Lời giải các bài toán của bài kiểm tra đầu vào tại ЗМШ

25

Lời giải các bài toán của bài kiểm tra đầu vào tại ЗМШ

A. L. Toom

Trong số đầu tiên của «Kvant» đã đăng các bài toán của bài kiểm tra đầu vào Trường Toán học Từ xa. ЗМШ đã nhận được khoảng 6000 thư của học sinh lớp tám. Khoảng 2500 người gửi lời giải đã được nhận vào ЗМШ và các chi nhánh của trường.

Trong số này chúng tôi đăng lời giải các bài toán khó nhất.

Điều kiện bài toán

5. Về tam giác ABC đã đưa ra 4 khẳng định:

1. tam giác ABC vuông;
2. ∠A = 30°; 3) AB = 2BC; 4) AC = 2BC.
   Biết rằng hai trong các khẳng định này đúng, còn hai khẳng định kia sai. Tìm chu vi tam giác ABC nếu BC = 1.

6. Biết rằng a+b+c<0 và phương trình ax²+bx+c=0 không có nghiệm thực. Xác định số c có dấu gì.

7. Về các điểm A, B, C biết điều sau: với mọi điểm M trên mặt phẳng, đoạn AM nhỏ hơn ít nhất một trong các đoạn BM và CM. Chứng minh rằng điểm A nằm trên đoạn BC.

8. Có thể gói một hình lập phương cạnh 1 trong một mảnh giấy hình vuông cạnh 3 không?

9. Có thể viết chín số 1,2,3,…, 9 theo một vòng tròn theo thứ tự sao cho tổng của không hai số kề nhau nào chia hết cho 3, 5 hoặc 7 không?

10. Cư dân thành phố Pravdin luôn nói thật, còn cư dân thành phố Lgunov luôn nói dối.

Tại một trong hai thành phố này đã diễn ra một trận bóng đá giữa các đội của hai thành phố. Sau trận đấu, bên cạnh sân vận động nơi trận đấu được tổ chức, đã xảy ra điều sau:

A(nói với Б và В): “Tôi không ở trận đấu. Hãy nói xem, ai thắng?”
B: “Г đã nói với tôi rằng đội của họ thua.”
B: “Đội chúng tôi thắng.”
Γ (lên chiếc xe buýt đi đến thành phố kia và nói với A): “Đi cùng đi, A, vì chúng ta từ cùng một thành phố.”
A: “Bạn nhầm rồi, Г. Tôi sống ở đây. Chính В là người từ thành phố của bạn.”
Xác định ai thuộc mỗi thành phố, trận đấu diễn ra ở đâu và đội nào thắng.

12. Trên đường cái, theo một hướng với vận tốc không đổi, cứ sau những khoảng thời gian bằng nhau lại có các xe buýt chạy không dừng. Một người đi bộ trên đường cái 4 km, và trong thời gian đó bị 6 xe buýt vượt qua. Lần khác người ấy đi 7 km, và trong thời gian đó bị 8 xe buýt vượt qua. Lần thứ ba người ấy đi 17 km. Khi đó có bao nhiêu xe buýt vượt qua người ấy? (Cả ba lần người ấy đi với cùng một vận tốc.)

Lời giải các bài toán

5. Ta được nói rằng trong bốn khẳng định, có hai khẳng định nào đó đúng, nhưng không nói rõ chính xác khẳng định nào đúng, khẳng định nào không. Vì vậy hãy xét một số trường hợp. Trong mỗi trường hợp như vậy, ta sẽ giả sử rằng hai khẳng định xác định nào đó đúng, còn hai khẳng định kia đúng. Để không bỏ sót trường hợp nào, trước hết hãy làm rõ,

26

Trường hợp 1.2. Vì $\Rightarrow A=30^\circ$, nên góc vuông là $B$ hoặc $C$. Nếu $\Rightarrow B$ vuông, thì $AC=2BC$, điều này không được xảy ra, vì trong trường hợp này khẳng định 3 là sai. Nếu $\Rightarrow C$ vuông, thì $AB=2BC$, điều này cũng trái với điều kiện. Vậy trường hợp 1.2 là không thể.

Trường hợp 1.3. Góc $A$ không thể vuông, vì đối diện với nó không phải là cạnh lớn nhất. Nếu $\Rightarrow C=90^\circ$, thì $\Rightarrow A=30^\circ$, điều này không thể có trong trường hợp này. Vậy $\Rightarrow B=90^\circ$. khi đó các khẳng định 2 và 4 sai. Vậy trường hợp này có thể xảy ra. Khi đó theo định lý Pythagore $AC=\sqrt{5}$, còn chu vi bằng $3+\sqrt{5}$.

Trường hợp 1.4. Xét tương tự trường hợp 1.3. Có thể xảy ra nếu $\Rightarrow C=90^\circ$. Chu vi bằng $3+\sqrt{5}$.

