Kỳ thi tuyển sinh môn Toán tại MIEM

51

KỲ THI TUYỂN SINH
MÔN TOÁN
TẠI MIEM
V.A. TONYAN

Tại Viện Kỹ thuật Điện tử Moskva, trong kỳ thi toán, các thí sinh phải đáp ứng những yêu cầu cao hơn. Kỳ thi đầu tiên đối với tất cả thí sinh là bài thi toán viết.

Trên các trang của “Kvant” (số 5, 1970), chúng tôi đã bàn về một số vấn đề liên quan đến kỳ thi toán viết năm 1969. Ở đây tôi muốn kể về các kỳ thi năm 1970.

Dưới đây là phân tích một đề với chỉ dẫn về những sai lầm điển hình nhất mà thí sinh đã mắc phải.

Cuối bài là các đề thi viết đã được đưa ra trong năm 1970.

Đề

1. Cho hai tam giác, diện tích mỗi tam giác bằng 50 cm². Đáy của tam giác thứ nhất lớn hơn đáy của tam giác thứ hai 10 cm. Đáy của tam giác thứ nhất có thể thay đổi trong những giới hạn nào để hiệu các chiều cao của hai tam giác không nhỏ hơn 5/6 cm?

2. Giải phương trình

$$\sqrt{\frac{x^2+66^2}{x}} - \sqrt{x \sqrt{x^2+66^2}-x^2} = 5.$$

3. Giải bất phương trình

$$\log \frac{1}{5} \sqrt{x^3+x^2+x-14} \log \frac{1}{4} (-x^2 + 5x - 6) < 0.$$

4. Giải phương trình

$$\sqrt{3+2(2\sin x-\cos 2x)} + \sqrt{3-2(2\sin x+\cos 2x)} = 2.$$

5. Trong một hình chóp có đáy là một hình thoi với góc nhọn α, nội tiếp một mặt cầu bán kính R. Các mặt bên của hình chóp nghiêng với mặt phẳng đáy một góc β. Tìm thể tích hình chóp.

Phân tích các bài toán của đề

1. Gọi đáy của tam giác thứ nhất là x, khi đó đáy của tam giác thứ hai sẽ là x−10, do đó x > 10. (1)

Chiều cao của tam giác thứ nhất sẽ là $$\frac{50}{x/2} = \frac{100}{x},$$ còn của tam giác thứ hai là $$\frac{100}{x-10}.$$

Theo điều kiện bài toán, xét rằng $$\frac{100}{x-10} > \frac{100}{x},$$ ta viết $$\frac{100}{x-10} - \frac{100}{x} \geq \frac{5}{6},$$ và nhớ điều kiện (1), biến đổi nó như sau:

$$x^2 - 10x - 1200 \leq 0,$$ (2)

52

hoặc
$(x+30)(x-40) \leq 0,$
suy ra
$-30 \leq x \leq 40.$
Nếu bây giờ tính đến điều kiện (1), ta được đáp số: $10 < x \leq 40.$
Một số thí sinh giải bài này đã không nghĩ đến việc chữ $x$ biểu thị gì và đưa ra làm đáp số nghiệm của bất phương trình (2).
2. Đưa vào các ẩn mới. Đặt
$$u = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+66^2}+x}{x}},$$
$$v = \sqrt{x\sqrt{x^2+66^2}-x^2}.$$
Khi đó phương trình đã cho được viết lại dưới dạng
$$u-v = 5.$$ (1)
Bây giờ nhận thấy rằng
$$u \geq 0, \quad v \geq 0$$ (2)
và
$$uv = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+66^2}+x}{x}} \times \sqrt{x\sqrt{x^2+66^2}-x^2} = \sqrt{(\sqrt{x^2+66^2}+x)}\sqrt{\sqrt{x^2+66^2}-x} = \sqrt{x^2+66^2}-x^2 = 66.$$
Phương trình cuối cùng cùng với (1) và (2) cho hệ hỗn hợp
$$\begin{cases} uv = 66, \\ u-v = 5, \\ u \geq 0, \quad v \geq 0, \end{cases}$$
có thể viết lại như sau:
$$\begin{cases} u(-v) = -66, \\ u+(-v) = 5, \\ u \geq 0, \quad v \geq 0. \end{cases}$$
Nhớ lại các công thức Viète, ta thấy rằng $u$ trùng với nghiệm dương của phương trình $x^2-5x-66 = 0$. Do đó,
$$u = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+66^2}+x}{x}} = 11,$$
suy ra
$$\sqrt{x^2+66^2}+x = 121x,$$
và do đó
$$\sqrt{x^2+66^2} = 120x.$$
Từ đây thấy rằng $x \geq 0$. Bình phương, ta được phương trình
$$x^2+66^2 = 120^2x^2,$$ (3)
suy ra:
$$x = \frac{6}{\sqrt{119}}.$$
Ta đã tìm được nghiệm này bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương (với các điều kiện đã nêu), nên sau đó không bắt buộc phải kiểm tra. Nhiều thí sinh đã giải được bài này, nhưng cũng có nhiều bài làm mà đáp số chứa các nghiệm ngoại lai, chẳng hạn nghiệm âm của phương trình (3).
Một lần nữa nhắc lại: nếu khi giải phương trình thực hiện các phép biến đổi không tương đương, thì việc kiểm tra các nghiệm tìm được là một bộ phận của lời giải, và không có kiểm tra này thì lời giải không thể được công nhận là đúng.
3. Các giá trị chấp nhận được chỉ là những giá trị $x$ mà $-x^2+5x-6 > 0$, tức là $2 < x < 3$, khi đó $4 < x^2 < 9$ và $8 < x^3 < 27$, nên $14 < x^3+x^2+x < 39$ và $0 < x^3+x^2+x-14 < 25$. Bây giờ đối với cơ số của lôgarit thứ nhất ta có
$$0 < \frac{1}{5}\sqrt{x^3+x^2+x-14} < 1.$$
Do đó,
$$\log_{\frac{1}{4}}(-x^2+5x-6) > 1,$$
suy ra đáp số: $2 < x < 2,5$ hoặc $2,5 < x < 3$.
4. Biến đổi biểu thức dưới dấu căn thứ nhất:
$$3+2 \quad (2\sin x-\cos 2x) = 3+4\sin x + 4\sin^2x-2 = (2\sin x+1)^2,$$
tương tự
$$3-2 (2\sin x+\cos 2x) = (2\sin x-1)^2.$$

53

Bây giờ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng
$$|2 \sin x+1|+|2 \sin x-1|=2.$$
Dễ thấy rằng phương trình cuối cùng được thỏa mãn, hơn nữa một cách đồng nhất, chỉ khi $|\sin x| \leq \frac{1}{2}$, từ đó suy ra:
$$-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n$$
$(n=0, \pm 1, \dots)$.

5. Tâm $O'$ của mặt cầu nội tiếp (hình 1) là điểm cách đều tất cả các mặt của hình chóp, vì thế nó nằm trên giao tuyến của các mặt phẳng phân giác của tất cả các góc nhị diện của hình chóp. Vì các đường chéo của hình thoi là các đường phân giác của các góc trong của nó, nên các mặt phẳng đi qua đường cao và các đường chéo là các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện tại các cạnh bên (hãy tự kiểm tra điều này). Theo giả thiết, các mặt bên nghiêng đều so với đáy, vì thế giao điểm các đường chéo của hình thoi $O'$ là chân đường cao $SO$. Như vậy, tâm của mặt cầu $O'$ nằm trên đường cao của hình chóp. Đường vuông góc kẻ từ điểm $O'$ đến mặt bên của hình chóp nằm trong mặt phẳng đi qua đường cao $SO$ và đường cao của đáy $FE$ ($FE$ đi qua điểm $O$), — điều này dễ suy ra từ định lý ba đường vuông góc. Bây giờ từ tam giác vuông $SOE$ ($O'O = O'O'' = R$, $\Rightarrow SEO = \alpha$) ta có
   $$SO = OE \mathrm{tg} \beta = R \mathrm{tg} \beta \mathrm{ctg} \frac{\beta}{2}.$$
   Đường cao của hình chóp đã được tìm, còn phải xác định diện tích đáy.
   Từ tam giác vuông $OO'E$ ($OO' = R$, $\Rightarrow O'EO = \frac{\beta}{2}$) ta có
   $$OE = OO' \mathrm{ctg} \frac{\beta}{2} = R \mathrm{ctg} \frac{\beta}{2}.$$
   Tiếp theo, nhận thấy rằng
   $$CD = \frac{FE}{\sin \alpha},$$
   và do đó
   $$S_{\text{hình thoi}} = \frac{FE^2}{\sin \alpha} = \frac{4OE^2}{\sin \alpha} = \frac{4R^2 \mathrm{ctg}^2 \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha}.$$
   Đối với thể tích của hình chóp, ta nhận được đáp số cuối cùng:
   $$V = \frac{4}{3} R^3 \frac{\mathrm{ctg}^3 \frac{\beta}{3} \mathrm{tg} \beta}{\sin \alpha}.$$

Đôi điều về kỳ thi vấn đáp

Các kỳ thi vấn đáp ở MIEM sẽ được tiến hành theo vé thi. Mỗi vé ghi hai câu hỏi lý thuyết, hoàn toàn phù hợp với “Chương trình thi tuyển”. Mỗi thí sinh bốc một vé và chuẩn bị khoảng 45 phút để trả lời. Sau khi trả lời các câu hỏi trong vé, thí sinh được hỏi thêm những câu thuộc các phần lý thuyết không có trong vé và được giao các bài toán để kiểm tra khả năng vận dụng lý thuyết vào việc giải toán. Các bài toán này, thông thường, không đòi hỏi tính toán. Sau đây là những ví dụ về các câu hỏi và bài toán như vậy, kèm theo vài nhận xét.

54

1. Nếu cộng hai phân số thập phân tuần hoàn, tổng của chúng có lại là một phân số thập phân tuần hoàn không?

Thông thường người ta trả lời đúng: “Có, vì phân số thập phân tuần hoàn là một số hữu tỉ, còn tổng của hai số hữu tỉ lại là số hữu tỉ”.

Điều đó, nói chung, đúng; chỉ cần lưu ý rằng có thể nhận được không chỉ phân số thập phân tuần hoàn mà cả phân số thập phân hữu hạn, chẳng hạn: 0, (3)+0, (6) = 1, vì $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

Khó hơn là câu hỏi sau.

2. Nếu phân số thứ nhất có p chữ số trong chu kỳ, còn phân số thứ hai có q chữ số, thì tổng của chúng có thể có chu kỳ nào?

Thông thường, không có sự trợ giúp thêm, thí sinh khó trả lời đúng. Trong khi đó, với câu hỏi “Chu kỳ của hàm f(x)+g(x) là bao nhiêu, nếu chu kỳ của f(x) bằng 2π, còn chu kỳ của g(x) bằng 3π?” thì thí sinh, như một quy tắc, trả lời đúng: “6π”. Tuy nhiên, về thực chất cả hai câu hỏi đều thuộc cùng một phần của số học: bội chung nhỏ nhất (BCNN) và ước chung lớn nhất (ƯCLN). Câu trả lời đúng cho câu hỏi ban đầu là: chu kỳ của tổng không vượt quá BCNN của các số p và q.

Đề nghị bạn đọc tự xét một số ví dụ khi chu kỳ của tổng đúng bằng BCNN và khi nó nhỏ hơn bội chung này.

Khó hơn là câu hỏi về chu kỳ của tích hai phân số thập phân tuần hoàn, trong đó phân số thứ nhất có p chữ số trong chu kỳ, còn phân số thứ hai có q chữ số.

Chỉ nêu đáp án: chu kỳ của tích không vượt quá m (10^n−1), trong đó m là BCNN của các số p và q, n là ƯCLN của chúng. Xét ví dụ: 0, (1)×0, (1) = 0, (012345679); ở đây p = q = 1, chu kỳ của tích gồm 9 chữ số.

3. Cho: tg α = a, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Tìm sin α.

Tôi đã nhiều lần thấy một “lời giải” như sau cho ví dụ này. Người ta viết:

$$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha},$$

suy ra

$$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha}}$$

$$= -\sqrt{\frac{a^2}{1 + a^2}} = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}},$$

và chỉ sau khi nhận thấy rằng nếu đẳng thức cuối cùng đúng thì sin α ở góc phần tư IV có dấu dương, thí sinh mới bắt đầu tìm lỗi trong lời giải.

