти явления очень интересны, но сегодня мы обсуждим другой вопрос: изза чего нарушается закон Ома?

Закон Ома

Включим проводник в электрическую цепь и будем изменять силу тока I, текущего по проводнику, при различных значениях приложенного напряжения U. Таким образом мы получим зависимость I=I(U) — волт-ампераную электрическую проводника. Согласно закону Ома, сила тока при этом электрическую проводника, т. е. волт-ампераную электрическую представляет собой линейную функцию

$$I(U) = U/R,$$

и сопротивление R не зависит от U. Если же это не так (закон Ома не выполняется), то волт-ампераная электрическая нейнейная.

Самым простым примером проводника, в котором нарушается закон Ома, является спираль лампы нака-ЛИВАНИЯ. Для лампы мощностью 40 В волт-ампераная характеристика приведена на рисунке 1. Линейный участок имеет лишь при U<5 В, а при больших значениях U ток I растет медленнее, чем в случае линейной зависимости I(U). Нетрудно доказать, почему так получается. При повышении напряжения спираль разогревается, и ее сопротивление увеличивается. Этот пример иллюстрирует общее правило: закон Ома справедливли в лишь при достаточно малых I и U, а при больших токах и напряжениях он нарушается.

Запишем закон Ома в другом виде. Для этого введем величины плотности тока j=I/S, где S — площадь сечения проводника. Тогда

$$j = \frac{I}{S} = \frac{U}{RS} = \frac{U}{(\rho L/S)S} = \frac{1}{\rho} \frac{U}{L} = \sigma E.$$

Здесь $\rho$ — удельное сопротивление проводника, величины $\sigma=1/\rho$ называется удельной проводимость, $L$ — длина проводника, $E=U/L$ — напряжение электрического поля. Закон Ома предполагает линейную связь между плотностью тока j и напряжение электрического поля E. Если же проводимость σ по какой-то причине зависит от величины электрического поля, то зависимость j от E становится нелинейной, и закон Ома нарушается.

Чтобы выяснить причины нарушения закона Ома, рассмотрим движение электронов в проводниках в отсутствие и при наличии электрического поля.

4

$$\vec{u} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \vec{v}_i - \frac{e\vec{E}}{m^*} t_i \right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i - \frac{e\vec{E}}{m^*} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} t_i \right).$$

Величина $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i$ есть средняя скорость электровоз сразу после рассеяния. Так как скорости электровоз сразу рассеяния могут быть направлены в любую сторону, $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i = 0$. Величина $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} t_i = \tau$ имеет смысл уже знакомого нам среднего времени свободного пробета. Итак, под действием электрического поля все электроны прибретают добавочно скорость (ее называют дрейфовой), среднее значение которого равно $u = eE\tau/m^*$, и направлена эта скорость параллельно полю $\vec{E}$.

Таким образом, при наличии электрического поля наxaотическая движение электровоз накладывается дрейфовое, появляется преимущественное направление движения электровоз — возникает электрический ток. Если концентрация электровоз в проводнике равна $n$, то плотность этого тока —

$$j = enu = \frac{ne^2\tau}{m^*} E.$$

С другой стороны, мы знаем, что $j = \sigma E$. Значит,

$$\sigma = \frac{ne^2\tau}{m^*}.$$

Эта формула называется формулой Друде. Закон Ома справедлив, если ни одна из величины, входящих в формулу Друде, не зависит от $E$. Если концентрация электровоз $n$ или время свободного пробета $t$, или эффективная масса $m^*$ изменяется под действием электрического поля, то закон Ома нарушается.

Когда же справедлив закон Ома

Прежде всего рассмотрим, при каких условиях величина $t$ не меняется под действием поля $E$.

