18
КВАНТ 2017/№10
расстояние от линзы до ее фокальной плоскости составляет около двух диагоналей одной клетки, т.е. см. На рисунке 5 приведено окончательное
Рис. 5
Решетки четырехугольников
Н.БЕЛУХОВ
Эта статья посвящена истории трудной геометрической задачи, опубликованной в «Задачнике «Кванта» под номером М2473 (см. №7). Мы расскажем о том, как эта задача появилась, приведем ее решение и поговорим о том, как она связана с другими задачами и теоремами. Наша история начинается с такой задачи. Задача 1. Диагонали (выпуклого) описанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. На лучах PA, PB, PC, PD отметили соответственно точки A a, B a, C a, D a так, что PA PA a PB PB a PC PC a PD PD a
Рис. 1
построение изображения четырехугольника в найденной линзе, выполненное по правилам геометрической оптики. И, как видно из рисунка, изображение действительно похоже на квадрат, к которому, однако, нужно относиться несколько условно. Во-первых, потому, что небольшие ошибки в построении лучей могут достаточно сильно нарушить перпендикулярность изображений противоположных сторон, а во-вторых, потому, что законы геометрической оптики хорошо работают для лучей, наклоненных к главной оптической оси линзы под небольшими углами. Здесь же пришлось пользоваться лучами, наклоненными к главной оптической оси под большими углами.
Докажите, что четырехугольник A a B a C a D a также является описанным. Эта задача является шагом в авторском решении задачи M1495 («Задачник «Кванта» №6 за Сначала найдем углы четырехугольника A a B a C a D a. Из подобия треугольников PAB и PA a B a, PBC и PB a C a и т.д. имеем A a B a A a P PA a D a
= ABP PDA 180 o A. Аналогично, B a 180 o B и т.д. Значит, соответственные углы четырехугольников A a B a C a D a и ABCD дают в сумме 180o. Построим вне четырехугольника ABCD четырехугольник ABXY, подобный четырехугольнику A a B a C a D a (рис. 2). Так как BXY 180 o BCD, то CD P XY, т.е. CDYX – трапеция (или параллелограмм). Иными словами, мы «отмасштабировали» четырехугольник A a B a C a D a и склеили подобную копию четырехугольника A a B a C a D a с четырехугольником ABCD по
1 Иными словами, ABCD переходит в A a B a C a D a при инверсии с центром P. Об инверсии можно прочесть, например, в статье В.Уроева («Квант» №5 за Автор задачи М1495 – И.Вайнштейн, авторское решение во многом опиралось на вычисления.