Về sự chuẩn bị toán học của thí sinh dự tuyển

57

VỀ SỰ CHUẨN BỊ TOÁN HỌC CỦA THÍ SINH DỰ TUYỂN

Ngày 22 tháng 12 năm 1970, tại Viện Thép và Hợp kim Moskva, ban giám hiệu cùng với bộ môn toán cao cấp đã tổ chức một cuộc họp các giáo viên toán của các trường phổ thông thành phố Moskva, dành để thảo luận việc chuẩn bị toán học cho thí sinh dự tuyển vào các trường đại học kỹ thuật.

Giáo sư I. E. Bazilievich, trưởng bộ môn toán cao cấp, và giáo sư M. A. Akivis đã trình bày báo cáo chung “Về trình độ chuẩn bị toán học cần thiết của thí sinh dự tuyển”. Báo cáo nêu rằng khi học khóa toán cao cấp ở trường đại học kỹ thuật, đặc biệt thường xuyên phải sử dụng các phần sau đây của chương trình toán phổ thông: biến đổi các biểu thức đại số và lượng giác, các tính chất của các hàm sơ cấp và đồ thị của chúng, giải các loại phương trình, bất phương trình và hệ phương trình hoặc bất phương trình khác nhau, khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực và căn số học, các định lý và công thức cơ bản của hình học, v.v.

Tuy nhiên, chính các phần này lại là những phần mà nhiều thí sinh dự tuyển và sinh viên năm đầu nắm vững kém. Các báo cáo viên nhấn mạnh rằng nhiều thí sinh dự tuyển không biết trình bày bài làm của mình một cách đúng đắn và mạch lạc, điều đó gắn liền với việc không biết suy nghĩ rõ ràng và tuần tự.

Cuối báo cáo đã nêu một số điểm mà việc thực hiện chúng sẽ góp phần nâng cao trình độ chuẩn bị toán học của thí sinh dự tuyển:

a) trong toàn bộ quá trình dạy toán ở trường phổ thông cần chú ý đến tính chặt chẽ lôgic và tính mạch lạc của khóa học; học sinh phải biết suy nghĩ, lập luận đúng đắn và diễn đạt tư tưởng của mình một cách mạch lạc;

b) khi giải các loại phương trình và bất phương trình khác nhau cần sử dụng khái niệm miền giá trị cho phép và tập cho học sinh theo dõi sự thay đổi của miền này khi thực hiện những phép biến đổi này hoặc khác;

b) cần đặc biệt chú ý đến các yêu cầu kỹ thuật đối với các biểu thức đại số và lượng giác; cần yêu cầu ghi nhớ các công thức cơ bản của đại số, lượng giác và hình học;

г) cần đạt được sự nắm vững chắc chắn các tính chất và đồ thị của các hàm sơ cấp; các tính chất này phải được sử dụng khi giải phương trình và bất phương trình;

d) khi giải các bài toán hình học, học sinh phải biết vẽ hình đúng và đưa ra sự biện minh rõ ràng cho mọi phép dựng hình và tính toán;

e) chương trình toán hiện hành ở trường phổ thông không bao gồm một số chủ đề mà việc biết chúng là mong muốn khi học khóa toán ở trường đại học kỹ thuật. Trong đó có lý thuyết tổ hợp, nhị thức Newton, định lý Bézout và giải phương trình nhị thức. Những chủ đề này cần được đưa vào nội dung các giờ học tự chọn về toán. Ngoài ra, trong các giờ học này cần nghiên cứu số phức và các hàm lượng giác ngược sâu hơn mức mà chương trình quy định.

Trong báo cáo của phó giáo sư V. V. Goldberg, những sai lầm phổ biến nhất mà thí sinh dự tuyển mắc phải trong các kỳ thi tuyển sinh đã được nêu rõ.

58

Số sai lầm nhiều nhất trong bài làm của thí sinh gặp khi giải các phương trình mũ và logarit, đặc biệt là bất phương trình; các phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối; khi viết dạng tổng quát của các góc tương ứng với một giá trị đã cho của các hàm lượng giác, đặc biệt là khi giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất; khi dựng đồ thị của các hàm siêu việt đơn giản nhất.

Thường gặp những sai lầm có tính lôgic, đặc biệt trong khóa học hình học: học sinh nhầm lẫn định lí với định nghĩa, định lí thuận với định lí đảo; chuyển các tính chất của một số lớp riêng của hàm số sang các lớp tổng quát hơn (cho rằng trung tuyến luôn trùng với đường phân giác hoặc đường cao của tam giác, v.v.); không nắm được phương pháp quy nạp toán học; không thấy sự cần thiết phải chứng minh các tính chất của một số hàm số (lượng giác, mũ, logarit).