Время $t$ зависит от скоростей электровоз. Дрейфовая скорость $u =$

$$eE\tau/m^*, \text{ появляющая при включении электрического поля, возрастает при увеличении } E. \text{ Пока электрическое поля мало, так что дрейфовая скорость } u \text{ гораздо меньше средней скоростиxaотического движения } v_0, \text{ величины } u \text{ можно пребречь и считать время } t \text{ не зависит от поля } E. \text{ Если } E \text{ велико настояло, что значение } u \text{ сравнито с } v_0, \text{ то дрейфовою скорость нужно учитывать. В этом случае скорости электровоз и, следовательно, время свободного пробета } t \text{ оказываются зависящими от электрического поля.}$$

Таким образом, для выполнения закона Ома необходимо, чтобы выполнялось условие

$$u \ll v_0,$$

т. е. направлено электрического поля в проводнике должно быть много меньше $E = m^*v_0/e\tau$.

В полупроводниках, как мы уже говорили, $v_0 \sim 10^5$ м/с. Чтобы достичь значения $u$, сравнимого с $v_0$, к полупроводнику необходимо приложить поле $E \sim 10^6$ В/м. Это — огромная величина, сравнимая с направлением поля в молнии. Тем не менее такое поле удается создать в полупроводниках.

Есть еще одно, более сильное ограничение на скорость $u$. Она должна быть меньше скорости звука в проводнике (а $v_{38} \sim 10^3$ м/с):

$$u < v_{38}.$$

Как только скорость $u$ достигает значения $v_{38}$, в кристалле возбуждаются звуковые колебания. При этом время свободного пробета $t$ и проводимость $\sigma$, пропорциональная $\tau$, могут уменьшаться. Эта ситuation аналогична резкому увеличению аэродинамического сопротивления после предоления самолетом звукового барера.

Итак, в поле $E_{38} \geq m^*v_{38}/e\tau$ проводимость начинает зависеть от величины $E$, и закон Ома нарушается.

Дейстиве электрического поля не совпада только к появлению дрейфового движения. Известно, что при протекции тока в проводнике выделяется джоулево телло, и он нагревается. Расмотрим этот процесс подробнее.

5

Любой проводник можно считать состоящим из двух подистем: кристаллический решетки, образованной atomами вещества, и газа электронов проводимости, заполняющего решетку. Электrons и решетку можно характеризовать своим температурми $T_e$ и $T_p$. В отсутствие электрического поля электронный газ находится в тепловом равновесии с решеткой и окружающей средой: $T_e=T_p=T_c$. Поле $E$ действует на электроны проводимости и разогревает прежде всего их. Лишь затем от электронов теплопередается решетке, а потом окружающей среде. Поэтому при наличии поля тепловое равновесие нарушается так, что $T_e>T_p>T_c$.

Если теплопередача от проводника окружающей среде уже теплопередачи от электронов atomам и, следовательно, $T_e-T_p\ll T_p-T_c$, то решетка вместе с электронами разогревается как целое. (Такая ситуация характерна для спирали лампы накаливания.) Возможен и обратный случай, когда температура электронов намного выше температуры решетки и $T_e-T_p\gg T_p-T_c$.

В металлах, как мы уже говорили, средняя скорость хаотического теплового движения электронов практически не зависит от температуры. А вот в полупроводниках увеличение $T_e$ под действием электрического поля означает рост скорости $v_0$ теплового движения электронов, а значит — уменьшение времени свободного пробета. Если изменение $\Delta v_0$ скорости $v_0$ мало, т. е. $\Delta v_0\ll v_0$, то зависит $v_0$ от $E$, и, значит, $\tau$ от $E$ можно пребреть. Условие $\Delta v_0\ll v_0$ эквивалентно условию малости перегрева $\Delta T_e$ электронов относительно равновесного состояния:

$$\Delta T_e\ll T_e.$$

Таким образом, условия неависимости времени свободного пробета от величины электрического поля, необходимое для выполнения закона Ома, задает следующее ограничения на области применения этого закона:

$$u \ll v_0,$$

$$u < v_{3B},$$

$$\Delta T_e\ll T_e=T_c.$$

Нарушение любого из этих неависимостей к отклонению от закона Ома. Ниже мы увидим, что при нарушении неависимости $u \ll v_0$ и $\Delta T_e\ll T_e$ электрическое поле $E$ может влиять и на другие величины, входящие в формулу Друде, — эффективную массу $m^*$ и концентрацию электронов $n$. Зависимости $m^*$ и $n$ от $E$ могут существенно изменить вид волт-amперных характеристик полупроводников.

Полупроводники в сильном электрическом поле

В образце, по которым течет ток $I$, выделяется мощность

$$P=I^2R=\sigma E^2LS$$

(мы учили, что $I=jS=\sigma ES$, $R=\varrho L/S=L/\sigma S$). В единице объема выделяется мощность $Q=\sigma E^2$. При одном и том же значении $Q$ электрическое поле $E=$ $\sqrt{Q/\sigma}$ в полупроводниках городадо большие, чем в металлах, так как концентрация электронов в полупроводниках и, значит, проводимость $\sigma$ наного меньше. Следовательно, в них легче нарушить условия $u<v_{3B}$, $u\ll v_0$. Кроме того, на каждый электрон в полупроводнике приходится большая мощность, чем в металле. Электронный газ разогревается сльнее, поэтому и неависимство $\Delta T_e\ll T_e$ тоже нарушается легче.

Нарушение какого из условий — (1), (2) или (3) — при увеличении электрического поля приведет к наиболее существенным отклонению от закона Ома, зависит от типа полупроводника. Например, в CdS сначала нарушается условия $u<v_{3B}$. При этом в поле $E_{3B}=1,4\cdot 10^5$ В/м на волт-amпер-

6

ной характеристике $j(E)$ возникает излом (рис. 2). Если $E > E_{3B}$, этот полупроводник интенсивно испускает звук и может быть использован в качестве генератора звуковых колебаний.

В других полупроводниках, таких как Ge, Si, GaAs, InP, CdTe, звук возбуждается гораздо слабее, и в поле $E_{3B}$ заметного излом не наблюдается. В этих полупроводниках отклонения от закона Ома связаны с нарушением условия $\Delta T_e \ll T_e$. При этом время свободного пробета оказывается обратно пропорциональным полю $E$, т. е. $\tau(E) \sim 1/E$, и зависит плотности тока отоля связывана только с изменением $m^*$ и $n$. В Ge и Si при $E > 10^6$ В/m на волт-амперной характеристике (рис. 3) наблюдается насыщение $j(m^*, n)$ не зависит от $E$. В GaAs, InP, CdTe при увеличении энергии электронов с ростом $E$ не только уменьшается время свободного пробета $\tau$, но и растет эффективная масса $m^*$. Увеличение $m^*$ вызывает изменением взаимодействия электронов с кристаллической решеткой. В результате в этих полупроводниках, начиная с некоторого значения электрического поля $E_a$, плотность тока $j$ падает с ростом $E$ (участок $E_a < E < E_b$ на рисунке 3). В GaAs падание $j$ начинается с $E_a = 3,2 \cdot 10^5$ В/m и продолжается до $E_b \approx 10$ $E_a$. В поле $E_a$ древфовая скорость электронов $u = j/en = 1,5 \times 10^5$ м/c.

В еще более сильном поле $E \sim 10^7$ В/m нарушаем условие $\Delta T_e \ll T_e$ нарушается и условия $u \ll v_0$. В таком поле электроны получают за время свободного пробета энергию, достаточно для понимания атомов. Быстрый электроны при столбчении с atomами выбивают дополнительные электроны, которые в свою очередь тоже ускоряются полем и генерируют новые носители заряда. Этот процесс называется ударной инизацияй. Общая концентрация $n$ электронов возратает, и, следовательно, растет проводимость. При еще большем увеличении электрического поля $(E > 10^7$ В/m) концентрация и проводимость возратают лавинообразно, наступает пробой полупроводника.

