Задачи 6—10

39

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: savin.contest@gmail.com (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2015 – некоторые из них красным маркером, остальные – синим. Наибольшее синее число равно количеству синих чисел, наименьшее красное число в два раза меньше количества красных чисел. Сколько красных чисел написано на доске? С. Дворянинов

7. В некоторые 15 точек окружности поставили по фишке. Фишки занумеровали числами 1, 2,…, 15 последовательно по часовой стрелке. За одну операцию разрешается переставить одну из фишек в любую точку окружности, в которой в этот момент нет фишки. За какое наименьшее количество операций можно добиться, чтобы фишки стояли в обратном порядке? Фольклор

8. Три положительных числа x, y, z таковы, что для любого треугольника со сторонами a, b, c существует треугольник со сторонами ax, by, cz. Найдите все такие числа x, y, z. С. Дворянинов

9. Из кубиков 1 ¥ 1 ¥ 1 сложен кирпич 6 ¥ 10 ¥ 15. Кирпич проткнули иглой вдоль его большой диагонали. Сколько кубиков проткнула игла? Фольклор

10. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках M и N. Через середину стороны BC проведена прямая $l_{A}$, перпендикулярная MN. Аналогично определяются прямые $l_{B}$ и $l_{C}$. Докажите, что прямые $l_{A}, l_{B}$ и $l_{C}$ пересекаются в одной точке. Р. Гордин

Как Бусенька училась умножать на одиннадцать

Д.КОХАСЬ, К.КОХАСЬ

БУСЕНЬКА ШЛА ПО ЛЕСУ И НЕОЖИДАННО ПОЧУВ- ствовала что-то необычное. Вернее сказать, не почувствовала, а унюхала. Запах был слегка кисловатый и немного страшный, с легкими цветочными оттенками. Бусенька подозрительно осмотрелась, еще раз принюхалась и с громким визгом бросилась к ближайшей березе. За березой послышалось шуршание, потом урчание, и из-за ствола выглянула симпатичная, но очень зубастая голова какого-то чудища. Монстропитек! – А, Горгулий, это ты. А я уж испугалась, – облегченно вздохнула Бусенька.

Эта статья публикована в журнале «Квантик» №9 за 2014 год.

– Да, это я, извините, – приветливо ответил Горгулий. – Не хотел вас пугать, но по-другому просто не умею. Мы, монстропитеки, ужасно страшные. – Да уж, – согласилась Бусенька. – Но вы еще при этом, как я знаю, очень умные. – Ужасно умные, – подтвердил Горгулий, – а еще мы ужасно вежливые. – Расскажи, Горгулий, как вы, ужасно умные и вежливые монстропитеки, обычно умножаете числа на 11, – попросила Бусенька. Горгулий поморщился. От этого пасть его слегка приоткрылась, и стало видно, что во рту у него не два, а скорее три ряда ужасно острых зубов. Или даже больше. – Не очень-то мы любим умножать на 11, – сказал

40

КВАНТ 2014/№5-6

Горгулий. – Мы вообще не очень любим умножать. Мы предпочитаем делить. – Но ведь умножение – это очень полезная операция, – не смотря на зубы, возразила Бусенька. – Полезная. Но деление все равно лучше. Чтобы умножить число на 11, мы поступаем так. Сначала мы его делим на 9. – Делите? На 9? – Да, на 9. Причем деление мы выполняем с точностью до двух знаков после десятичной запятой. Обратите внимание, мы не округляем частное, а просто отбрасываем все последующие знаки. – И при чем тут умножение на 11? – не поняла Бусенька. – При умножении на 11 число должно увеличиться, а вы делите – значит, оно уменьшается. – Нет, вы меня сначала дослушайте, – сказал Горгулий. – Я же описал только самый первый шаг. Давайте я лучше буду объяснять на примере. Что вам умножить на 11? – Умножь мне 25 на 11. – Хорошо. Первое действие я вам уже объяснил: делим 25 на 9 с двумя знаками после запятой, получаем 25: 9 = 2,77. Теперь второе действие: запоминаем целую часть. В нашем случае это 2. Дальше третье действие: берем частное и записываем его без десятичной запятой. Получается 277. И наконец, последнее, четвертое дейст-

вие – вычитаем из этого результата целую часть, которую мы запомнили на втором шаге. Получилось 275! – Не может быть, – сказала Бусенька, вытаращив свои и без того немаленькие глазки. – Это какое-то шаманство! – Это наиужаснейшее монстрошаманство! – гордо подтвердил Горгулий. – Но вы можете и сами попробовать. – Хорошо. Умножим 90 на 11. Для этого сначала делим 90 на 9 – получается 10. Дальше… – Нет-нет, – вмешался Горгулий, – нужно оставить два знака после запятой. У вас разделилось нацело, значит, после запятой нули. Получается 10,00. – Ага, 10,00. Целая часть – это 10. Теперь пишем предыдущий результат без запятой – 1000 – и вычитаем целую часть, которую запомнили, то есть 10, получается 990. Вау!!! А на другие числа вы тоже так странно умножаете? – Во-первых, не странно. Во-вторых, умножаем и на другие числа. Это любой монстропитенок умеет. – Умножь мне 1000 на 137! – Запросто. Делим 1000 на 73 с четырьмя знаками после запятой… – На 73? – недоверчиво залепетала Бусенька. – С четырьмя знаками?? – С четырьмя, с четырьмя. Вот смотри, 1000: 73 = = 13,6986301… Оставляем четыре цифры после запятой, получается 1000: 73 = 13,6986… Целую часть запоминаем – это 13. Пишем частное без запятой – получается 136 986. Прибавляем к этому результату целую часть, увеличенную на 1, т.е. 14. Итого 137 000. – И Горгулий улыбнулся во все свои три ряда зубов, при этом ужасно радостно подмигнув Бусеньке. Бусенька временно лишилась дара речи. Воздух ушел из легких, и сил оставалось только на частое моргание. Но, наконец, она все-таки пересилила себя и спросила: – И на 17 вы тоже так умножаете? На этот раз монстропитек почему-то смутился. Он посмотрел сначала направо, потом налево, потом опять куда-то направо и произнес: – Ну, ээээ… в общем-то тоже так. – И сколько же будет, если 2 умножить на 17?! – с победными интонациями спросила Бусенька. – Поделим 2 на 588 235 294 117 647 с шестнадцатью знаками после запятой… – стал уныло объяснять Горгулий…

Вежливые гости

Хотя Горгулий и утверждает, что не любит умножать…

Иллюстрация М.Грицук

– Да, я так утверждаю! Ужасно не люблю умножать!

…Но незаметно для читателя он все-таки выполнил одно умножение. В своем первом вычислении он умножил число на 100 в тот момент, когда отбросил десятичную запятую у промежуточного результата.

– Нет-нет, это не считается! Какое же это умножение. Это вычеркивание запятой!

Разберем подробнее, что делает Горгулий. Пусть ему