Задачи М2482—М2485; Ф2489—Ф2492

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2482–М2484 предлагались на II Международной олимпиаде Мегаполисов, задача М2485а предлагалась на VIII Международной олимпиаде Romanian Master in Mathematics. Задачи Ф2489–Ф2492 предлагались на Всесибирской олимпиаде 2015 года.

Задачи М2482–М2485, Ф2489–Ф2492

M2482. Дан параллелограмм ABCD с тупым углом B, в котором AD > AB (рис. 1).

другой можно долететь, совершив четное число перелетов. При каком наименьшем натуральном d из любого города можно гарантированно долететь в любой другой, совершив четное число перелетов, не превосходящее d? (Разрешается посещать один и тот же город или совершать один и тот же перелет более одного раза.) И.Богданов

M2484. Натуральные числа x и y таковы, что [ x + 2, y + 2 ] - [ x + 1, y + 1 ] =

Рис. 1

На диагонали AC выбраны такие точки K и L, что – ABK = – ADL (точки A, K, L, C различны, причем K лежит между A и L). Прямая BK пересекает окружность W, описанную около треугольника ABC, в точках B и E, а прямая EL пересекает W в точках E и F. Докажите, что BF P AC. Б.Обухов

M2483. В стране между некоторыми парами городов осуществляются двусторонние беспосадочные авиарейсы. Известно, что из любого города в любой другой можно долететь, совершив не более 100 перелетов. Кроме того, из любого города в любой

= [ x + 1, y + 1 ] - [ x, y ]. Докажите, что одно из чисел x и y делится на другое. (Здесь через [a, b] обозначается наименьшее общее кратное чисел a и b.) Д.Джукич (Сербия)

M2485. а) Зафиксируем натуральное $n \ge 2$. Назовем n-ситом клетчатый квадрат n ¥ n, из которого удалили n клеток так, что из каждого столбца и из каждой строки удалена ровно одна клетка. Назовем полосками клетчатые прямоугольники 1 ¥ k и k ¥ 1 для всех натуральных k. Для любого n-сита A обозначим через m ( A ) наименьшее количество полосок, на которое его можно разрезать. Найдите все

17

ЗАДАЧНИК

пар противоположных сторон будет равен $90\infty$, 3) угол между изображениями диагоналей четырехугольника также будет равен $90\infty$. Установим, в каких случаях выполняются эти условия. Пусть есть тонкая собирающая линза и два непараллельных отрезка. Построим их изображения и поймем, когда эти изображения будут параллельными. Для построения возьмем лучи, идущие вдоль самих отрезков. Тогда каждый из таких лучей проходит и через один конец отрезка, и через другой и, следовательно, изображения отрезков будут лежать на этих лучах после их прохождения линзы. Но чтобы два луча после прохождения собирающей линзы были параллельны, до линзы они должны пересекаться в ее фокальной плоскости. Это значит, что точки пересечения лучей, которым принадлежат противоположные стороны четырехугольника, – точки А и В на рисунке 2 – лежат в фокальной плоскости линзы (показана точечной линией), а сама линза находится справа от

«КВАНТА»

принадлежащей полуокружности, проходящей через точки А и В. На рисунке 3 полуокружность показана пунктиром, а главная оптическая ось линзы – штрих-

Рис. 3

пунктирной линией, отмечены также фокусы F линзы. Таким образом, изображение четырехугольника в линзе, изображенной на рисунке 3, будет прямоугольником, причем таких положений линз будет очень много – ее центр может располагаться в любой точке пунктирной окружности. А можно ли подобрать такое расположение линзы, чтобы изображение четырехугольника было квадратом? Можно, причем для этого надо, чтобы изображения диагоналей четырехугольника были перпендикулярны друг другу. А это будет в том случае, если угол между лучами, вышедшими из точек C и D (рис.4) и проходящими через центр линзы, будет прямым. Для этого центр линзы

Рис. 2

прямой АВ в любом месте. В качестве примера на рисунке 2 показано одно из возможных расположений линзы, причем ее фокусное расстояние должно равняться расстоянию от линзы до прямой АВ. Итак, после прохождения линзы изображение четырехугольника будет параллелограммом. Установим теперь, когда это изображение будет прямоугольником. Очевидно, это случится, когда лучи, вышедшие из точек А и В и проходящие через центр линзы, будут перпендикулярны друг другу. Действительно, эти лучи не преломляются, все остальные лучи, проходящие через точки А и В, после прохождения линзы будут им параллельны. Поэтому центр линзы может лежать в любой точке,

Рис. 4

должен лежать на полуокружности, проходящей через точки C и D. Поскольку все построения проводились в правильном масштабе, рисунок 4 можно использовать для оценки фокусного расстояния линзы. Из рисунка находим, что