Задачи М2356—М2365; Ф2363—Ф2372

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №5-6–2014» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2356» или «Ф2363». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2357, М2358, М2360–М2364 предлагались на заключительном этапе XL Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2356–М2365, Ф2363–Ф2372

M2356. В клетку на клетчатой плоскости посадили вирус. Вирус живет одну минуту, через минуту он исчезает, но оставляет после себя потомство – в каждой из четырех клеток, соседних по стороне с его клеткой, появляется по новому вирусу. На рисунке показаны стадии размножения вирусов (количество и местоположение) в моменты времени t = 0, 1, 2, 3 мин. Вычислите количество вирусов в начальном поле при t = 10 мин. В.Расторгуев

M2357. Назовем натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа. Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими? О.Подлипский

M2358. а) Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность $\omega$ проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках $A_{1}, B_{1}$ соответственно. Точки $A_{2}$ и $B_{2}$ симметричны точкам $A_{1}$ и $B_{1}$ относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки $A, B, A_{2}$ и $B_{2}$ лежат на одной окружности. б) Сфера $\omega$ проходит через вершину S пирамиды

SABC и пересекает ребра SA, SB и SC вторично в точках $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с $\omega$ по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости ABC. Точки $A_{2}, B_{2}$ и $C_{2}$ симметричны точкам $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ относительно середин ребер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки $A, B, C, A_{2}, B_{2}$ и $C_{2}$ лежат на одной сфере. И.Богданов

M2359. На доске нарисован правильный 1001-угольник, вершины которого занумерованы числами 1, 2, ……, 1001. Из картона вырезали такой же правильный 1001-угольник. Можно ли в вершинах картонного 1001-угольника расставить числа 1, 2, …, 1001 (каждое число – по одному разу) так, чтобы при любом наложении 1001-угольников в какой-то вершине оказались равные числа (картонный многоугольник можно переворачивать)? В.Сендеров

M2360. В республике математиков выбрали число $\alpha > 2$ и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в $\alpha^{k}$ рублей при каждом натуральном k. При этом $\alpha$ было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз? И.Богданов, С.Берлов

M2361. Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся