Bài toán M76—M80; F88—F92

33

M76. Trong một nhóm gồm $n$ người, mỗi hai người không quen nhau có đúng hai người quen chung, còn mỗi hai người quen nhau có không quá ba người quen chung. Chứng minh rằng trong nhóm này mỗi người quen cùng một số người.

M77. Độ dài hai cạnh của một tam giác là 10 và 15. Chứng minh rằng đường phân giác của góc giữa chúng không lớn hơn 12.

N. B. Vasilyev

M78. Chứng minh rằng mỗi số nguyên không âm có thể biểu diễn dưới dạng $\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}$, trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên không âm, và biểu diễn như vậy là duy nhất.

M79. Hai điểm $P$ và $Q$ chuyển động trên hai đường thẳng cắt nhau với cùng vận tốc không đổi $v$. Chứng minh rằng trên mặt phẳng tồn tại một điểm cố định $A$ sao cho khoảng cách từ nó đến điểm $P$ và $Q$ ở mọi thời điểm là bằng nhau.

I. F. Sharyein

M80. Trong một bảng $m \times n$ có điền các số tùy ý. Được phép đồng thời đổi dấu tất cả các số của một cột nào đó hoặc tất cả các số của một hàng nào đó. Chứng minh rằng, sau khi lặp lại thao tác ấy vài lần, có thể thu được một bảng mà tổng các số trong mỗi cột và tổng các số trong mỗi hàng đều không âm.

A. S. Shvarts

F88. Một bình, được đổ một phần thủy ngân, chuyển động với gia tốc theo phương ngang, do đó mặt thoáng của chất lỏng nghiêng với phương ngang một góc không đổi nào đó.

Phía trên bình được đậy bằng nắp.

Góc này sẽ thay đổi thế nào nếu đổ đầy nước vào bình?

F89. Cường độ điện trường trong sóng điện từ có tần số $\omega=2 \cdot 10^{16} \text{ giây}^{-1}$, được điều biên với tần số $\Omega = 2 \cdot 10^{15} \text{ giây}^{-1}$, biến thiên theo thời gian theo quy luật $E=a (1+\cos \Omega t) \cos \omega t$, trong đó $a$ — hằng số. Xác định năng lượng của các electron bị sóng này bật ra khỏi các nguyên tử hiđrô thể khí có năng lượng ion hóa $W=13,5 \text{ eV}$.

A. Đ. Gladun, L. G. Aslamaozov

F90. Khí lí tưởng có khối lượng $m$, ở nhiệt độ $T$, được làm lạnh đẳng tích sao cho áp suất giảm $n$ lần. Sau đó khí giãn nở ở áp suất không đổi. Ở trạng thái cuối cùng nhiệt độ của nó bằng nhiệt độ ban đầu. Xác định công do khí thực hiện. Trọng lượng phân tử của khí là $\mu$.

F91. Để cấp điện cho một dụng cụ, cần đặt điện áp ở đầu vào của nó chính xác nhất có thể. Để làm việc này

34

Hình 1.

người ta dùng hai biến trở nối như trên hình 1. Độ dài các biến trở bằng nhau, còn điện trở của một biến trở lớn gấp 10 lần điện trở của biến trở kia. Cần làm thế nào để đặt điện áp chính xác nhất có thể? Độ chính xác khi đặt điện áp sẽ lớn hơn bao nhiêu lần so với trường hợp chỉ dùng một biến trở? Cần mắc các biến trở thế nào nếu để cấp điện cho các dụng cụ cần đặt chính xác hơn không phải điện áp mà là dòng điện?

F92. Một vành khối lượng $m$ đứng trên một tấm ván khối lượng $M$ (hình 2). Hệ số ma sát giữa tấm ván và vành là $k$. Tấm ván nằm trên một cái bàn nhẵn. Tấm ván sẽ chuyển động với gia tốc nào nếu vành bị kéo bằng lực $F$?

S. N. Domozhakov

Hình 2.

CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁNH XE

(Tiếp theo. Xem phần đầu ở trang 29.)

2. Một bánh xe lăn trên mặt phẳng ngang. Vì lực ma sát $F$ hướng sang trái nên vận tốc của bánh xe sẽ giảm. Nhưng mômen của lực này đối với tâm $O$ hướng theo chiều kim đồng hồ, và do đó, tốc độ quay của bánh xe phải tăng.

Vận tốc của bánh xe sẽ thay đổi như thế nào?

3. Khi người lái xe nhấn bàn đạp phanh, các má phanh ép vào bánh xe và làm chậm sự quay của chúng. Nhưng các lực tương tác giữa bánh xe và má phanh là các lực nội, do đó không thể làm giảm vận tốc của ô tô. Vậy tại sao ô tô lại dừng?

4. Như đã biết, lực làm đoàn tàu chuyển động là lực ma sát của các bánh đầu máy với đường ray, còn lực ma sát giữa đường ray và bánh xe các toa là lực hãm. Nhưng bánh xe đầu máy và các toa được làm từ cùng một vật liệu, còn tổng trọng lượng các toa lớn hơn nhiều trọng lượng đầu máy.

Vậy tại sao đầu máy có thể kéo đoàn tàu chuyển động?

(Xem tiếp ở trang 42)