Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

71

a) Решите неравенство $f(x) < -1$.
6) Найдите наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-1; 1]$.
b) Сколько корней имеет уравнение $f(x) = a$ в зависимости от $a$?
2. В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, $AB=AC=2$. Точка $M$ лежит внутри треугольника, причем $AM=1$, $\angle MAC=\alpha$. Пусть $q=BM \cdot MC$.
a) Доказите, что $q=\sqrt{8u^2-20u+17}$, где $u=\sin \alpha+\cos \alpha$.
6) Решите уравнение $q(\alpha)=3$.
b) Найдите наименьшее значение функции $q(\alpha)$.
3. Дана функция $y=x^4+2x^3+1$. Пусть $A$, $B$, $C$ точки на ее графике, имеющие абсциссы $a-1$, $a$, $a+1$ соответствие.
a) Найдите площадь $S(a)$ треугольника $ABC$.
a) Построите график функции $S(a)$. Отметьте координаты точек экстремума.
b) Решите уравнение $S(a)=1/2$.
г) Сколько корней имеет уравнение $S(a)=b$ в зависимости от $b$?

Физика
Задание устного экзамена

1. Линейная скорость точек обода вращаются диска $v_1=6$ м/c, а точек, нахождения на $l=20$ см близке к оси вращения, $v_2=4$ м/c. Найдите угловую скорость вращения и радиус диска.
2. С крыши дома высотой $H=20$ м вертикально вверх брошен камень со скоростью $v_0=10$ м/c. Определите скорость камня на высоте $h=10$ м от земли и кинетическая энергия камня в момент его удара о землю. Масса камня $m=1$ кг.
3. Оdnородное бревно длиной $l$ и массой $m=100$ кг лежит на двух опах. Расстояние от правого конца бревна до близкойшей опоры $l/3$, от левого $l/4$. С какой силой давит бревно на каждую из опор? Какую минимальную силу надо приложить, чтобы немного приподнять бревно за правый конец?
4. Оdnин из математических матриков совершил $n_1=10$ колебаний, другой за это же время $n_2=6$ колебаний. Разность длины матриков $\Delta l=16$ см. Определите длины матриков и перiodы их колебаний.
5. Балон содержит скатый газ при $t_1=27^\circ C$ и давления $p_1=100$ кПа. Каково будет давление, когда из балона будет выпущено $k=0,4$ массы газа, а температура понизится до $t_2=7^\circ C$?
6. При изобарическом нагревании $m=12$ г геляя он совершил работу $A=1$ кДж. На сколько изменилась температура газа? Какое количество теплоты ему было передано?
7. Два точных заряда $q_1=0,6$ мкКл и $q_2=-0,3$ мкКл находится в вакууме на расстоянии $l=10$ см друг от друга. Определите положение точки, в которой направлено поля, создаваемого этим зарядами, равна нулю.
8. В цель, состоящую из акмулятора и резистора сопротивлением $R=10$ Ом, включает волтметр: сначала последовательно, а затем параллельно резистору. Оба показания волтметра оказываются одинаковыми. Сопротивление $R_V=1$ кОм. Каково внутреннее сопротивление акмулятора?
9. Под каким углом водолаз видит горизонт из воды? Показатель предолемления воды $n=1,33$.
10. На экран процуриют диапозитив, причем площадь изображения в $k=100$ раз больше площади диапозитива. Расстояние от диапозитива до объекта проекционного аппарата $d=25$ см. Определите расстояние от объекта до экран и фокусное расстояние объекта.

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Matematika
Задание устного экзамена
Matematический факультет

1. Доказите справедливость равенства $\frac{1-4\sin 10^\circ\sin 70^\circ}{2\sin 10^\circ} = 1$.
2. Решите уравнение:
   a) $\frac{x^2+2x+7}{x^2+2x+3} = x^2+2x+4$;
   b) $\sqrt{(x-1)^2(x-5)} = |x-1| \sqrt{25-x^2}$;
   b) $2^{2x}-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2x-1}$;
   r) $\frac{\log_3 x-1}{\log_3 \frac{x}{3}}-2\log_3 \sqrt{x}+\log_3 x=3$.
3. Решите неравенство:
   a) $\sqrt{x^2-5x+6} \leq x+4$;
   b) $\left|\frac{3|x|+2}{|x|-1}\right| < 3$;
   b) $6,25^{2-\log_2 x^2}>0,4^{\log_2 x+2}$;
   r) $\left(\frac{1}{4}\right)^{\log_3 \frac{x}{3}} \leq 1$.
4. Найдите область определения функции $y=\sqrt{2-\log_0,5\left(\frac{x}{x-1}\right)}$.
5. В окружность вписан четырехугольник $ABPK$. Его диагонали пересекаются в точке $A$. Доказите, что $MA \cdot AP=KA \cdot AB$.
6. В равноведренной трапеции $ABCD$ (AB||CD) диагонали пересекаются в точке $O$ под

72

углом 60° ($\angle AOB=60^\circ$). Докажите, что середины отрезков АО, ОД и BC являются вершинами равностороннего треугольника.

7. В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а высота 20. Определите высоту, опущенную на боковую сторону.

8. Стороны оснований правый треугольной усеченной прямых равны $a$ и $b$ ($a>b$), двугранный угол при ребре большого основания равен $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности усеченной прямых.

9. Основание прямых — ромб со сторонам $a$ и острым углом $a$. В прямиду вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объем конуса.