4. Xác định dấu của hiệu

$$\left(\frac{3}{8}\right)^2 \sqrt{2} - 1.$$

Liên quan đến bài toán này sẽ nảy sinh câu hỏi: $2^{\sqrt{3}}$ là gì? Nhiều thí sinh kể rất tỉ mỉ về các tính chất của hàm số mũ lại không biết trả lời câu hỏi này.

5. Giải phương trình $x^4 - 10x^2 + 169 = 0$.

Hiển nhiên, lời giải có thể như sau.

Ký hiệu $x^2$ là y, khi đó ta được phương trình $y^2 - 10y + 169 = 0$, có các nghiệm phức. Để xác định x, thí sinh tiếp tục lập luận, ta cần khai căn một số phức, mà phép toán này không được chương trình phổ thông quy định. Trên cơ sở đó, một số thí sinh đi đến kết luận rằng trong các kỳ thi tuyển sinh có những bài toán mà người chỉ biết chương trình toán phổ thông không thể giải được. Nhưng kết luận như vậy có đúng không? Có thể nào nói chung rút ra kết luận ấy, chỉ nhận thấy rằng một bài toán nào đó có thể giải bằng những phương pháp không được học ở trường trung học? Chẳng phải kết luận như vậy chứng tỏ

55

tác giả của nó không biết rằng không phải mọi mệnh đề đảo đều đúng sao?

Tuy nhiên, hãy trở lại phương trình bậc bốn trùng phương của chúng ta.
$$x^4 + 2 \cdot 13 \cdot x^2 + 169 - 36x^2 = 0,$$
suy ra
$$(x^2 + 13)^2 - 36x^2 = 0,$$
và điều này dẫn đến hai phương trình bậc hai có hệ số thực:
$$x^2 - 6x + 13 = 0, \quad x^2 + 6x + 13 = 0.$$

Hãy thử chứng minh rằng mọi phương trình bậc bốn trùng phương $x^4 + px^2 + q = 0$, trong đó $p^2 - 4q < 0$ bằng phương pháp đã nêu ở trên đều có thể đưa về hai phương trình bậc hai có hệ số thực.

6. Hãy vẽ đồ thị của hàm số $y = \arcsin(\sin x)$.

Hàm số được xác định trên khoảng $-\infty < x < \infty$. Do tính tuần hoàn của hàm số $z = \sin x$, hàm số $y = \arcsin z$ cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, và chỉ cần khảo sát nó, chẳng hạn, trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, 3\pi/2]$.

Trên đoạn $[-\pi/2, \pi/2]$ sin $y = \sin x$ và $y = x$; còn nếu $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \leq \pi - x \leq \frac{\pi}{2}$ thì từ đẳng thức sin $(\pi - x) = \sin x$ suy ra rằng $y = \pi - x$. Cuối cùng đồ thị được biểu diễn ở hình 2.

Hãy tự giải các bài toán từ những phương án khác của các bài kiểm tra viết năm 1970.

1. Từ các điểm $A$ và $B$, cách nhau 28 km, đồng thời có 2 người đi bộ xuất phát đi về phía nhau. Họ phải gặp nhau sau 3,5 giờ, nhưng người thứ hai đã dừng lại nghỉ 0,5 giờ, và khi họ gặp nhau thì hóa ra người thứ nhất đã đi nhiều hơn người thứ hai 2 km. Tìm vận tốc của những người đi bộ.

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{x^2 + 28^2}{x}} - \sqrt{x \sqrt{x^2 + 28^2}} = 3.$$

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{2 \text{ctg} x + \frac{1}{\sin^2 x}} + \sqrt{2 \text{ctg} x + \frac{1}{\cos^2 x}} = 2 \text{ctg} 2x.$$

4. Giải bất phương trình
   $$3 \log_5 \frac{1}{x^2} \Bigg|_{\log_5 |x + 2|} \leq 6.$$

5. Đáy của hình chóp là một tam giác đều, các cạnh bằng của nó có độ dài $b$. Các mặt bên của hình chóp đi qua những cạnh này vuông góc với mặt phẳng đáy và tạo với nhau góc $\alpha$. Góc giữa mặt tam giác và mặt phẳng đáy cũng bằng $\alpha$. Xác định bán kính quả cầu nội tiếp hình chóp này.

Giải các phương trình
6. $$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 3} = 3.$$

7. 3 sin $x + 5 \cos x = \sqrt{17 + 8 \cos 2x + 15 \sin 2x}$.