Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Viện Dệt Moskva năm 1970

45

Kỳ thi tuyển sinh vào MTI được tổ chức hoàn toàn theo chương trình toán học dành cho thí sinh vào đại học. Cũng như ở tất cả các trường đại học kỹ thuật, toán học là môn chuyên ngành khi tuyển sinh vào MTI.

Ở các khoa năng lượng-cơ khí và chế tạo máy kỹ thuật, thí sinh sẽ làm hai kỳ thi toán: viết và vấn đáp. Ở các khoa cơ khí-công nghệ, hóa-công nghệ và kinh tế-kỹ thuật, có một kỳ thi toán — vấn đáp. Ở tất cả các khoa, các thí sinh đoạt huy chương sẽ làm kỳ thi toán.

Hãy xét một trong các đề đã được đưa ra trong kỳ thi viết.

Đề

1. Giải phương trình
   $$\text{ctg} x - 1 = \frac{\cos 2x}{\text{tg} x + 1}.$$

2. Giải phương trình
   $$\log_5^4 (x - 1)^2 + \log_5^2 (x - 1)^3 = 25.$$

3. Rút gọn khi $0 < a \leq 1$:
   $$\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 4 (a + 1) + \left( \sqrt[3]{a \sqrt{a}} - 1 \right)^2 - \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)^3 \right]^{\frac{1}{2}}.$$

4. Đáy của hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền $c$ và góc nhọn $\alpha$, các cạnh bên của hình chóp nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\phi$. Tìm thể tích hình chóp.

Lời giải các bài toán của đề

1. Tìm miền xác định của phương trình $x \neq \frac{\pi}{2} l, x \neq \frac{\pi}{4} (4m - 1) (l, m = 0, \pm 1, \dots)$. Bây giờ biến đổi vế trái: $(\text{ctg} x - 1) (\text{tg} x + 1) = \cos 2x,$
   $$\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \cos 2x,$$
   $$\cos 2x = \frac{1}{2} \cos 2x \sin 2x,$$
   $$\cos 2x \left( 1 - \frac{1}{2} \sin 2x \right) = 0.$$ (*)

Vì thừa số thứ hai trong (*) khác không ($\sin 2x \neq 2$), nên $\cos 2x = 0$ và
$$x = \frac{\pi}{4} (2k + 1) \quad (k = 0, \pm 1, \dots).$$

Xét điều kiện xác định, loại các giá trị $x$ nhận được khi $k$ lẻ.

Đáp số:
$$x = \frac{\pi}{4} (4n + 1) \quad (n = 0, \pm 1, \dots).$$

Việc giải ví dụ này không gây khó khăn đặc biệt, tuy nhiên đã xuất hiện nhiều nghiệm ngoại lai do không xét điều kiện xác định.

2. Điều kiện xác định của phương trình là: $x > 1$. Biến đổi vế trái, sử dụng tính chất của lôgarit:
   $$16 \log_5^4 (x - 1) + 9 \log_5^2 (x - 1) = 25.$$

Giải phương trình trùng phương nhận-

46

được, tương đương với phương trình đã cho, ta tìm được

$$\log_5^2 (x-1) = 1 \text{ hoặc } \log_5^2 (x-1) = -\frac{25}{16}.$$

Đẳng thức cuối không thể xảy ra, còn lại $\log_5 (x-1) = \pm 1$, suy ra $x_1 = 6, x_2 = \frac{6}{5}$.

Sai lầm điển hình: nhiều thí sinh quên nâng các số mũ 2 và 3 lên lũy thừa tương ứng khi đưa chúng ra ngoài dấu lôgarit.

3. Trước hết tìm các giá trị cho phép của $a$ và $b$: $a \neq -b$. Biến đổi biểu thức ban đầu:

$$\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 4 (a+1) + (\sqrt{a}-1)^2 - \left( \frac{\sqrt[6]{a} (\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} + \sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 4 (a+1) + a - 2 \sqrt{a} + 1 - (2 \sqrt[6]{a})^3 \right]^{\frac{1}{2}} = \left| \sqrt{a}-1 \right| = 1-\sqrt{a}.$$

Khi giải ví dụ này, các thí sinh không phải lúc nào cũng chú ý đến điều kiện $0 < a \leq 1$ và vì thế mắc sai lầm khi khai căn bậc hai.