10. Определите объем правый шестугольной прямых, если известно, что ее самая большая диагональ имеет длину $d$ и составляет с боковым ребром прямых угол $a$.

11. В основании прямых — правый треугольник, радиус окружности, виссанной в этот треугольник, равен $b$. Одана из вершин прямых проектируется в центр основания. Боковое ребро прямых образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объем прямых.

Физическая и индустриальная огичесный факультеты

12. Что больше:
    a) $\log_5 \sin 46^\circ$ или $\log_5 \cos 46^\circ$;
    b) $\log_1 \cos 18^\circ$ или $\log_1 \sin 18^\circ$?

13. Упростите выражение
    $$\frac{1}{2} (\sin^4 \alpha + \cos \alpha) + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha.$$

14. Постройте график функции:
    a) $y = (4 - |x|)(1 - |x|)$;
    b) $y = \lg |x - 1|$;
    c) $y = 2^{-|x|}$.

15. Решите уравнение:
    a) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$;
    b) $(3^{x+1})^x = \lg 10 - \log_1 16;$
    $$\sqrt{2}$$

«Библиотека «Квант» — 10 лет
(Начало см. на с. 9)

56. В. М. Тихомиров. Расссказы о максимумах и минимумах.

57. А. А. Силин. Трене и мы.

58. Л. А. Ашкинази. Вакум для науки и техники.

59. А. Д. Чернин. Физика времени.

60. Задачи Москвыских физических оптимизат.

61. М. В. Балк, В. Г. Болтанский. Геометрия масс.

62. Р. Фейнман. Характер физических законов.

63. Л. Г. Асламаоз, А. А. Барламов. Удивительная физика.

64. А. Н. Колмогоров. Математика — наука и профессия.

65. М. Е. Левинштейн, Г. С. Симин. Барверы: От критICAL до интегральной схемы.

66. Р. Фейнман. Кэд — страная теория света и вещества.

67. Я. В. Зельдович, М. Ю. Хлопов. Драма ией в позанини природы.

68. И. Д. Новиков. Как взорвалась Вселенная.

69. М. В. Беркинблит, Е. Г. Глазолева. Электричество в живых организмах.

70. А. Л. Стасенko. Физика полета.

71. А. С. Штейнберг. Репортаж из мира сплавов.

73

Узлы, зацепления и их полиномы

1. Перебросьте у узла $Y_4$ на рисунке 1 (см. с. 11)дугу $AB$ через весь узел справа налево на пунктирую линию. Дальнейшее распутывание трехкратным применением операции $\Omega_1^+$.
2. Послед выполнения операции $\Omega_2^+$ узел распутывается трехкратным применением операции $\Omega_1^+$.
3. Это следует из того, что на диаграмме узла $Y_2$ нигде нет конфигураций двойных точек, показанных на рисунках 4 а, б слева (см. с. 13).
4. Решение аналогично решению упражнения 3.
5. $1-x^2$.
6. $2x$; $x^3+2x$.
7. $x^6+5x^4+6x^2+1$; $x^7+6x^5+10x^3+4x$.
   Указание. Обозначив $Y$ и $3$ через $L_7$ и $L_8$ соответственно, определяйте по аналогии $L_1$, $L_2$, $L_3$, …, $L_n$, и докажите рекуррентное соотношение для их полиномов Конвей:
   $$P_{L_n}=xP_{L_{n-1}}+P_{L_{n-2}}$$
   приименов аксимому III к любой двойной точке. После этого, начиная с известных значений полинома для $L_2$ и $L_3$ (это простейшее правило зацепления двух окружностей и узел трилистник соответствен!), последовательно найдите $P_{L_4}$, $P_{L_5}$, $P_{L_6}$ $P_{L_7}$ и $P_{L_8}$. Интересно, что рекуррентное соотношение, определяющее полиномы $P_{L_n}$, отличается лишь знаком от соотношения для значительных полиномов Чебышева.

Метод Лобачевского

1. Воспользоваться подстановкой $x=1/y$ и умножить все члены на $y^n$.
2. Если задано значение $x_0$, то воспользоваться подстановками $x=y+x_0$ и $y=1/z$.

Законы сохранения энергии и импульса

1. $Q=mgH+\frac{mMv^2}{2(M+m)}$.

2. $\Delta E=\frac{m_1m_2(v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos \alpha)}{m_1+m_2}$.

3. $x_{\max}=\frac{mv}{\sqrt{k(M+m)}}$.

4. $H_{\max}=\frac{Mv^2}{2g(M+m)}$.

5. $v_{\max}=2m\sqrt{\frac{gl}{M(M+m)}}\sin \frac{\alpha}{2}$.

