Средние линии

Квант 1989, №6 с. 46, 48, 49, 50, 51 Тег BCHK

Средние линии

В. Н. ВАГУТЕН

В этой статье обсуждается целочка теорем, произвивающая весь школьный курс геометрии — от 6-го до 10-го класса. Она начинается с теоремы о средних линии треугольника и приводит к интересным свойствам tetraэдра и других многогранников.

Треугольник, четырехугольник, параллелограмм

К любому треугольнику KLM можно пристроить три равных ему треугольника AKM, BLK, CLM, каждый из которых образует вместе с треугольником KLM параллелограмм (рис. 1). При этом AK=ML=KB, и к вершине K примыкают три угла, равные тем разным углам треугольника,

в сумме составляющие 180°, поэтому K — середина отрезка AB; аналогично, L — середина отрезка BC, a M — середина отрезка CA.

Ту же самую картину мы можем получить, начав с большого треугольника ABC.

Теорема 1. Если соединить в любом треугольнике середины сторона, мы получим четырех равных треугольника, причем средний составляет с каждым из трех других параллелограмм.

В этой формулировке участвует сразу все три средние линии треугольника. Obviously в учебнике приводится теорема, где речь идет об одной средней линии.

Теорема 2. Отрезок, соединящий двех сторона треугольника, параллелен треугольнике треугольника и равен ее половине (см. рис. 1).

Именно эта теорема и обратная к ней — о том, что прямая, парал-

Такой пространственный четырехугольник можно получить, вырезав из бумаги четырехугольник ABCD и согнув его по диагонали под некоторым углом (рис. 6, а). При этом ясно, что средние линии KL и MN треугольников ABC и ADC остаются по-прежнему их средними линиими и будут параллельны отрезку AC и равны AC/2. (Здесь мы используем тот факт, что для пространства остается верным основное свойство параллельных прямых: если две прямые KL и MN параллельные третьей прямой AC, то KL и MN лежат в одной плоскости и параллельные между собой.)

Таким образом, точки K, L, M, N — вершины параллелограмма; тем самым отрезки KM и LN пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Вместо четырехугольника здесь можно говорить о tetraэдре — треугольной парамиде ABCD: середины K, L, M, N его ребер AB, AC, CD и DA всегда лежат в одной плоскости. Разрезав tetraэдр по этой плоскости (рис. 6, б), мы получим параллелограмм KLMN, две стороны которого параллельны ребру AC и равны AC/2, а две другие — параллельные ребру BD и равны BD/2.

Такой же параллелограмм — «среднее сечение» tetraэдра — можно построить и для других пар противоположных ребер. Каждый из этих трех параллелограммов имеет общую диагональ. При этом середины диагоналей совпадают. Итак, мы получаем интересное следствие:

Теорема 6. Три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер tetraэдра, пересекаются в одной точке и делятся его пополам (рис. 7).

Этот и другие обсуждавшие выше факты естественно obсяняются на языке механики — с помощью понятия центра масс. В теореме 5 говорится об одной из заменательных точек tetraэдrika — точке пересечения медиан; в теореме 6 — о заменательной точке для четверки вершин tetraэдра. Эти точки — центры масс соответствующего tetraэдра. Вернемся сначала к теореме 5 о медианах.

Поместим в вершинах tetraэдrika три одинаковых grуза (рис. 8). Массу

каждого примем за единцу. Найдем центр масс этой системы грузов.

Рассмотрим сначала два груза, находяшихся в вершинах A и B: их центр масс расположен в середине отрезка AB, так что эти грузы можно заменить одним грузом массой 2, помещенным в середину K отрезка AB (рис. 8, a). Тепер нужно найти центр масс системы из двух грузов: одного массой 1 в точке C и второго — массой 2 в точке K. По правилам рычага, центр масс такой системы находится в точке O, делящей отрезок CK в отношении 2:1 (ближе к грузу в точке K с большей массой — рис. 8, б).

Разумеется, мы могли сначала объединить грузы в точках B и C, а затем — полученный груз массой 2 в середине L отрезка BC — с грузом в точке A. Или сначала объединить грузы A и C, а затем присоединить B. В любом случае мы должны получить тот же результат. Центр масс находится, таким образом, в точке O, делящей какдую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.

Подобными сообщениями можно было объяснить и теорему 4 — тот факт, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырех одинаковых грузов — проходят еще четырех отрезка, соединяющих каждый из них с центром масс трех других. Эти четырех отрезка делятся точкой O в отношении 3:1. Чтобы объяснить этот факт, нужно сначала найти центр масс трех грузов и потом присоединить четырех отрезки.

