Фантастика и реальность

Квант 2021, №7 с. 36, 45, 46, 47 Тег QXK4

КВАН T 2021/№7

С.ДВОРЯНИНОВ

Вы помните, как в книге Н.Н. Носова «Незнайка на Луне» ее герои представляли строение Луны? Они считали Луну пустотелой, и поэтому Знайка так мечтал о новых путешествиях: «Хорошо бы построить большой межпланетный корабль, взять значительный запас пищи и воздуха и устроить длительную экспедицию на Луну. Надо полагать, что во внешней оболочке Луны имеются отверстия в виде пещер или кратеров потухших вулканов. Сквозь эти отверстия можно будет проникнуть внутрь Луны и увидеть ее центральное ядро. Если это ядро существует, а оно без сомнения существует, то лунные коротышки живут на его поверхности. Между внешней оболочкой и центральным ядром Луны, наверно, сохранилось достаточное количество воздуха, поэтому условия жизни на поверхности ядра должны быть вполне благоприятными для коротышек». Но для жизни на такой Луне коротышкам непременно потребовалась бы энергия. Как же ее можно получить? Давайте продолжим фантазии Знайки. Каждое тело массой m, находящееся на высоте h над поверхностью Земли, обладает потенциальной энергией $W_{=}^{mgh}$ . Так и каждый камень на внешней оболочке Луны обладает потенциальной энергией относительно лунного ядра. Погрузили камень в корзину с веревкой, а веревку намотали на ротор электрогенератора – и все! Корзина поехала вниз, ротор завертелся, электрическая энергия по проводам потекла куда надо. (По этому же принципу действуют и гири

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210703

старинных часов – их потенциальная энергия заставляет работать часовой механизм.) Конечно, одной корзиной не обойтись, несколько корзин надо разместить на кольцевой ленте – подобно обычному транспортеру (аналогичным образом закреплены ступени эскалатора в метро). Вы скажете: Знайка, Незнайка, пустотелая Луна – несерьезно это, детские фантазии! А вот и нет. Сказанное об использовании потенциальной энергии уже давно реализовано в конструкции водных фуникулеров для подъема людей на гору. Только в этом случае вместо камней используют воду, а вместо корзины для камней – бак под вагончиком фуникулера. Подобно обычному фуникулеру, два вагончика водного фуникулура связаны тросом. На вершине горы в специальный бак одного из вагончиков заливают воду, а внизу из бака другого вагончика воду выливают. При этом равновесие нарушается, и верхний вагон перевешивает нижний. Затем тормоза отпускают, и вагончики поехали: тяжелый с водой – вниз, легкий без воды – верх. Вот и все. Первые такие фуникулеры были построены почти полтора века назад, некоторые действуют до сих пор. Что же, получается вечный двигатель? Нет, конечно. Кончится вода на вершине горы – фуникулер нечем будет заправлять. А оказывается вода на вершине за счет энергии Солнца – вода на земле испаряется, поднимается вверх и в виде дождя или снега падает на вершину горы.

М АТЕ М АТИЧЕСКИЙ

К Р У Ж ОК

Рис. 15

Рис. 13

Рис. 16

Рис. 14

Касательные, проведенные в вершинах A и C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в точке P. Тогда прямая BP симметрична медиане BM относительно биссектрисы угла ABC (рис.14). Прямую BP и называют симедианой треугольника. О многих интересных свойствах симедианы можно прочитать в замечательных статьях [1], [2].