Ленинградский государственный университет Математика
Вариант 1

1. $-\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in Z$.
2. [1; 3] $\bigcup [81; \infty)$.
3. $a=-64$, $b=8$, $a=0$, $b=0$, $a\in(0; 4)$, $b\in\mathbb{R}$; $a=4$, $b=2\pm\sqrt{2}$. Указание. Если $a\in(0; 4)$, то дискриминант первого уравнения $D=a^2-4a$ отрицательен. При этих значениях $a$ можноство решений первого уравнения будет пусто и потому будет частью множества решений второго уравнения неависимо от значения $b$. Если $a\notin[0; 4]$, то $D>0$ и первое уравнение будет имеет два различных корня. Они будут второго уравнения, только если коэффициенты уравнения пропорциональны, т. е. если $-a=b^2$, $a=-8b$, откуда $a=-64$, $b=8$. Случай $a=0$ и $a=4$ рассматриваются без труда.
   4.1. Указание. Пусть $O$ — точка пересечения $AE$ с DC. Из подобия треугольников $DOG$ и $OEC$ следует, что
   $$\frac{OG}{OD}=\frac{OE}{OC},$$
   а из подобия треугольников $DOA$ и $OEF$
   $$\frac{AO}{OD}=\frac{OE}{OF}.$$
   Из этих соотношения вытекает равенство $\frac{OG}{OF}=\frac{AO}{OC}$, которое обеспечивает подобие треугольников $OFG$ и $OCA$.
   4.2. $\frac{\pi}{2}+1$. Указание. Первое неравенство задает квадрат с вершинами в точках $(-3; 0)$, $(-1; -2)$, $(-1; 2)$, $(1; 0)$, а второе — круг с центром в точке $(-2; 0)$ радиусом 1.
4. 2V. Указание. Расстояние осевое сечение конуса (рис. 1). Пусть $OO'=R$, $SO=h$, $AO=x$. Из подобия треугольников $SO'A'$

74

и SOA следует, что $\frac{SO'}{O'A'} = \frac{SA}{OA}$, т. е. $\frac{h-R}{R} = \frac{\sqrt{h^2+x^2}}{x}$. Отсюда следует, что объем конуса $W(h) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R}$. Эта функция имеет минимум при $h=4R$, равный 2V.

Вариант 2

1. 2, 7, 12 или 10, 7, 4. Указание. Условия задачи приводят к системе $2b=a+c$, $(b-4)^2=(a-1)(c-3)$, $(a-1)(c-3)=b+2$.
2. {1}.
   3.1. $\left[ 0; \frac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right] \cup \left[ \frac{5\pi}{3}; 2\pi \right]$.

3.2. Объединение отрезков $\left[ 2k\pi + \arccos \frac{1}{4}; 2(k+1)\pi - \arccos \frac{1}{4} \right], k \in \mathbb{Z}$. Указание. Найдите сначала решения, принадлежие отрезку [0; 2π].

4. $\sqrt{R(R-2r)}$. Указание. Пусть $O$ и $O'$ — центры виссанной и описанной окружности равноведренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$), $H$ — середина основания $AC$, $K$ — точка касания виссанной окружности со стороны $BC$, $BH=h$ — высота треугольника. Тогда $OO' = |BO-BO'| = |R+r-h|$. Если $\angle HBC=a$, то по теореме синусов $BC=2R\cos a$. Из треугольника $BOK$ получим $\cos a = \frac{\sqrt{h^2-2rh}}{h-r}$, что вместе с соотношением $h=BC\cos a=2R\cos^2a$ дает уравнение относительно $h: h=2R\sqrt{h^2-2rh}/(h-r)^2$, решая которое получим $h=R+r \pm \sqrt{R^2-2Rr}$.

5. 7:3. Указание. Пирамида $SABC$ разбиается на две парамиды $ABCD$ и $SBCD$ с общим основанием и высотами $AD$ и $DS$ (рис. 2). Позному искомое отношение объемов равно $DS/AD$. Для нахождения этого отношения рассмотрене сечение $SAE$ и воспользоваться тем, что $ED \cdot AS=SF \cdot EA$.

Вариант 3

1. 309. Решение. Пусть искомое число имеет вид $100x+10y+z$, где $x, y, z$ — неизвестные цифры. Из условия следует, что

$$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=12, \\ 299x+20y-97z=24. \end{array} \right.$$
Умножая первое уравнение на 299 и вычитая второе, придем к уравнению
$$31y+44z=33 \cdot 12,$$
откуда следует, что $y$ должно делиться на 11. Позному $y=0$, $z=9$, $x=3$.
2. $\pi \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \pm \arccos \sqrt{\frac{2}{7}} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
3. $\{0\} \cup \left[ \frac{3}{2}; 3 \right]$.
4. См. рис. 3.
5. $\frac{1}{48} \pi \frac{R^3}{H^3} (\sqrt{4H^2+R^2}-R)^3$. Решение. Пусть $E$ и $D$ — середины стороны $AB$ и $CD$ — те точки, через которых проходит указанная в условиям плоскость. Расмотрим сечение парамиды плоскостью, проходящей через $B$ и высоту $SO$ (рис. 4). Пусть $K$ — точка пересечения отрезка $ED$ с плоскостью $SO$. По условияю $FK=KB$, и потому $OK=\frac{R}{2}$.
Центр интерсуцишего нас шара $O'$ лежит на $SO$ и равнодален от $FB$ и $SK$. Обозначим его радиус через $r$. Тогда $OO'=O'G=r$. Из подобия треугольников $SGO'$ и $SOK$ следует, что

$$\frac{r}{H-r} = \frac{R/2}{SK} = \frac{R}{2\sqrt{H^2+\frac{R^2}{4}}} = \frac{R}{\sqrt{4H^2+R^2}}.$$
Позному $r = \frac{R(\sqrt{4H^2+R^2}-R)}{4H}$.