Таким образом, в полупроводниках в очень сильных полях $E$ плотность тока $j = \sigma E$ увеличивается быстрее, чем по линейному закону. В частности, в Ge и Si насыщение тока сменяется его непленным ростом, а в GaAs, InP, CdTe волт-амперная характеристика прибретает $N$-образный вид (рис. 3); при $0 < E < E_a$ выполняется закон Ома, в интервале $E_a < E < E_b$ имеет падающий участок, вызванный уменьшением $\tau$ и возратанием $m^*$ в сильном электрическом поле, и, наконец, в области $E > E_b$ происходит быстрый рост $j$ из-за увеличения $n$.

Эффект Ганна

Наличие падающего участка на волт-амперной характеристике приводит к интересному явлению, обнаружному американским инженером Джоном Ганном.

Приложим к образцу GaAs длиной $L$ направление $U_0$ такое, чтобы оказаться на падающем участке зависимости $j(E)$. Предположим, что сначала электрическое поле в образце однородно и равно $U_0/L$. Пусть по какой-либо причина в тонком слое $AB$ образца поле $E$ оказывается чуть большше, чем в остальном объеме образца (рис. 4). Тогда скорость древфа электронов $u = j/en$ внутрен слоя $AB$ оказывается меньше, чем снаружи. Поэтому к границе $A$ будет подлеять большие электронов, чем улетать от нее, а у границ $B$ — положительное. Следовательно, в слое $AB$ появится дополнительное электрическое поле, направленное в ту же сторону, что и исходное. Увеличение

7

ние поля приведет к тому, что действая скорость электровнутри слоя еще уменышится, и поле там еще больше возрастет.

Таким образом, однородное распределение электрического поля на падающим участке $j(E)$ невозможно: любая сколь угодно слабая неоднородность $E$, случайно возникшая в образце, не рассасывается, а нарастает. В результате образуется узкая область (размером $\delta$) сильного поля, которая называется электрическим доменом. При этом, так как напряжение $U_0$ на образце задано, т. е.

$$E_2\delta + E_1(L-\delta) = U_0 = \text{const},$$

рост поля $E_2$ в домене сопротивления уменышением поля $E_1$ вне его. Наступит момент, когда $E_1 < E_a$ и $E_2 > E_b$ (см. рис. 3). Скорость действающая электровнутри домена начинает уменышаться, а внутренняя — уvelичивать. Рост поля $E_2$ в домене прекратится, когда эти скорости сравняются, и плотности токов в домене и в образце станут одинаковыми:

$$j(E_1) = j(E_2) = j_0.$$

Из двух последних равенств следует, что установившаяся в образце плотность тока $j_0$ зависит от толщины домена $\delta$.

Объчно домен возникает в близи када (за счет вплавления контактов здесь большие неоднородностей) и, увлекаемый потоком электровнутри, начинает двигаться к аноду со скоростью $u_0 = j_0/en$. Пока он движется вдоль образца, его размер не меняется, а значит, не меняется и ток $j_0$. В близи анода домен начинает исчезать, его толщина уменышается, и ток в образце возрастает. Однако временно уvelичивается поле $E_1$ вне домена. Как только

$$E_1$$ достигнет значения $E_a$, у которой зарождается новый домен, ток начинает уменышаться, и этот процесс церподические повторяется (рис. 5). Перiod колбанный тока в образце — $T_0 = L/u_0$.

Итак, прикладывая к полупроводнику постоянное напряжение $U_0$, мы получаем переменный ток частоты $f = 1/T_0 = u_0/L$. Это совсем уже непохоже на закон Ома. В арсениде галляя (GaAs) $u_0 \approx 10^5$ м/c. Используя небольшие образцы длиной от одного до стапикрон, можно менять частоту переменного тока в диапазоне $f \sim 10^9 - 10^{11}$ Гц. На основе эффекта Ганна работает большинство современных генераторов сверхвысоких частот (СВЧ). Эти приборы используются, например, для определения постоянной ГАЙ скорости движения автоматической и в телевизионном вещении через искусственные спутники Земли.

