Производная сложной и обратной функций

36

Математика 8, 9,10

Публикуемая статья предназначаемая для девятиклассников и десятиклассников.

Производная сложной и обратной функций

Из школьного учебника вам известны две интерпретации производной функции — геометрическая и механическая*). Вы знаете, что существование производной функции $f$ в точке $x$ эквивалентно существование невертикальной касательной в точке $(x; f(x))$

графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен $f'(x)$. Кроме того, вы знаете, что производная от координаты по времене есть мгновенная скорость. Сейчас мы познакомим вас еще с одной интерпретацией производной. С ее помощью мы проиллюстрируем формулы для производных сложной и обратной функций.

Производная — это коэффициент растяжения

Нарисуем две числовые прямые — синою и красную. На одной из них — синей — будем откладывать значения аргумента, а на другой — красной — соответствующие значения функций (в том же масштабе).

На рисунках 1 и 2 изображено, что получается для функций $f(x)=3x+1$ и $g(x)=x^3$. Как видно из рисунка 1, функция $f(x)=3x+1$ переводит отре-

*) См. учебное пособие для 9—10 классов «Алгебра и начала анализа» (М., Просвещение, 1988, pp. 22—24).

37

зок [−1; 0] в отрезок [−2; 1], отрезок [0; 1] — в отрезок [1; 4], отрезок [1; 2] — в отрезок [4; 7], и т. д. Во всех этих случаях длина отрезка увеличивается в 3 раза. Это и не удивительно: ведь отрезок [a; b] наша функция переводит в отрезок [3a+1; 3b+1].

Так что функция $f(x)=3x+1$ длинны всех отрезков числовой оси изменяет одинаково: умножает на 3. (Аналогическое замечание имеет место для любой длиной новой функции.)

Из рисунка 2 видно, что (не линейная) функция $g(x)=x^3$ растяивает отрезки, расположенные в разных местах числовой оси, уже по-разному: например, отрезок [0,8; 0,9] — в 2,2 раза, а отрезок [1,1; 1,2] — в 4 раза. Стало быть, бессмысленно спрашивать, во сколько раз $g$ растяивает отрезки, расположенные на числовой оси $b\ell n\zeta$ данной точки. Например, в близки точки $x=1$. Начнем с отрезков длиной 0,1: отрезок [0,9; 1] увеливается в 2,7 раза, а отрезок [1; 1,1] — в 3,3 раза. Возьмем отрезки корочие — [0,99; 1] и [1; 1,01]. Имеем: $0,99^3\approx 0,97,1,01^3\approx 1,03$ (мы оставляем два знака после запятой). Стало быть, отрезок [1; 1,01] растяивается в $\frac{1,01^3-1^3}{1,01-1}\approx 3$ раза; аналогично отрезок [0,99; 1] растявается в $\frac{1^3-0,99^3}{1-0,99}\approx 3$ раза. Если мы будем брать еще более короткие отрезки, содержащие точку 1, то коэффициент растяжения будет еще ближе к 3. Итак, функция $g(x)=x^3$ растяется:

$$\frac{1,01^3-1^3}{1,01-1}=3$$

Грис. 2.

Грисает отрезки, близкие к точке 1, примерно в 3 раза. Чем близke отрезок к точке $x=1$, тем близke к 3 коэффициент растяжения в точке $x=1$.

А теперь заметим, что для любой (дифференцируемой) функции $f$ коэффициент растяжения маленьких отрезков, близких к точке $x$, есть не что иное, как производная $f$ в точке $x$. В самом деле, если точка $x_1$ близка к $x$, отрезок $[x; x_1]$ переходит в отрезок $[f(x); f(x_1)]$, и коэффициент его растяжения есть $\frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}$, а это — то самое выражение, которое используется при определении произвольной функции в точке $x$ (в заменателе стоит приращение аргумента, в числитель — приращение функции). Когда $x_1$ стремится к $x$ (отрезок укорочивается), это отношение стремится к $f'(x)$.

Проверим наш выбор на функции $g(x)=x^3$. Как вы знаете, $g'(x)=3x^2$, так что $g'(1)=3$; это совпадает с коэффициентом растяжения, который мы нашли приближенным путем.