Вариант 4

1. См. рис. 5.
2. $x=2$.
3. Объединение отрезков $\left[ 2\pi k - \arccos \frac{\pi}{6}; 2\pi k + \arccos \frac{\pi}{6} \right], k \in \mathbb{Z}$. Указание. Сначала решите на промежутке [0; 2π].
4. Искомое ГMT — параллелограмм, образованный средними линиями $EF, FG, GH, HE$ треугольников $ABD, BCD, ABC, ACD$ (рис. 6). Указание. Расмотите сначала счuyай, когда отрезок $CD$ вырождается в точку (рис. 7), и докажите, что тогда интерсуцише нас ГMT — средняя линия $KL$ треуголь-

75

ника $ABC$, паралельная $AB$. Теперь легко разобраться и с общим слуаем. Пусть $M$ — произвольная точка паралелограмма $EFGH$. Проведем $KL$ через точку $M$ паралелого $GH$ и $BP$ через точку $K$. Расмотрим треугольник $BPA$. Нетрудно проверить, что сторона $PA$ проходит через точку $L$, а $KL$ является средней линий этого треугольника. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $PQ$, концы которого лежат на $AB$ и $CD$. Тем самым, точка $M$ принадлежит искомому ГМТ. Аналогично проверяется, что и произвольная точка искомого ГМТ принадлежит паралелограмму $EFGH$.

5. $\frac{3-\sqrt{3}}{12} a^2 h$. Указание. Интересующое нас темло представляет собой примеру, основанием которого является шестиугольник $DEFGHK$ (рис. 8), а высотой — отрезок $OS$. Искомый объем $V$ будет равен $\frac{1}{3} h S_{DEFGHK}$. Заметим, что $S_{DEFGHK}=6 S_{EFO}$, так как все шестиугольники — $EFO$, $FGO$, $GHO$, $HKO$, $KDO$ и $DEO$ — равны между собой (доказите это!). Найдем $S_{EFO}$. Из условия следует, что $OL=\frac{a}{2\sqrt{3}}$. Далее, $LE=OL$, так как $\angle LOE=\angle OEL=45^\circ$. Поскольку $\angle LOF=60^\circ-45^\circ=15^\circ$, то $FL=OL \cdot tg 15^\circ=\frac{a}{2\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})$. Итак, $S_{EFO}=\frac{1}{2} OL \cdot EF=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}+\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)=\frac{a^2(3-\sqrt{3})}{24}$.

Вариант 5

1. $\{(3; 1); (5/3; 11/3)\}$.

2. $\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

3. $(-3/2; -23/16)$.

4. Решение. Пусть $O$ — точка пересечения окружности, описанных вокруг треугольников $ABD$ и $BCE$ (рис. 9). Так как дуги $ADB$ и $BEC$ равны $240^\circ$, то $\angle AOB=\angle BOC=120^\circ$. Следовательно, $\angle AOC=120^\circ$, и потому точка $O$ будет лежать на окружности, описанной вокруг треугольника $ACF$. Итак, треугольник $ABC$ разбиается на три треугольника, каждый из которых покрывается одним из данных кругов. Утверждение доказано.

5. $\frac{1}{\sqrt{3}}-1$. Указание. Пусть $B_1B_2...$ — сечение примиди $SA_1A_2...$ плоскостью, параллельной основанию $A_1A_2...$. Пусть $V_1, V$ — объемы примиди $SB_1B_2...$ и $SA_1A_2...$, а $P_1, P$ — площади их боковых поверхностей. По условияю $\frac{V_1}{V}=\frac{1}{2}$. Заметьте теперь, что примиди $SB_1B_2...$ и $SA_1A_2...$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{SB_1}{SA_1}$, следовательно, $\frac{V_1}{V}=k^3$, $\frac{P_1}{P}=k^2$.

Вариант 6

1. См. рис. 10.
2. $\pm \arccos \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
3. $(2; \sqrt{11})$.
4. $7-\frac{4}{9}\pi+\frac{1}{3}$. Указание. Первое неравенство выделяет квадрат с вершинами $(-2; 1)$, $(0; -1)$, $(0; 3)$, $(2; 1)$. Второе неравенство можно преобразовать к виду
   $$x^2+\left(y+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \geq \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2,$$
   так что они выделят область, лежащую вне круга с центром в точке $(0; -\frac{1}{\sqrt{3}})$ и радиусом $\frac{2}{\sqrt{3}}$.

76

5. 1/11. Указание. Пусть $h$ — высота призмы, $S$ — площадь ее основания. Объем призмы равен $\frac{1}{12} hS = \frac{1}{12} V$.

Вариант 7
2. $2k\pi \pm \arccos \frac{1}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
3. $(-2; -\sqrt{3}) \cup (1; \sqrt{3})$.
4. $\min f(x) = f(4) = 2\sqrt{2}$; максимального значения нет. $x \in (3; 5)$.