Нарушение закона Ома

при больших токах

Do sins пор мы рассматривали движение электровнутри под действием только электрического поля. Однако известно, что протекающий по проводнику ток является источником магнитного поля. магнитное поле возникнет не только снаружи, но и внутри проводника. Например, близи поверхности прямого провода диаметром $d = 1$ мм при токе $I = 10$ А возникнет магнитное поле $B = 4\mu_0I/d \approx 0,012$ Тл ($\mu_0 = 4 \cdot 10^{-7}$ B·с/(А·м) – магнитная постоянная). Magнитное поле тока может служить причной нарушения закона Ома.

На электрон, движущейся в магнитном поле, действует сила Лоренца,

8

Рис. 6.
искривляющая его траекторию. Если индукция поля $\vec{B}$ перpendикулярна скорости $\vec{v}$ электрона, то траекторий электрона будет окружность радиуса $r=m^*v/eB$. Если угол между векторами $\vec{B}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$, то электрон будет двигаться по спирали, диаметр которого $d=2(m^*v/eB)\sin \alpha$, пропетая один виток спирали за время $T=2\pi m^*/eB$.

В проводнике движение электрона по спирали возможно, если время свободного пробета $\tau \gg T$ (рис. 6, а). При этом диаметр спирали $d<vT$ во много раз меньше расстояния $l=v\tau$, на которое электрон смешается за время $\tau$ в отсутствие магнитного поля (рис. 6, б). Поэтому в течение времени $\tau$ электрон оказывается как бы запертым в трубке диаметром $d$. В результате сопротивление проводника в магнитном поле оказывается больше, чем при $B=0$. Зависимость сопротивления $R$ от магнитного поля, создавемого «собственным» током, приводит, таким образом, к нарушению закона Ома.

Если же $\tau \ll T$, то между двумя последовательными столковенными движение электрона мало отличается от прямолинейного (рис. 6, с); магнитное поле практические не менее сопротивления проводника.

Индукция магнитного поля $B_0$, начная с которой влияние поля становится существенно, находится из

Рис. 7.

условия равенства перiodа обращения электрона по круговой орбите $T=2\pi m^*/eB_0$ времен свободного пробета $\tau: B_0=2\pi m^*/e\tau$. Для GaAs $m^*=0,06$ $m_e$ и $\tau \sim 10^{-13}$ с, поэтому $B_0 \approx 3$ Тл. Создать такое поле, пропуская через полупроводник ток, практические невозможно. При гораэдо меныших токах образец разрушится. По металлу же, имеющему очень высокую проводимость, можно пропускать намного больше токи. Кроме того, в чистых металлах, охлажденных до температуры жидкого геля (около 4 К), время $\tau$ может достигать величины $\sim 10^{-9}$ с, значительно больше, чем в полупроводниках. Поэтому в металлах поле $B_0$ малó — порядка 0,01 Тл. Это пример такого поле, которое возникает в проводнике диаметром 1 мм при токе 10 А.

На рисунке 7 приведена полученная экспериментальная зависимость сопротивления $R$ металлического проводника от величины тока $I$ при гелевой температуре. Видно, что с ростом тока сопротивление увеличивается в несколько раз. Электрическое поле в этом эксперименте было меньше $10^2$ В/м, что намного меньше тех полей $E$, в которых наблюдаются отклонения от закона Ома в полупроводниках. Таким образом, влияние магнитного поля тока на сопротивление является в данном случае основной причиной нарушения закона Ома.

---

Мы рассмотрели физические принципы, которые могут приводить к нарушению закона Ома в проводниках. При этом не были упомянуты наиболее важные неполученные эфективы в проводниках, находящихся в переменных электрическом и магнитном полях… Но ведь «никто не обнимет необъятного».