Trường hợp 2.3. Nếu $\Rightarrow A=30^\circ$ và $AB=2BC$, thì $\Rightarrow C=90^\circ$, điều này mâu thuẫn với điều kiện.

Trường hợp 2.4. Tương tự trường hợp 2.3, là không thể.

Trường hợp 3.4. Các khẳng định 1,2 là sai. Vậy trường hợp này có thể xảy ra. Chu vi bằng 5.

Đáp án. a) $3+\sqrt{5}$; b) 5.

6. Vì tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$ không có nghiệm thực, nên $b^2-4ac<0$, suy ra $ac>\frac{b^2}{4}$. Chứng minh rằng $c(a+b+c)>0$.

Thật vậy,

$$c(a+b+c)=ac+bc+c^2>\frac{b^2}{4}+bc+c^2=\left(\frac{b}{2}+c\right)^2\geq 0.$$

Vì trong tích dương, một thừa số $a+b+c$ âm, nên thừa số kia $c$ cũng âm. Vậy $c<0$.

Một cách giải. Biết rằng nếu tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$ không bằng không với mọi $x$, thì dấu của nó là như nhau với mọi $x$. Nhận thấy rằng số $a+b+c$ là giá trị của tam thức của chúng ta tại $x=1$, còn số $c$ là giá trị của nó tại $x=0$. Vậy hai số này có cùng dấu. Vì $a+b+c<0$, nên $c<0$.

7. Ta sẽ chứng minh điều phải chứng minh bằng phản chứng. Giả sử điểm $A$ không nằm trên đoạn $BC$, và đi đến mâu thuẫn với các điều kiện. Tức là ta sẽ chứng minh rằng khi đó mệnh đề «với mọi điểm $M$ trên mặt phẳng, đoạn $AM$ nhỏ hơn ít nhất một trong hai đoạn $BM$ và $CM$» là sai. Nói cách khác, ta sẽ tìm một điểm $M$ trên mặt phẳng sao cho đoạn $AM$ không nhỏ hơn đoạn nào trong hai đoạn $BM$ và $CM$. Xét hai trường hợp.

28

các cột được đánh số từ 1 đến 9. Nếu hai chữ số có thể đứng cạnh nhau thì tại giao điểm của hàng và cột mang các số đó có dấu cộng, còn nếu không thể thì có dấu trừ. Có thể làm cách khác. Vẽ chín vòng tròn và ghi vào chúng các chữ số từ 1 đến 9. Nối bằng đoạn thẳng hai vòng tròn có các chữ số có thể đứng cạnh nhau. Còn nếu hai chữ số không thể là hàng xóm thì ta sẽ không nối chúng. Vẽ lại sơ đồ thu được để, nếu có thể, «tháo rối» nó. Kết quả được biểu diễn ở hình 4. Khi đã dựng được hình như vậy, có thể phát biểu câu hỏi như sau: có thể, chỉ đi theo các đường, đi qua tất cả các vòng tròn của hình này mỗi vòng một lần rồi trở về chỗ cũ hay không? Ta sẽ giải bài toán bằng cách nhìn vào hình vẽ này, mặc dù hoàn toàn có thể dùng bảng.

Vì 4 chỉ được nối với 7 và 9, nên 7 và 9 chính là các chữ số kề với nó theo vị trí trên đường tròn. Tương tự, các chữ số kề với 2 là 6 và 9. Vậy 2 và 4 kề với 9, còn 7 và 8 chắc chắn không kề với 9. Vậy có thể gạch bỏ các nối kết của 9 với 7 và 8 (điều này đã được làm trên hình). Tương tự, 1 có các chữ số kề là 3 và 7. Vậy các chữ số kề với 7 là 1 và 4, còn nối kết của 7 với 6 có thể gạch bỏ. Bây giờ 8 chỉ được nối với 3 và 5, vậy nối kết giữa 3 và 5 có thể gạch bỏ. Các đường còn lại tạo thành một đường đi khép kín, chính là nghiệm duy nhất (cho đến hướng đi) của bài toán.

11. Lập bảng:

| A từ Pravdin? | G từ Pravdin? |
| :— | :— |
| B từ Pravdin? | Trận đấu diễn ra ở Pravdin? |
| V từ Pravdin? | Đội Pravdin thắng? |

Giải bài toán nghĩa là điền vào các ô trống của bảng này các từ «có» hoặc «không» sao cho không gặp mâu thuẫn với các điều kiện. Chính xác hơn, cần tìm mọi cách điền như vậy, vì có thể có nhiều hơn một cách. Trong trường hợp xấu nhất có thể xét tất cả các cách điền có thể có (chỉ có 64 cách) và kiểm tra với từng cách xem nó có mâu thuẫn với các điều kiện hay không. Nhưng dĩ nhiên đó là một cách giải không đẹp. Ta sẽ làm cách khác.