Физика
Вариант 1

1. Силы, действующие на бруски, показаны на рисунке 11. Запишем условия равновесия правого бруска:
   $$N_1 = mg, N = F_{\text{тр}},$$
   $$Nb \cos \alpha = \frac{1}{2}(b \sin \alpha - a \cos \alpha)mg.$$
   Кроме того, необходимо, чтобы бруски не скользили и не опрокидались. Расмотрим эти условия последовательно. Условие отсутствия скольжения имеет вид
   $$F_{\text{тр}} < \mu N_1.$$
   Тогда получаем
   $$N = \frac{1}{2}mg \left( tg \alpha - \frac{a}{b} \right) < \mu mg,$$
   и
   $$\alpha < \arctg \left( \frac{a}{b} + 2\mu \right).$$
   (1)
   Отсутствие опрокидивания правого бруска (брусок не встает вертикально) эквивалентно условию $N > 0$, т. е.
   $$\frac{1}{2}mg \left( tg \alpha - \frac{a}{b} \right) > 0,$$
   что дает
   $$\alpha > \arctg \frac{a}{b}.$$
   (2)
   Чтобы найти отсутствие отсутствия опрокидивания левого бруска, рассмотрим предельный случай начала опрокидивания. В этом случае сила реакции $N_1$ приложена к левой стороне основания, и условия равновесия моментов сил имеет вид
   $$Nb \cos \alpha = \frac{1}{2}mg.$$

Опрокидывания не будет при
$$Nb \cos \alpha < \frac{1}{2}mg,$$
или
$$\frac{1}{2}mg \left( b \sin \alpha - a \cos \alpha \right) < \frac{1}{2}mg,$$
откуда
$$\alpha < 2 \arctg \frac{a}{b}.$$
(3)

Совместное выполнение условия (1)—(3) приводит к ответу
$$\arctg \frac{a}{b} < \alpha < \min \left\{ 2 \arctg \frac{a}{b}; \right.$$
$$\arctg \left( \frac{a}{b} + 2\mu \right) \}.$$
2. Из рисунка к условиям задачи видно, что искомая работа равна
$$A = A_{23} - A_{41} = \left( p_2 - p_1 \right) \left( V_4 - V_1 \right) = R \left( T_3 - T_4 - T_2 + T_1 \right).$$
Использование задачи и уравнения состояния идеального газа, получим
$$T_2 = T_4 = \sqrt{T_1 T_3}.$$
Тогда окончательно
$$A = R \left( T_1 - 2\sqrt{T_1 T_3} + T_3 \right) = R \left( \sqrt{T_3} - \sqrt{T_1} \right)^2.$$
3. В любой момент времени направление на резисторе равно напряжению на катушке индуктивности, которое по величины совпадает с ЭДС самонидукими в катушке. Поэтому сила тока в резисторе
$$I_R = \frac{U_R}{R} = \frac{L}{R} \frac{\Delta I_L}{\Delta t},$$
где $I_L$ — сила тока в катушке. За малый промежуток времени $\Delta t$ через резистор прошедший заряд
$$\Delta Q = I_R \Delta t = \frac{L}{R} \Delta I_L.$$
В начальной момент времени $I_L = 0$, устанавливается ток в катушке $I_L = \mathcal{E}/r$, поэтому полный промежуток заряд
$$Q = \frac{L}{R} I_L = \frac{\mathcal{E} L}{R r}.$$
4. $\Gamma = 2\Gamma_1 \Gamma_2 / (\Gamma_1 + \Gamma_2).$