В наших примерах коэффициент растяжения, т. е. производная, был больше единицы; если коэффициент растяжения меньше единицы, но положитель, то отрезки, близкие к данной точке, не растяжаются, а скимиются (их длинны умножаются на число, меньше 1); если $f'(x)<0$, то отрезки «переворачиваются»: левый конец отрезка [a; b] переходит в правый конец отрезка $[f(b); f(a)]$. Это и не удивительно: где производная отрицательна, там функция убивает, так что из $a<b$ следует, что $f(b)<f(a)$.

38

Итак, основной выбор этого пункта: маленькие отрезки, близкие к точке $x$, растяиваются функцией $f$ с коэффициентом, близким к $f'(x)$. Чем близке отрезок к точке $x$, тем близке коэффициент к $f'(x)$. Всюду в дальнейшем мы будем для краткости опускать эти разъяснения и писать фразы вроде «функция $f(x)=x^3$ растяивает отрезки, близкие к точке 1, в 3 раза». Надеемся, что вас это не смутит.

Композиция функций (сложная функция)

Возьем функцию $f(x)=\sqrt{x^3}+1$. Она переводит точку $x$ в точку $\sqrt{x^3}+1$. Этот перевод можно осуществить в два этапа: сначала точку $x$ перевести в точку $t=x^3+1$, а затем точку $t$ перевести в точку $\sqrt{t}$. Рассмотрим функции $g(x)=x^3+1$ и $h(t)=\sqrt{t}$. Тогда получится, что $f(x)=h(g(x))$. Иногда это записью так: $f=h\circ g$ и говорят, что $f$ — композиция функций $h$ и $g$. Про запись $f(x)=h(g(x))$ говорят также, что $f$ записана в виде сложной функции.

Если воспользоваться нашим схематическим изображением функций, получится то, что изображено на рисунке 3. (По-прежнему значения $x$ — на синей оси, значения $f(x)$ — на красной.)

Как вычислить произвольную сложной функции

Рассмотрим все ту же функцию $f(x)=\sqrt{x^3}+1$ и найдем ее произвольную в точке $x=2$. Мы уже знаем, что произвольная в точке $x=2$ — это коэффициент растяжения близких к точке 2 отрезков при перехождение с синей оси на красную (рис. 3). По дороге с синей оси на красную отрезок попадает, однako, на зеленую ось, где его длина умножается на $g'(2)=12$; при перехождение с зеленой на красную ось длина полученного отрезка умножается, в свою очередь, на $h'(g(2))=h'(9)=\frac{1}{6}$; всего, стало быть,

39

длина отрезка умножится на $12 \cdot \frac{1}{6} = 2$, так что $f'(2) = 2$.

Повторяя то же рассуждение для любой точки $x$, мы получим такое правило:

$$\text{если } f(x) = h(g(x)), \\ \text{то } f'(x) = g'(x) \cdot h'(g(x)).$$

Это же, разумеется, верно для любых функций $h$ и $g$.

В нашем случае, когда $h(t) = \sqrt{t}, g(x) = x^3 + 1, f(x) = \sqrt{x^3 + 1}$, получаем

$$f'(x) = 3x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}}.$$

Итак, мы получили известную вам из учебника формулу для произвольной сложной функции. Можно записать аналогичную формулу и для случая, когда $f$ — комплексная не двух, а трех, четырех и т. д. функций.

Обратная функция

На рисунке 4 изображена уже приведенным нам способом функция $f(x) = x^3 + 1$. Сплошные стрелки на этом рисунке показывают, как точки $x$ с ней оси переводятся в точки $y = x^3 + 1$ красной оси. А теперь представим себе, что рисунок 4 задает закон, по которым, наоборот, точки с красной оси переводят на синюю (стрелки, идущее вверх на рисунке)— точки $y = x^3 + 1$ переводят в точки $x$. Можно выразить $x$ через $y$ формулой $x = \sqrt[3]{y - 1}$. Получилось описание новой функции. Обозначим ее буквой $g$: $g(y) = \sqrt[3]{y - 1}$. Функция $g(y) = \sqrt[3]{y - 1}$ называется обратной к функции $f(x) = x^3 + 1$. Заметим, что в формуле, определяющей функцию $g$ (как и вообще во всякой формуле, определяющей функцию), неависимую переменную $y$ можно обозначить любой буквой. Можно например, записать $g(t) = \sqrt[3]{t - 1}$ или даже $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$.

Заметим еще, что не у всякой функции существует обратная. Возьмем, например, функцию $f(x) = x^2$. Эта функция переводит и точку 2, и точку (-2) в точку 4. Если $g$ — обратная