Về các bài toán quang trắc học

Kvant 1971, số 7 tr. 41-43 Thẻ IGK8

Bản dịch máy từ tiếng Nga. Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

Về các bài toán quang trắc

V. E. Belonuchkin

Các bài toán quang trắc thường gây khó khăn lớn khi đưa chúng vào các bài tập.

Điều này phần lớn liên quan đến việc không biết áp dụng đúng định luật bình phương nghịch đảo.

Để hình dung rõ ý nghĩa của một định luật nào đó, cần hiểu nó được rút ra từ những lập luận nào và với những giả thiết nào, khi nào nó đúng và khi nào không, cần bổ sung nó ra sao nếu không thể áp dụng ngay.

Vậy định luật bình phương nghịch đảo là gì?

Hãy nhớ lại nội dung của nó: độ rọi tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đến nguồn sáng.

Còn độ rọi là gì? Như đã biết, đó là tỉ số giữa quang thông và diện tích mà nó chiếu tới; nếu ánh sáng phát ra từ điểm O (hình 1) và truyền đều theo mọi hướng, thì chẳng hạn, tới các diện tích $P_1$ và $P_2$ , được nhìn từ điểm O dưới những góc khối bằng nhau, sẽ tới những quang thông bằng nhau. Còn các diện tích thì tỉ lệ với bình phương khoảng cách từ điểm O. Cần lưu ý rằng lập luận này đúng đối với nguồn điểm phát ánh sáng đều theo các hướng khác nhau, nghĩa là vào bất kỳ hai góc khối bằng nhau nào cũng phát ra những quang thông bằng nhau.

Nếu nguồn sáng có những tính chất như vậy, thì định luật bình phương nghịch đảo chỉ là một biểu hiện cụ thể của định luật bảo toàn năng lượng: do ánh sáng truyền thẳng, cùng một năng lượng (cùng một quang thông) tới diện tích chắn một góc khối đã cho, không phụ thuộc vào diện tích đó cách nguồn bao xa.

Vì vậy, đặc trưng đầy đủ của một nguồn sáng điểm là cường độ sáng — quang thông do nguồn phát vào một đơn vị góc khối. Nếu nhờ một phần tử quang học nào đó (thấu kính, gương) thu được ảnh, thì dĩ nhiên ảnh đó cũng là một nguồn sáng. Có thể nói gì về cường độ sáng của nó?

Đáng tiếc, nhiều người cho rằng cường độ sáng của ảnh luôn bằng cường độ sáng của nguồn. Có đúng vậy không? Hoàn toàn không phải lúc nào cũng vậy. Ở đây chúng ta không nói đến sự hấp thụ và tán xạ ánh sáng bởi các thấu kính và gương —

Hình 2.

các tổn hao này sẽ không được xét đến. Có những nguyên nhân khác làm cường độ sáng của nguồn và của ảnh của chúng khác nhau.

Trước hết, ảnh hầu như không bao giờ phát đều theo mọi hướng; điều này, đặc biệt, liên quan đến kích thước hữu hạn của thấu kính và gương. Chẳng hạn, gương phẳng không làm thay đổi cường độ sáng: cường độ sáng của ảnh bằng cường độ sáng của nguồn. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng ảnh không phát ánh sáng theo mọi hướng. Thật vậy, điểm $A$ (hình 2) được chiếu sáng cả bởi đèn lẫn bởi ảnh của nó trong gương, còn điểm $B$ thì ảnh không thể chiếu sáng. Cường độ sáng của ảnh theo hướng này bằng không.

Hãy xét một ví dụ khác.

Nguồn $O$ chiếu sáng màn $P$ qua thấu kính phân kỳ $J$ (hình 3). Ảnh của nguồn $O'$ nằm gần màn hơn nguồn; nếu cường độ sáng của nó bằng cường độ sáng của nguồn, thì màn sẽ được chiếu sáng mạnh hơn so với khi không có thấu kính. Nhưng việc xét trực tiếp các quang thông cho ta điều gì?

Hình 3.

Khi không có thấu kính, toàn bộ ánh sáng đi trong nón $AOB$ rơi vào màn. Khi có thấu kính, một phần ánh sáng này đi qua ngoài màn, và độ rọi của màn phải giảm.

Rõ ràng, điều này liên quan đến việc cường độ sáng của ảnh $O'$ nhỏ hơn cường độ sáng của nguồn $O$ . Thật vậy, cường độ sáng được gọi là tỉ số giữa quang thông và góc khối, còn ta thấy rằng sau thấu kính ánh sáng truyền trong một góc khối lớn hơn, hơn nữa

$\frac{\Omega}{\Omega'} = \frac{(O'J)^2}{(OJ)^2}.$

Do đó, $\frac{I_0}{(OJ)^2} = \frac{I_1}{(O'J)^2}.$ Nếu độ rọi của màn không có thấu kính là $E_0 = \frac{I_0}{(OC)^2}$ , thì khi có thấu kính

$E_1 = \frac{I_1}{(O'C)^2} = \frac{E_0 (O'J)^2 (OC)^2}{(OJ)^2 (O'C)^2} < E_0.$

Tỉ số giữa cường độ sáng của ảnh và của nguồn luôn bằng tỉ số giữa bình phương các khoảng cách của chúng đến phần tử quang học tạo ra ảnh. Chẳng hạn, hãy chứng minh điều này đối với ảnh trong gương lõm.

