Kỳ thi viết môn toán tại Khoa Hóa học Đại học Quốc gia Moskva năm 1970

56

Kỳ thi viết
môn toán tại khoa hóa học Đại học Tổng hợp Quốc gia Moskva năm 1970

N. N. Kolesnikov, V. M. Tikhomirov

Năm 1970, tại khoa hóa học Đại học Tổng hợp Quốc gia Moskva, môn toán chỉ có kỳ thi viết.

Mỗi đề thi viết gồm năm bài toán, bao quát tất cả các phần cơ bản của chương trình toán phổ thông — đại số, hình học và lượng giác.

Xét bốn bài toán của một trong các đề, chúng ta sẽ thấy rằng để giải chúng không cần bất kỳ kiến thức nào vượt ra ngoài chương trình toán để thi vào đại học.

Vì vậy, chúng tôi muốn một lần nữa nhấn mạnh rằng thí sinh thường có kỹ năng suy luận logic lành mạnh yếu và rằng các em rõ ràng chưa dành đủ sự chú ý cho các bài toán và định lý hình học.

Bên cạnh hai thiếu sót có tính nguyên tắc này, mà chúng tôi muốn cả giáo viên lưu ý, sự cẩu thả và thiếu tập trung khi làm và trình bày bài viết, không biết đưa việc giải bài toán và ví dụ đến cùng, cũng gây hại lớn cho thí sinh. Một bài toán mà ý tưởng giải đã được nêu ra, nhưng không được đưa đến đáp số với các lập luận trung gian cần thiết, thì không thể được coi là đã giải xong. Sự cẩu thả cũng dẫn đến nhiều sai lầm và lỗi chép khác nhau, làm sai lệch quá trình giải và kết quả; đôi khi điều kiện bài toán bị hiểu sai, nhưng bài toán với điều kiện đã thay đổi không được hội đồng thi xét, ngay cả khi nó khó hơn.

Đề

1. Từ điểm A đến điểm B, một ô tô xuất phát và đồng thời từ điểm B đến điểm A, một người đi xe đạp xuất phát. Sau khi gặp nhau, họ tiếp tục đi. Ô tô, đến điểm B, lập tức quay lại và đuổi kịp người đi xe đạp sau hai giờ kể từ thời điểm gặp lần thứ nhất. Hỏi người đi xe đạp đi đến điểm A trong bao lâu sau lần gặp thứ nhất, nếu biết rằng đến thời điểm gặp lần thứ hai anh ta đã đi được $2/5$ toàn bộ quãng đường từ B đến A? (Vận tốc của ô tô và người đi xe đạp là không đổi.)

2. Giải phương trình
   $$4\sqrt{3x^2-2x}+1+2=9.2\sqrt{3x^2-2x}$$

3. Tìm mọi giá trị $x$ nằm trong khoảng $-1<x<4$ và thỏa mãn

$$\log_{0,75}\sin x \geq \log_{9/10}0,75.$$

4. Dây $AB$ chắn một cung có số đo $120^\circ$. Điểm $C$ nằm trên cung này, còn điểm $D$ nằm trên dây $AB$. Biết $AD=2$, $BD=1$, $CD=\sqrt{2}$. Tìm diện tích tam giác $ABC$.

5. Cho lăng trụ đứng tam giác $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1, BB_1, CC_1$ là các cạnh bên), trong đó $AC=6$, còn $AA_1=8$. Qua đỉnh $A$ kẻ một mặt phẳng cắt các cạnh $BB_1$ và $CC_1$, tương ứng tại các điểm $M$ và $N$. Tìm tỉ số mà mặt phẳng này chia thể tích lăng trụ, biết rằng $BM=MB_1$, còn $AN$ là tia phân giác của góc $CAC_1$.

57

1. Trong bài này, chúng tôi chỉ nêu những điểm chính của lời giải.

Gọi $S$ là khoảng cách giữa các điểm $A$ và $B$, $v_a$ là vận tốc ô tô, $v_b$ là vận tốc xe đạp, $t$ là thời gian (tính bằng giờ) từ lúc bắt đầu chuyển động đến lần gặp đầu tiên. Với bốn đại lượng đã đưa vào ($S, v_a, v_b, t$) có thể lập ba phương trình:

$$\left( v_a + v_b \right) t = S,$$
$$\frac{2}{5} S = v_b (t + 2),$$
$$\frac{7}{5} S = v_a (t + 2).$$

Không thể tìm giá trị của tất cả các ẩn, nhưng điều đó không cần thiết, cần tìm đại lượng $\frac{S}{v_b} - t$, là tổ hợp của các ẩn. Chia phương trình thứ ba cho phương trình thứ hai, ta được $v_a = \frac{7}{2} v_b$.

Thay sự tương ứng này vào phương trình thứ nhất và khử $\frac{S}{v_b}$ khỏi nó và phương trình thứ hai, ta tìm được $t = \frac{5}{2}$ giờ. Từ phương trình thứ hai suy ra rằng $\frac{S}{v_b} = \frac{45}{4}$ giờ, còn thời gian cần tìm $\frac{S}{v_b} - t$ bằng $\frac{35}{4}$ giờ, tức là 8 giờ 45 phút.

Nhận xét rằng bài toán này (cũng như nói chung tất cả các bài toán đầu tiên trong các đề dành cho khoa hóa) về thực chất là một bài toán số học và cho phép những lời giải dựa trên các suy luận đơn giản nhất.