1. Từ lời khai của B suy ra rằng đội Pravdin đã thắng. Chứng minh điều này. Nếu B từ Pravdin thì điều anh ta nói là thật, và đội Pravdin đã thắng. Nếu B từ Lgunov thì điều anh ta nói là sai, và đội Pravdin vẫn đã thắng.

2. Từ lời khai của B suy ra rằng B từ Lgunov, vì lời khai của anh ta hóa ra là sai. Chứng minh điều này. Ta đã biết rằng đội Pravdin đã thắng.

29

din. Nếu $\Gamma$ từ Pravdin thì anh ta không thể nói rằng đội của họ đã thua, vì đó sẽ là lời nói dối. Nếu $\Gamma$ từ Lgunov thì anh ta cũng không thể nói điều đó, vì đó sẽ là sự thật.

3. Từ phát biểu của $\Gamma$ suy ra rằng $A$ đến từ Pravdin. Hãy chứng minh điều này. Nếu $\Gamma$ đến từ Pravdin, thì $A$ thực sự cùng thành phố với anh ta, tức là đến từ Pravdin. Nếu $\Gamma$ đến từ Lgunov, thì $A$ không cùng thành phố với anh ta, tức là $A$ vẫn đến từ Pravdin.

4. Bây giờ dễ dàng trả lời mọi câu hỏi. Từ phát biểu cuối cùng của $A$ suy ra rằng sự việc diễn ra ở Pravdin, $B$ và $\Gamma$ — đến từ Lgunov.

Đáp số. $A$ — đến từ Pravdin, $B$, $B$, $\Gamma$ — đến từ Lgunov, trận đấu diễn ra ở Pravdin, đội Pravdin thắng.

12. Rõ ràng xe buýt vượt người vào những khoảng thời gian bằng nhau. (Mỗi khoảng như vậy bằng $\frac{v_1 t}{v_1 - v_2}$, trong đó $t$ là khoảng thời gian giữa các xe buýt, $v_1$ là vận tốc của xe buýt, $v_2$ là vận tốc của người. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không dùng cách diễn đạt này.) Vì vậy giữa những thời điểm xe buýt vượt người, mỗi lần người kịp đi cùng một quãng đường. Ký hiệu quãng đường này là $x$.

Trong hình 5, đoạn $AB$, được đánh dấu bằng dấu ngoặc nhọn, biểu diễn 4 km mà người đó đã đi lần đầu. Trên đó ta đánh dấu 6 điểm $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$, $P_6$, tại đó xe buýt vượt người đó. Giữa chúng có 5 khoảng, và độ dài mỗi khoảng bằng $x$. Còn lại hai đoạn đường ở hai đầu $AP_1$ và $P_6B$, mà người đó đã đi trước khi xe buýt thứ nhất vượt người đó và sau khi xe buýt cuối cùng vượt người đó (trên hình được vẽ bằng đường màu đỏ). Độ dài của mỗi đoạn này nhỏ hơn $x$. Hãy chứng minh điều đó. Chẳng hạn, giả sử $P_6B \geq x$. Khi đó trên đoạn $P_6B$ còn đặt được một điểm $P_7$ sao cho $P_6P_7 = x$. Tại điểm này, dĩ nhiên xe buýt cũng vượt người đó, và tổng cộng trên 4 km này người đó bị hơn sáu xe buýt vượt, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Tương tự chứng minh được rằng $AP_1 < x$. Xét tất cả những điều đó, ta có thể viết:

$$5x \leq 4 < 7x. \tag{1}$$

Tương tự, vì trên đoạn dài 7 km có thể đặt 8 điểm cách nhau $x$, còn các đoạn ở hai đầu lại nhỏ hơn $x$:

$$7x \leq 7 < 9x. \tag{2}$$

Từ (1) suy ra $x \leq 4/5$, còn từ (2) suy ra $x > 7/9$.

Bây giờ cần xác định trên đoạn dài 17 km có thể đặt bao nhiêu điểm cách nhau $x$ km.

Vì $\frac{17}{4/5} = 21 \frac{1}{4}$, còn $\frac{17}{7/9} = 21 \frac{6}{7}$, nên $21 \frac{1}{4} \leq \frac{17}{x} < 21 \frac{6}{7}$ hay

$$21 \frac{1}{4}x \leq 17 < 21 \frac{6}{7}x. \tag{3}$$

Chứng minh rằng trên đoạn dài 17 km, người đó sẽ bị 21 hoặc 22 autovis vượt qua. Thật vậy, nếu người đó bị 20 autovis (hoặc ít hơn) vượt qua, thì số khoảng dài $x$ giữa chúng sẽ là 19 (hoặc ít hơn), suy ra $17 < 21x$, mâu thuẫn với (3). Nếu người đó bị 23 autovis (hoặc nhiều hơn) vượt qua, thì $17 > 22x$, điều này cũng mâu thuẫn với (3).

Đáp số. 21 hoặc 22 autovis.