Новые приближения числа π

29

Быстродействие галогеносеребряных стекол для солнецащитных очков измеряется минутами. При такой скорости реакции изменение окружки фотохромного костюма не поспевало бы за изменениями освещности, возниккаошими при движении. Но в более совершенных фотохромных системах — например, в стеклах очков для защиты глаз от вспышки, сопровождающей ядерный взрыв, — продолжительность реакции уменьшается до микросекунд. Системы с подобными свойствами прекрасно подошли бы для фотохромного костюма.

Роль светотенения в зрительном восприятии подробно обсуждалась Дж. Беком (Scientific American, Aug. 1975, p. 62); объект, не подчиняющийся общным законом распределения света и тени, очень трудно, а порой невозможно распознать, как бы пристальное мы ни разглядывали его. Глаз не в состоянии определить фактуру поверхности и форму без привычных переходов светотенения. Представьте себе теперь комнату, стены, пол и потолок которого оклеены фотохромными обоями. Каким бы ярким ни было освещение, любой фотохромный объект, помещенный в эту комнату, оказется невидимым, поскольку между ним и фоном не будет контраста. Какой простор для иллюзии!

Новые приближения числа π

Читательм «Кванта» хорошо известно, что задача о квадратуре круга, т. е. построения квадрата, равновелюкого данному кругу, неразрешима посредством циркуля и линейки. Это означает, что, расположая единичным отрезком, невозможно построить отрезок длиной π. Поэтому задача построения отрезков, длины которых хорошо приближают число π≈3,1415926…, давно интересует математиков.

Вот несколько классических приближений π:

22/7=3,1428571… (Архимед, 287—212 гг. до н. э.);
355/113=3,1415929… (А. Меций, Голландия, 1543—1620);

$$\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3,1415333$$

(A. Коханский, Польша, 1631—1700);

$$\sqrt{9-3\sqrt{6}}+\sqrt{1+\sqrt{6}}=3,1423991$$

(J. Маскерони, Италия, 1750—1800).

Оцените сами точность этих приближений и подумайте, как построить соответствующие отрезки циркуля и линейкой.

Вот несколько приближений π, найденных автором:

$$\sqrt{145}-8,9=3,1415945$$;

$$5\sqrt{2}/2-13/33=3,1415945$$;

$$\sqrt{7\sqrt{2}}=3,1463462$$;

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=3,1462643$$;

$$10\sqrt{2}-11=3,1421356$$

А следующее два приближения π имеют «рекордную» точность:

$$\sqrt{399550}-22=3,1415926$$

$$\sqrt{97+9/22}=3,1415926$$

Несмотря на «ужасающий» вид, соответствующие отрезки нетрудно построить. Подсказка к построению первого отрезка — в равенстве:

$$\sqrt{399550}=\sqrt{5}\sqrt{11^2+1^2}\sqrt{11^2+3^2+1^2}$$

(J. П. Купцов