Trong cùng một thời gian (cho đến lần gặp thứ hai), người đi xe đạp đi được $2/5$, còn ô tô đi được $7/5$ toàn bộ quãng đường. Vậy tỉ số vận tốc của họ bằng 2:7. Khi gặp nhau lần thứ nhất, người đi xe đạp đi được $2/9$, còn ô tô đi được $7/9$ toàn bộ quãng đường. Nhưng, đi thêm hai giờ nữa, người đi xe đạp đi được $2/5$ toàn bộ quãng đường. Do đó, trong một giờ người ấy đi được $\left( \frac{2}{5} - \frac{2}{9} \right): 2 = \frac{4}{45}$ toàn bộ quãng đường. $7/9$ quãng đường mà người đi xe đạp còn phải đi người đi xe đạp người đi xe đạp $x > 0$. Chỉ một phần tư số người giải đã có thể viết đúng lời giải của bất đẳng thức $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ với bổ sung-

59

5. Đặt $CAC_1 = 2\alpha$ (hình 3). Theo giả thiết $tg2\alpha = \frac{4}{3}$. Vì $AN$ là tia phân giác của góc $CAC_1$, theo các công thức lượng giác đã biết, dễ tìm được rằng $(\Rightarrow NAC = \alpha)$

$$\sin \alpha = \frac{1}{V_5}, \cos \alpha = \frac{2}{V_5}.$$

Kí hiệu $\Rightarrow ACB$ trong tam giác $CAB$ là $\beta$. Bây giờ dễ viết thể tích của lăng trụ đã cho như sau:

$$V = \frac{1}{2}AC \cdot CB \sin \beta \cdot AA_1 = 24CB \sin \beta.$$

Mặt phẳng đi qua các điểm $A, M$ và $N$ cắt từ lăng trụ hình chóp $ABCNM$, trong đó mặt bên $ACB$ vuông góc với đáy, vì lăng trụ $ABCA_1B_1C_1$ là lăng trụ đứng (theo giả thiết). Đáy $BCNM$ là một hình thang, các đường thẳng chứa các cạnh $CN$ và $BM$ song song. Từ các đẳng thức

$$BM = \frac{BB_1}{2} = 4, CN = AC \cdot tg\alpha = 3$$

ta tìm được: $S_{BCNM} = \frac{7}{2}BC$ ($BC$ vuông góc với $CN$ và $BM$ và là chiều cao của hình thang). Do đó thể tích hình chóp $ABCNM$ bằng

$$V = \frac{1}{3}S_{BCNM} \cdot AC \sin \beta = 7CB \sin \beta.$$

Thể tích phần còn lại bị mặt phẳng cắt từ lăng trụ là hiệu thể tích của lăng trụ và hình chóp: $V_2 = V - V_1$. Từ đó

$$V_1 : V_2 = V_1 : (V - V_1) = 7 : 17.$$

Trong bài toán này không cần tìm giá trị số của thể tích các phần của lăng trụ mà ta quan tâm, vì chỉ cần tỉ số của chúng. Để có đáp án, chỉ cần biểu diễn chúng qua cùng những đại lượng $BC$ và $\beta$, tuy chưa biết. Nhưng chính điều này đã không được một bộ phận thí sinh hiểu, họ vẫn cố gắng.

Hình 3. $AC = 6, AA_1 = 8, BM = MB_1$.

tìm các giá trị số của những thể tích cần tìm và dĩ nhiên không thành công (so sánh với tình huống ở bài toán thứ nhất, nơi cũng chỉ cần tìm tỉ số của các đại lượng chưa biết để có đáp án).

Hãy thử tự giải biến thể sau.

1. Hai máy kéo cày một cánh đồng được chia thành hai phần bằng nhau. Cả hai máy kéo bắt đầu đồng thời, mỗi máy cày phần của mình. Sau 5 giờ kể từ lúc họ cùng nhau cày được một nửa toàn bộ cánh đồng, người ta thấy rằng máy kéo thứ nhất còn phải cày $1/10$ phần đất của mình, còn máy kéo thứ hai — $4/10$ phần đất của mình. Máy kéo thứ hai cần bao nhiêu thời gian để một mình cày toàn bộ cánh đồng?
2. Giải phương trình

$$3^2 \sqrt{x^2 + 3x} + 1 + 9 = 28 \cdot 3 \sqrt{x^2 + 3x}.$$

3. Tìm tất cả các giá trị $x$ thuộc khoảng $-1 < x < 5$ và thỏa mãn bất đẳng thức $\log_0.5 \sin x \geq \log_3(\frac{\pi}{3})$.

4. Trong tam giác $ABC$, góc $C$ bằng $60^\circ$, và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này bằng $2\sqrt{3}$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = 2DB$, đồng thời $CD = 2\sqrt{2}$. Tìm diện tích tam giác $ABC$.

5. Cho lăng trụ tam giác $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1, BB_1$ và $CC_1$ là các cạnh bên). Một mặt phẳng cắt các cạnh $A_1B_1, B_1C_1$ và $BC$ tương ứng tại các điểm $M, N, P$. Tìm tỉ số mà mặt phẳng này chia thể tích lăng trụ, biết rằng $B_1M : A_1B_1 = 1:2, B_1N : B_1C_1 = 2:3$ và $BP : CB = 1:3$.