Тетраэдр, октаэдр, паралелепипед, куб

В начале статьи мы рассмотрели треугольник, разбитый средними линиями на четыре одинаковых треугольника (см. рис. 1). Попробуем проделать то же построение для произвольной треугольной парамиды (тетраэдра). Распилим tetraэдр на части следующим образом: через середины трех ребер, выходящие из каждой вершины, проведем плоский разрез (рис. 11, а). Тогда от tetraэдра будет отрезано четыре одинаковых маленьких tetraэдра. По аналогии с треугольником можно было бы думать, что в середине остатся еще один такой же tetraэдр. Но это не так: у многогранника, который остатся от большого tetraэдра после удаления четырех маленьких, будет шесть вершин и восемь граней — он называется октаэдром (рис. 11, б). Удобно проверить это, используя кусок сыра в форме tetraэдра. Полученный октаэдр имеет центр симметрии, поскольку середины противоположных ребер tetraэдра пересекаются в общей точке и делятся его пополам.

С треугольником, разбитым средними линиями на четыре треугольника, связана одна интересная конструкция: этот рисунок мы можем рассмотреть как развертку некоторого tetraэдра.

Представим себе остроугольный треугольник, вырезанный из бумаги. Перегнуть его по средним линиям так, чтобы вершины совпались в одной точке, и скленв сходящееся в этой точке края бумаги, мы получим tetraэдр, у которого все четыре грани — равные треугольники; его противоположные ребра равны (рис. 12). Такой tetraэдр называется полуправным. Каждый из трех «средних сечений» этого tetraэдра — паралелограммов, стороны которых паралелены противоположным ребром и равны их половинам, — будет ромбом. Поэтому диагонали этих паралелограммов — три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер — перпендикулярны друг другу. Среди многочисленных свойств полуправного tetraэдра отметим такое: сумма углов, сходящихся в каждой его вершине, равна $180^\circ$ (эти углы соответственно равны углам исходного треугольника). В частности, если начать с развертки в форме равностороннего треугольника, мы получим равный tetraэдр, у которого все ребра равны.

В самом начале мы видели, что каждый треугольник можно рассматривать как треугольник, образованный средними линиями большого треугольника. При аналогии в пространстве для такого построения нет. Но оказывается, что любый tetraэдр можно рассматривать как

«сердцевину» паралелепипеда, у которой все шесть ребер tetraэдра служат диагоналями граней. Для этого нужно проделать следующие построение в пространстве. Через каждое ребро tetraэдра проведем плоскость, паралелную противоположную ребру. Плокости, проведенные через противоположные ребра tetraэдра, будут паралелны друг другу (они паралелны плоскости «среднего сечения» — паралелограмма с вершинами в серединах четырех других ребер tetraэдра). Так получаются три пары паралелных плоскостей, при пересечении которых образуется нужный паралелепипед (две паралелные плоскости пересекаются третьей по паралелным прямым). Вершины tetraэдра служат четырьмя несмежными вершинами построенного паралелепипеда (рис. 13). Наборот, в любом паралелепипеде можно выбрать (двумя способами) четыре несмежные вершины и отрезать от него плоскости, проходящими через каждые три из них, угловые tetraэдры. После этого остается «сердцевина» — tetraэдр, ребра которого являются диагоналями граней паралелепипеда. Попробуйте доказать, что каждая диагональ паралелепипеда (соединяющая две его противоположные вершины) пересекает грань tetraэдра в точке пересечения ее медиан, причем делится этой точкой в отношении 1:2.

Если исходный tetraэдр получивный, то каждая грань построенного паралелепипеда будет паралелограммом с равными диагоналями, т. е. прямогольником. Верно и обратное: «сердцевиной» прямогольного паралелепипеда служит получивный tetraэдр. При ромба — средние сечения такого tetraэдра — лежат в трех взаимоперендикулярных плоскостях. Они служат плоскости симметрики octaэдра, полученного из такого tetraэдра отрезанием углов.

Для правильного tetraэдра описанный вокруг него паралелепипед будет кубом (рис. 14), а центры граней этого куба — середины ребер tetraэдра — будут вершинами правильного octaэдра, все грани которого — правильные треугольники. (Три плоскости симметрики octaэдра пересекают tetraэдр по квадратам.)

Таким образом, на рисунке 14 мы видим сразу три из пятен платовых тел (правильных многогранников) — куб, tetraэдр и octaэдр. Существуют еще два таких тела: икосадр и дodeкадр. Но это уже — сложет другого расскада.

Избранные школьные задачи

(Начало см. на с. 45)

окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Пусть $p(x)=x^2+ax+b$ , где $a$ и $b$ — целые числа. Докажите, что найдется такое целое $N$ , что все числа $p(N+1), p(N+2), \dots, p(N+1989)$ — составные.
Известно, что $a<b<c$ . Докажите, что уравнение

$\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0$

имеетровно два решения $x_1, x_2$ , причем $a<x_1<b<x_2<c$ .

В tetraэдре ABCD углы ADB, ADC, BDC туples, а ребра AD, BD, CD равны по длине. Докажите, что треугольник ABC остроугольный.
Прямые, проведенные перпендикулярно граним tetraэдра через центры вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке. Докажите, что суммы длины противоположных ребер этого tetraэдра равны между собой.

Публикацию подготовили Л. Д. Курляндчик и Жorio ленинградской математической олимпиады