77

Вариант 2

1. Силы, действующие на системе, приведены на рис. 12. Условия равновесия системы записьются в виде
   $$N \cos \alpha + F_{\text{tp}} \sin \alpha = (M + m)g,$$
   $$N \sin \alpha + N_1 = F_{\text{tp}} \cos \alpha,$$
   $$M g l \cos \alpha = \frac{N a}{\cos \alpha}.$$
   Условие отсутствия скольжения стержня $F_{\text{tp}} < \mu N$ дает
   $$(M + m)g < N(\cos \alpha + \mu \sin \alpha),$$
   или
   $$\left(\frac{m}{M} + 1\right) < \frac{l}{a} \cos^2 \alpha(\cos \alpha + \mu \sin \alpha).$$
   Сторожь не будет поворачивать вправо, если $N_1 > 0$, т. е.
   $$1 + \frac{m}{M} > \frac{l}{a} \cos \alpha.$$
   Учитывая очевидное условие $l \cos \alpha > a$, получим ответ в форме цепочки трех неравенств:
   $$1 < \frac{l}{a} \cos \alpha < 1 + \frac{m}{M} < \frac{l}{a} \cos^2 \alpha(\cos \alpha + \mu \sin \alpha).$$
   Для одновременного выполнения двух последних ограничений необходимо, чтобы
   $$\cos \alpha(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) > 1,$$
   т. е.
   $$\mu > tg \alpha.$$
   Если же $\mu < tg \alpha$, равновесие невозможно.
2. Колчество теплоты, полученное в цикле $1-2-3-1$ и $1-2-3-4-1$, одно и то же, а работа в первом цикле вдвое меньше, чем во втором, поэтому
   $$\eta_I = \eta/2.$$
   Количество теплоты, полученное в цикле II, равно количество теплоты, отданному в цикле I, поэтому
   $$Q_{II \text{ пол}} = Q_{1-3} = Q_{1-2-3} - A_I = Q_{1-2-3}(1 - \eta_I).$$
   Работа $A_{II}$ равна $A_I$. Следовательно,
   $$\eta_{II} = \frac{A_{II}}{Q_{1-3}} = \frac{A_I}{Q_{1-2-3}(1 - \eta_I)} = \frac{\eta}{1 - \eta_I} = \frac{\eta}{2 - \eta}.$$
3. Заряд, который пройдет по цепи, $q = C\mathcal{E}$. Работа источника $A = q\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2$. Энергия конденсатора в конце зарядки $W = 1/2 C\mathcal{E}^2$. Разность $A - W$ есть количество теплоты, выделившееся в схеме. Учитывая что сопротивления $R$ и $r$ включены последовательно, найдем количество теплоты, выделившееся в резисторе:
   $$Q = \frac{1}{2} \frac{R C\mathcal{E}^2}{(R + r)}.$$
4. $\gamma = \Gamma_1 \Gamma_2$.
   Вариант 3
5. Время движения всего поезда
   $$t = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2 t_2}.$$
   Общество вагонов (по исходным данным)
   $$n = \left(\frac{t_1^2 + t_2^2}{2 t_1 t_2}\right)^2,$$
   и это число, разумется, должно быть целым. Безукоризненный ответ, следовательно, выглядает так:
   если исходные данные таковы, что $((t_1^2 + t_2^2)/(2 t_1 t_2))^2 \in \mathbb{N}$, искому время $t = (t_1^2 + t_2^2)/(2 t_2)$;
   если $((t_1^2 + t_2^2)/(2 t_1 t_2))^2$ не является целым числом, задача решения не имеет.
6. $A = R(T_1 + T_2 - 2\sqrt{T_1 T_2})$. Указание: изображение указанной процессей в координатах $p, V$.
7. Простейшая схема изображения на рисунке 13. Она удовлетворяет условиям задачи, если ЭДС источника
   $$\mathcal{E} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}}{2}} RP$$
   и его внутреннее сопротивление
   $$r = \frac{R}{\sqrt{2}}.$$
8. $S_1 S_2 = 2a \cos \alpha$.
   Ленинградский политехнический институт М. И. Калинина
   Математика
   Вариант 1
9. $\log_2 (6/5)$.
10. $1/36 < x < \sqrt{6}$.
11. 9. Указание. Первые три члена процессей представьте в виде $aq^{-1}$, $a, aq$.
12. $(0; \frac{\pi}{3}) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$. Указание. Первые процессей в равносильное ему неравенство $2x \left(\cos x - \frac{1}{2}\right) > 0$. Изучите знаки функций $sin 2x$ и $cos x - \frac{1}{2}$ на промежутке $0 < x < \pi$.
13. $6/5$. Указание. Пусть радиус шара равен 1, а высота конуса $x$. Тогда $\frac{R S}{V} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \times (2x - x^2) \sqrt{x}; x \in [0; 2]$. Изучая с помощью произвольной множества функций $f(x) = \frac{3\sqrt{2}}{4} (2x^3 - x^5/2)$ на отрезке $0 \leq x \leq 2$, убедитесь, что функция $f(x)$ принимает свое наибольшее значение, равное $\frac{36\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$, в точке $x = \frac{6}{5}$.
    Вариант 2
14. $\{5^2/5; 5\}$.
15. $\pi k + \arctg \frac{1}{3}, \pi k - \arctg \frac{1}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
16. $(-5/3; 2/3) \cup (6/7; 4)$. Указание. Возведение объекта неравенства в квадрат, затем пересечение правую часть налево и разложите на множители разность квадратов.

78

4. $r = \frac{\sqrt{21} - 3}{16} R$. Указание. Центры обеих окружностей и точка их касания лежат на одной прямой.

5. $\{-2; \frac{33}{16}\}$. Указание. Так как $A \neq 0$, $C \neq 0$, должно быть
   $$\frac{\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{C}\right)x + \frac{B-1}{AC}}{x^2 + \left(\frac{B}{A} - \frac{1}{C}\right)x - \frac{B}{AC}} = \frac{3x - \frac{3}{2}}{x^2 - \frac{7}{4}x + \frac{D}{4}}.$$
   Если две функции тождестенно равны, то равны их значения в любой точке из области определения. Выбирая произвольно эти точки, можно составить систему из четырех уравнений для нахождения $A, B, C, D$. Однако удобнее построить иначе. Обе дроби определены в виде, кроме корней знаменательей, а коэффициенты приведенных квадратных трехчленов, стоящих в знаменательях, однозначно выражаются через эти корни по теореме Виета, и потому соответственно равны. Следовательно,
   $$\frac{B}{A} - \frac{1}{C} = -\frac{7}{4}; -\frac{B}{AC} = \frac{D}{4}.$$
   Так как знаменатель равных дробей равны, равны и их числители. Приравнивая значения числителей при $x=0$ и $x=1$, получим $\frac{B-1}{AC} = -\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{A} + \frac{1}{C} = 3$. Решая полученную систему, найдем два значения $D$.

Физика

1. $F_{\min} = mg \frac{\mu \cos \alpha}{2(\cos \alpha - \mu \sin \alpha)}$.
2. $x_{\min} = l(T - 3mg)/(T - mg)$.
3. $F_{\min} = \mu g(m_1 + m_2/2)$.
4. $T \geq \frac{p_0 V T_0 M}{p_0 V M - m R T_0} \approx 548 \text{ K}$.
5. $m = m_0 \frac{M(p_0 + \rho gh)}{ρRT - M(p_0 + \rho gh)} \approx 0,6 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$;
   равновесие неустойчивое.
6. $r_{\min} = \frac{r}{1 + \frac{m_1 m_2(v_1 + v_2)^2}{(m_1 + m_2)kq_1 q_2}}$.
   Указание. При $r = r_{\min}$ относительная скорость зарядов равна нулю.
7. $q = \varepsilon_0 SE = 8,85 \cdot 10^{-11} \text{ KJ}$.
8. $\alpha_{\min} = \arcsin (n/k^{N-1})$.
9. $x = R/(n-1)$.
10. $L_{\max} = hc(\lambda_{\max} - \lambda)/(eE \lambda_{\max} \lambda) \approx 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ m}$.

Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленинна)

Математика

Вариант 1

1. a) $x = (1 \pm \sqrt{5})/2$. Указание. Выполните замену $y = x^2 - x$.

6. max $f(x) = f(1/2) = 35/16$. Указание. Поискльку $y \geq -\frac{1}{4}$, наиболее значения функции $f$ достигается при $y = -1/4$, т. е. при $x = 1/2$.
   b) 1 корень при $a = 39/16$, 2 корня при $a < 39/16$, нет корней при $a > 39/16$. Указание. Расмотите систему $S(y) = y + a$, $y \geq -1/4$.

2. a) $|\cos \alpha| + |\cos \left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)|$. Указание. $AK = AC|\cos \alpha| = |\cos \alpha|$, $CL = AC|\cos \angle ACL| = |\cos \left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)|$.

6. $\frac{\pi}{3} - \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3} + \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$. Указание. Расмотите 3 случая: $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{6}\right)$, $\alpha \in \left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right)$, $\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right)$.
   b) См. рис. 14.

3. a) $\sin f(x) = f(1) = -1$.

6. 2 корня. Указание. Функция $f$ убивает при $x < 1$ и возрастает при $x > 1$.
   b) $a = 1 \pm \sqrt{5}$.
   r) $-2 \leq x \leq 2$. Указание. Уравнение $x^4 - 2ax + a^2 - 2 = 0$ квадратное относительное $a$, поэтому $a = x \pm \sqrt{2 + x^2 - x^4}$. Неотрицательность дискрипмината ознакомлена, что $|x| \leq 2$.

Вариант 2

1. a) $x > 3$.

6. min $f(x) = f(1) = \sqrt{2} - 1$.
   b) 1 корень при $a < 1$ и $a = 5/4$, 2 корня при $a \in [1; 5/4)$, нет корней при $a > 5/4$. Указание. Выполните замену $y = \sqrt{x + 1}$, получите квадратное уравнение $y^2 - y + a - 1 = 0$. Остатся вычисить, при каких $a$ у этого уравнения есть неотрицательный корень.

2. a) Указание. Приимените теорему косинусов к треугольникам $MAC$ и $MAB$.

6. Корней нет.
   b) $3\sqrt{2}/2$.

3. a) $S(a) = |6a^2 + 6a + 1|$. Указание. Пусть $D = \text{середина отрезка } AC$, тогда $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot BD = S_{ADC}$, открывающая $S_{ABC} = BD = \left| f(a) - \frac{f(a + 1) + f(a - 1)}{2} \right| = |6a^2 + 6a + 1|$.

6. $-1/2, (-3 \pm \sqrt{6})/2$.

79

в) Нет корней при $b < 0$; 2 корня при $b = 0$ и $b > \frac{1}{2}$, 3 корня при $b = 1/2$, 4 корня при $0 < b < 1/2$.

Физика

1. $R = lv_1 / (v_1 - v_2) = 0,6$ м; $\omega = v_1 / R = 10$ с$^{-1}$.
2. $E_k = m(gH + v_0^2 / 2) = 250$ Дж; $v_h = \sqrt{2(E_k - mgh) / m} = 17,3$ м/c.
3. $F_\pi = 0,4mg = 400$ Н; $F_\pi = 0,6mg = 600$ Н; $F_{\min} = mg / 3 = 333$ Н.
4. $l_1 = \Delta ln_2^2 / (n_1^2 - n_2^2) = 0,09$ м; $l_2 = l_1 + \Delta l = 0,25$ м; $T_1 = 2\pi \sqrt{l_1 / g} = 0,6$ с; $T_2 = 2\pi \sqrt{l_2 / g} = 1$ с.
5. $p_2 = p_1(1 - k)T_2 / T_1 = 56$ кПа.
6. $\Delta T = MA / (mR) = 40$ К; $Q = A + (3/2) \times (m/M)R \Delta T = 2,5$ кДж;
   здеся $M = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль — молярная масса гелия.
7. Искомая точка нахождения на прямой, проходящей через заряды, и отстояит от заряда $q_2$ на $x = l / \sqrt{q_1 / |q_2|} - 1 = 0,24$ м, а от заряда $q_1$ — на $x + l = 0,34$ м.
8. $r = R^2 / R_V = 0,1$ Ом.
9. $\delta = 90^\circ - \arcsin (1/n) = 41^\circ$.
10. $f = d\sqrt{k} = 2,5$ м; $F = df / (d + f) = 0,23$ м.

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена
Математика

1. Указание. Превратите произведение снусов в разность косинусов.

2. а) {2; 2}; 6) {1; 5}; в) {1, 5}; r) $\left\{\frac{1}{3}; 9\right\}$.

3. а) $\left[ -\frac{10}{13}; 2(\cup [3; \infty); 6) \left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right); \right.$ в) $(0; 4); r) (-\infty; 2)$.

4. $\left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup (1; \infty)$.

6. $\frac{(a^2 - b^2) \sqrt{3}}{4 \cos \varphi}$.

7. $\frac{\pi a^3}{24} \sin^3 \alpha \cdot \mathrm{tg} \beta$.

8. $\frac{3\sqrt{3}}{16} d^3 \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha$.

9. $6\sqrt{3}b^3 \mathrm{tg} \beta$.

10. $\frac{1}{2}$.

11. а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; 6) $\left\{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right\}$;
    b) {2}.