Трудный пример Под занавес давайте рассмотрим такую непростую задачу с Всероссийской олимпиады, в которой переплетается сразу несколько классических сюжетов: 6. В треугольнике ABC (AB BC) точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности (рис.15). Докажите, что IMA INB. Медиана IM треугольника AIC видна сразу. А как быть с отрезком IN? В каком треугольнике отрезок IN мог бы быть медианой? Намекнуть на нужное направление поиска может тот факт, что BN является внешней биссектрисой угла B треугольника ABC, ведь точка N – середина дуги ABC. Поэтому давайте дополним рисунок центра- ми вневписанных окружностей треугольника ABC – точками $I_{a}, I_{b}, I_{c}$ (рис.16). Тогда точки A, B и C в треугольнике $I_{a} I_{b} I_{c}$ являются основаниями высот (почему?). Следовательно, описанная окружность треугольника ABC в треугольнике $I_{a} I_{b} I_{c}$ проходит через основания высот, т.е. является окружностью девяти точек этого треугольника. Как известно, окружность девяти точек проходит и через середины сторон треугольника. Откуда заключаем, что точка N является серединой отрезка $I_{a} I_{c}$ . Теперь у нас возникают два подобных треугольника AIC и $I_{a} II_{c}$ , медианы IM и IN которых и дают желаемое равенство углов. Прочитав решение выше, читатель, скорее всего, справедливо возмутится: «Как до такого решения можно было догадаться?» На это заметим, что данная задача, трудная сама по себе, послужила толчком к созданию отдельного эффектного и эффективного метода решения задач, которому посвящена увлекательная статья [3].

Упражнения

В качестве первого упражнения приглашаем читателя проследить «решение» одной из самых красивых задач элементарной геометрии нашим методом.

1 (задача о бабочке). Через середину M хорды PQ окружности провели две произвольные хорды AB и CD (рис.17). Отрезки PM и AC пересе-

КВА НT 2021/№7

Рис. 17

каются в точке E, а отрезки BD и MQ – в точке F. Докажите, что EM = MF. Доказательство в духе древних греков приведено на рисунках18–20. Эстетическая глубина этой задачи заставляет искать все новые и новые

Рис. 18

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 19

решения. Большую коллекцию различных доказательств, завораживающие вариации и обобщения содержатся в замечательной статье [4], которая рекомендуется к прочтению всем любителям геометрии!

Дан вписанный четырехугольник ABCD (рис.21). Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть K и N – середины диагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180q. 3. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K (рис.22); L – середина AC, а точка M – середина отрезка AB. Докажите, что AKM CKL. 4. В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC (рис.23); M – середина отрезка HE. Докажите, что прямые AM и BE перпендикулярны. 5. Дан треугольник ABC (рис.24). Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что ABM MQP.

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 25

Рис. 24

М АТЕ М АТИЧЕСКИЙ

Рис. 26

Рис. 27

К Р У Ж ОК

Дан вписанный четырехугольник ABCD (рис.25). Противоположные стороны AB и CD при продолжении пересекаются в точке P, стороны BC и AD – в точке Q. Докажите, что биссектрисы углов BPC и BQA пересекаются на прямой, проходящей через середины AC и BD. 7. Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника (рис.26). Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трех точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися. 8. Пусть M – середина стороны BC остроугольного треугольника ABC; точка O – центр описанной окружности (рис.27); P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны AC и AB. Докажите, что медиана ML треугольника PMQ параллельна прямой AO. 9. В окружность: вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB! BC (рис.28). Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности: соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BMC, делит пополам отрезок BP. 10. Пусть P – произвольная точка описанной окружности треугольника ABC, точки X и Y – проекции точки P на прямые AB и AC, а точки N, M – середины отрезков XY и BC соответственно (рис.29). Докажите, что PNM 90 q.

Заключение В статье мы обсудили трудные задачи, придумали несколько новых – и все это на базе одного приема, в основе которого лежит идея преобразования подобия. Об этом (и многом другом!) можно прочитать в замечательной книге И. М. Яглома «Геометрические преобразования» [6].

Рис. 28

Литература

Ю.Блинков. Симедиана. – «Квант», 2015, №2. 2. А.Карлюченко, Г.Филипповский. О касательных, проведенных в двух вершинах треугольника. – https: geometry.ru articles symmedian_f_k.pdf 3. А.Полянский. Из пушки по воробьям. – «Квант», 2012, №2. 4. В.Протасов. О двух велосипедистах и вишневой косточке. – «Квант», 2008, №8. 5. А.Спивак. Десять бабочек. – https: geometry.ru articles spivak_butterfly.pdf 6. И.Яглом. Геометрические преобразования. Том 1. – https: math.ru lib bib-mat-kr 7

Рис. 29