Gọi $O$ là nguồn sáng, còn $O'$ là ảnh của nó trong gương $AB$ (hình 4). Khi đó quang thông do nguồn phát ra trong nón $AOB$ , sau khi phản xạ trên gương và đi qua điểm $O'$ , truyền trong nón $A'O'B'$ , có độ lớn bằng $AO'B$ . (Dưới độ lớn của nón, tất nhiên,

được hiểu là góc khối tương ứng với nó.)

Giả sử cường độ sáng của nguồn $O$ bằng $I$ . Quang thông truyền trong nón $AOB$ và bằng $I \frac{S_{AB}}{(OC)^2}$ , trong đó $S_{AB}$ là diện tích bề mặt của gương $AB$ . Từ ảnh $O'$ quang thông đi vào góc khối bằng $\frac{S_{AB}}{(O'C)^2}$ ; do đó, cường độ sáng của ảnh

$I' = I \frac{(O'C)^2}{(OC)^2}.$

Và trong trường hợp này, ta thu được sự tương ứng như mong đợi.

Cũng đáng chú ý thêm một sự kiện nữa. Xét độ rọi của các mặt phẳng $P$ và $P_1$ (hình 4). Đối với $P$ thì mọi việc đều rõ: mặt bên trái của nó được nguồn $O$ chiếu sáng, và độ rọi

$E = \frac{I}{(OP)^2};$

mặt bên phải được ảnh $O'$ chiếu sáng, độ rọi của nó

$E' = \frac{I'}{(O'P)^2}.$

Còn trên mặt phẳng $P_1$ thì sao? Toàn bộ ánh sáng phản xạ trên phần gương giữa các điểm $B$ và $D$ phải đi qua mặt phẳng này. Luồng sáng đó sẽ chiếu sáng mặt bên phải của mặt phẳng; độ rọi của nó là

$E_{P_1} = E_{BD} \frac{S_{BD}}{S_{P_1}} = E_{BD} \frac{(O'C)^2}{(O'P_1)^2}.$

Mặt khác,

$E_{BD} = \frac{I}{(OC)^2} = \frac{I'}{(O'C)^2}.$

Như vậy, độ rọi của mặt bên phải của mặt phẳng $P_1$ , ký hiệu là $E_{P_1}$ , bằng $\frac{I'}{(O'P_1)^2}$ , như thể mặt này của mặt phẳng được chiếu sáng bởi ảnh $O'$ . Điều đó cũng tự nhiên, vì ánh sáng đã phản xạ từ gương.

Mặt bên trái của mặt phẳng $P_1$ được chiếu sáng bởi chính nguồn $O$ , và độ rọi của nó bằng $\frac{I}{(OP_1)^2}$ .

Khi nào cường độ sáng của ảnh bằng cường độ sáng của nguồn? Khi và chỉ khi khoảng cách từ nguồn và từ ảnh đến phần tử quang học (thấu kính, gương) tạo ra ảnh đó bằng nhau. Đặc biệt, cường độ sáng của ảnh thu được trong gương phẳng luôn bằng cường độ sáng của nguồn. Trong thấu kính hội tụ và gương lõm, sự bằng nhau như vậy xảy ra khi nguồn đặt ở khoảng cách tiêu cự kép, còn trong thấu kính phân kì và gương lồi thì không thể thu được ảnh của một nguồn sáng thực có cùng cường độ như chính nguồn đó.

Tại sao lại có điều kiện về nguồn ảo? Hãy kiểm tra xem có thể thu được trong thấu kính phân kỳ một ảnh ở cùng khoảng cách với thấu kính như nguồn hay không. Nếu độ lớn tuyệt đối của tiêu cự thấu kính được ký hiệu là $F$ , thì công thức thấu kính trong trường hợp ta quan tâm sẽ có dạng: $-\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d}$ , từ đó $d = -2F$ . Dấu “trừ” trước khoảng cách từ thấu kính đến ảnh cho biết ảnh là ảnh ảo. Rõ ràng, nguồn phải là ảo. Nói đơn giản hơn, một chùm tia sáng hội tụ phải chiếu tới thấu kính. Một ví dụ về tình huống như vậy được chỉ ra ở hình 5, trong đó $J_1$ và $J_2$ lần lượt là thấu kính hội tụ và phân kỳ có tiêu cự bằng nhau về độ lớn, còn $O$ là nguồn sáng. Nếu bỏ $J_2$ , ta sẽ thu được ảnh $O'$ có cùng cường độ sáng như nguồn.

*) Lưu ý rằng khi giải bài toán, ta đã coi một số khoảng cách là bằng nhau, chẳng hạn $OA, OB, OC$ và $OD$ , dù thực ra chúng không hoàn toàn bằng nhau. Có thể coi sự khác biệt giữa chúng là nhỏ nếu các khoảng cách $AC, CD$ v.v. là nhỏ so với chúng.