12. а) $\left(1; \frac{3}{2}\right); 6) (2; \infty); \text{в} 1; \infty)$.

13. а) $(- \infty; -1) \cup (1; 2) \cup (2; 3); 6) (-1; 2)$;
    b) $\left(\frac{1}{2}; 4\right)$.

14. $\sqrt{7}$.

15. Среди равноведенных треугольников с данной боковой стороны $a$ набольшую площадь имеет прямогнутый равноведенный треугольник с боковой стороны $a$.

16. $\frac{1}{3} P \cdot \cos \beta \sqrt{\frac{P \cdot \sin \beta}{\pi}}$.

17. $\frac{3a^2 \sqrt{2}}{2} + a^2$.

18. 65$\sqrt{3}$.

О давлении
(см. «Квант» № 3)

1. Медведь оказывает на снег меньше давления, чем лось: у медведя лапы широкие, ширие, чем копыта у лося, а вес у них примерно один и тот же.
2. На небольших высотах над уровнем моря можно считать, что давление уменьшается на 1 мм рт. ст. при подьеме на каждые 12 м. Исподия из этого вычислим, на сколько уменьшается давление при подьеме на 7500 футов. Учитывая, что 1 фут ≈ 0,3 м, находим $\Delta p \approx \frac{(7500 \cdot 0,3) \mathrm{m}}{12 \mathrm{m/mm} \mathrm{pt. ct.}} \approx 187 \mathrm{mm} \mathrm{pt. ct.}$.
   Если у поверхности земли (на уровне моря) давление было нормальным, то на высоте 7500 футов барометр показал (760—187) мм рт. ст. = 573 мм рт. ст.

Бросается в глаза несоответствие между давлением воздуха (0,495 мм рт. ст.) и высотой (11 700 футов), на которой находится путь шествования. Очевидно, в цитруемой книге (Ж. Верн. Дети капитана Гранта. — Л.: Детская литература, 1985, с. 86) допущена опечатка.
3. Махотка действовала подобно медицинской банке. При нагревании часть воздуха из_maxотки вышла; по мере остывания давление воздуха в закрытой_maxотке падало, стало меньше атмосферного; поэтому мягкий живот «втяжную» внутри сосуда.
Когда_maxотку разбили, окружающий воздуха устремился к разбитому сосуду, в области понженного давления.
4. Давление на глубине определяется преимущественно высотой воды. Плотность воды почти не зависит от величины внешнего давления (вода практической несжимаема).
5. Если вы не можете сами ответить на поставленные вами вопросы в редакцию — мы постараемся ответить на них.
6. Воздуший фронт, приносящий ненатуральную погоду, — это, как правило, влажный воздуха. Плотность влажного воздуха меньше, чем сухого. Поэтому к нейстоят атмосферное давление уменшается (барометр «падает»).
7. Дым от костра поднимается вверх за счет архимедовой силы. При надвижении воздуха фронта, приосщено с собой дждь, давление падает — уменшается плотность воздуха. Это приводит к уменьшению архимедовой силы.

80

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян

Заместители главного редактора:
В. Н. Боровищки, А. А. Варламов,
В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция:
А. А. Абрикосов, М. И. Башмаков,
В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский,
А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов,
Н. В. Васильев, С. М. Воронин,
В. В. Гнеденко, Н. П. Долбилин,
В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков,
А. Р. Зильберман, С. М. Козел,
С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Леонович,
С. П. Новиков, Т. С. Петрова, М. К. Потапов,
В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов,
А. П. Савин, Я. А. Смородинский,
А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 3)

1. Не может. Одна из сумм обязательно является четным числом, а произведение — нечетно.
2. См. рис. 15.
3. Это можно сделать разными способами, например так: 458—45—90—9—18—36—72—7—14.
4. Нет. Решение. Сначала заметим, что цифры 5 и 7 должны стоять и слева, и справа, поэтому $A \cdot H = 5 \cdot 7$. Из того, что оставшиеся произведения равны, следует, что степень числа 2 в этих произведения равны, но множество 2 среди чисел от 1 до 9 встречается 7 раз, поэтому он не может быть одинаковое число раз слева и справа.
5. См. рис. 16.

Редакционный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беллев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченko, В. В. Воздвиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erpmолаева, Ю. В. Иванов, В. А. Кирилин,
Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Orлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, А. Л. Стасенко,
И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. И. Буздин, А. Н. Виленкин, А. А. Егоров, Л. В. Кардасевич, И. Н. Клумова, Т. С. Петрова, С. Л. Табачников, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
М. В. Дубах, С. В. Иванов, Н. С. Кузьмин, С. Ф. Лухин, Э. В. Назаров, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, П. И. Чернуский, В. В. Юдин

Фото представили:
А. А. Новожилов, И. В. Тугов, Фотохроника ТАСС

Редактор отдела художественного оформления
С. В. Иванов
Художественный редактор Т. М. Макарова
Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Корректор Н. Д. Дорохова

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант», тел. 250-33-54

Сдано в набор 25.01.89. Подписано к печати 13.03.89. Т-08940. Формат 70×100/16. Бумага офс. № 1. Гарнитура школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 6,45. Усл. кр.-отт. 27,09 Уч.-изд. л. 8,30. Тираж 189232 экз. Заказ 58

Цена 45 коп.

Ордена Трудового Красного Заменини
Чеховский полиграфический комбинат
Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области