4. Đường cao của hình chóp (xem hình vẽ) đi qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp đáy, vì các cạnh bên-

46

47

Bất đẳng thức này tương đương với hệ bất đẳng thức
$$\begin{cases} x^2 - 6 > 0, \\ 0 < \log_3(x^2 - 6) < 1 \end{cases}$$

hoặc
$$\begin{cases} x^2 - 6 > 0, \\ 1 < x^2 - 6 < 3. \end{cases}$$

Bất đẳng thức thứ hai bao hàm bất đẳng thức thứ nhất, từ đó ta được $7 < x^2 < 9$, $\sqrt{7} < |x| < 3$.

Đáp số:
$$\sqrt{7} < x < 3$$ hoặc $-3 < x < -\sqrt{7}$.

Trong bài này, nhiều thí sinh đã không tính đến việc cơ số của logarit ngoài nhỏ hơn 1, còn một số quên dấu môđun và mất phần thứ hai của đáp số.

Cuối cùng, hãy đưa ra một đề của các kỳ thi vấn đáp để tự giải.

Đề

Giải các phương trình:

1. $$\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3}{2}x - \sin x \sin 3x - \sin 2x \sin 3x = 0.$$
2. $$2\lg 2 + \left(1 + \frac{1}{2x}\right)\lg 3 - \lg \left(\frac{x}{\sqrt{3}} + 27\right) = 0.$$
3. Rút gọn:
   $$\frac{a + x}{\sqrt{a^2} - \sqrt{x^2}} + \frac{\sqrt[3]{ax^2} - \sqrt[3]{a^2}x}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ax} + \sqrt[3]{x^2}} - \sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{x}.$$
4. Cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều bằng $a$, các mặt bên nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\phi$. Tìm thể tích hình chóp.

Các bài toán riêng

Giải các phương trình:
5. $$\sin^4 x + \sin^4 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin 2x.$$

6. $$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 3x = \cos 7x.$$
7. $$\tg x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 2.$$
8. Biến đổi thành tích:
   $$\sec^2 \alpha - \tg^2 \alpha + \mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) + \mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$$
9. Cho: $\tg \alpha = \frac{4}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}$ π.

Tìm $\tg \frac{\alpha}{2}$.

Giải các phương trình:
10. $$\sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{2^{3x+3}} + 12 = 0.$$
11. $$10^{\lg^3 x} + x^{\lg x} = 20.$$
12. $$\lg^2 10x + \lg x = 19.$$
13. $$4^{\log_3 x} + x^2 = 8.$$
14. $$\log_3 (3^x - 1) \log_3 (3^{x+1} - 3) = 6.$$
Giải các bất phương trình:
15. $$\frac{0,2^{x-0,5}}{\sqrt{5}} > 5 \cdot 0,04^{x-1}.$$
16. $$0,8^{\frac{3-x}{1-x}} < \frac{16}{25}.$$
17. $$\lg x^2 < \lg^2 x.$$
18. $(x^2 - 4) \log_{0,5} x > 0.$
19. $$\log_{0,5} (2x + 6) > \log_{0,5} (x + 8).$$
20. $$\frac{|2x - 3| - x}{x - 2} > 0.$$
21. Với những giá trị nào của $a$ thì phương trình $(5a - 1)x^2 - (5a + 2)x + (3a - 2) = 0$ có hai nghiệm bằng nhau?
22. Rút gọn:
$$4x^4 \left(\frac{x}{a} + \sqrt[5]{a}x^{-0,6}\right) - \frac{1}{2} - 5^{0,4} \sqrt[5]{a}x^{-0,6} + \frac{3x}{a} \sqrt[5]{a^{-0,2}} \sqrt{ax^{-1}}$$
23. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chia đôi góc giữa đường trung tuyến và đường cao kẻ xuống cạnh huyền.
24. Diện tích tam giác đều dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông gấp đôi diện tích tam giác vuông đó. Xác định các góc của tam giác vuông.