Một lần nữa, sự trình bày sơ sài của các bài làm viết của nhiều thí sinh đã được lưu ý. Khi ghi lời giải bài toán, thiếu trình tự lôgic, một số lập luận cần thiết (đặc biệt trong hình học) bị bỏ qua.

Người báo cáo đã chỉ ra một số sai lầm cụ thể mà thí sinh mắc phải khi làm bài viết năm 1970.

Khi giải phương trình vô tỉ

$$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}$$

nhiều thí sinh sau khi lập phương đã thay $$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1}$$ bằng $$\sqrt[3]{x-1}$$, do đó nhận được một nghiệm ngoại lai ($x=0$).

Khi giải bất phương trình, thường thực hiện những biến đổi dẫn đến các nghiệm ngoại lai. Những

nghiệm ngoại lai này khó loại bỏ bằng cách thử lại, vì chúng có thể lấp đầy cả một khoảng.

Chẳng hạn, khi giải bất phương trình

$$x > \sqrt{2x+24}$$

bằng cách bình phương, nhiều người nhận được đáp số $x > 6$, $-12 < x < -4$, không nhận thấy rằng mọi giá trị $x$ thuộc khoảng thứ hai đều không thỏa mãn bất phương trình đã cho (điều này không thể xảy ra nếu họ nhận thấy rằng từ điều kiện suy ra bất phương trình $x > 0$). Khi giải bất phương trình

$$\left(x^2+x+1\right)^{\frac{x+5}{x+2}} \geq \left(x^2+x+1\right)^3$$

nhiều người đã đúng khi thấy rằng cần xét các trường hợp $x^2+x+1 > 1$ và $0 < x^2+x+1 < 1$, nhưng quên rằng, vì bất đẳng thức là không nghiêm ngặt, nghiệm của nó còn là các giá trị $x$ mà tại đó $x^2+x+1=1$, tức là $x=0$ và $x=-1$.

Việc không biết cách thao tác đúng với giá trị tuyệt đối và căn số học đã dẫn đến nhiều sai lầm. Chẳng hạn, khi giải phương trình

$$\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x,$$

trong đó

$$\pi < x < \frac{3}{2} \pi,$$

nhiều người viết

$$\sqrt{1+\sin 2x} = \sin x + \cos x$$

thay vì đúng là

$$\sqrt{1+\sin 2x} = |\sin x + \cos x| = -\sin x - \cos x,$$

vì $\pi < x < \frac{3}{2} \pi$.

Khi rút gọn biểu thức

$$\left(a+x\right)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} + \left(a-x\right)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}$$

với $x=4$ ($a-1$), $1 < a < 2$ ta cần biến đổi biểu thức $\sqrt{(a-2)^2}$.

59

Nhiều người đã viết
$$\sqrt{(a-2)^2} = a - 2$$
thay vì đúng là
$$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = 2-a,$$
vì $1 < a < 2$.
Nhược điểm chủ yếu khi giải các phương trình lượng giác là sự hiểu biết hời hợt về các công thức lượng giác, không biết giải những phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Giải phương trình
$$\frac{1 + tg x + \dots + tg^n x + \dots}{1 - tg x + \dots + (-1)^n tg^n x + \dots} = 1 + \sin 2x,$$
một số thí sinh hoàn toàn không biết phải làm gì với vế trái của phương trình này. Những người thấy ở đó hai cấp số nhân vô hạn giảm dần đã viết đúng rằng vế trái có nghĩa nếu $|tg x| < 1$, tức là $-\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi$, nhưng sau khi giải phương trình, họ để lại cả hai dãy nghiệm:
$$x_1 = k\pi \text{ và } x_2 = -\frac{\pi}{4} + k\pi.$$
Phương trình
$$3tg2x - 4tg3x = tg^23xtg2x$$
nhiều người giải một cách không hợp lí, biểu diễn $tg2x$ và $tg3x$ qua $tgx$, kết quả thu được một phương trình đại số phức tạp đối với $tgx$. Nhưng nhanh nhất để đạt mục đích cũng là phép biến đổi:
$$3(tg2x - tg3x) = tg3x(1 + tg2xtg3x),$$
và, vì trong ĐKXĐ $1 + tg2xtg3x \neq 0,$
$$3\frac{tg2x - tg3x}{1 + tg2xtg3x} = tg3x,$$
hay $-3tgx = tg3x.$

Khi giải phương trình
$$8\cos^4x = 3 + 5\cos 4x$$
một số thí sinh đã đi đến phương trình bậc bốn đối với $cos x$, mà họ không giải được. Điều đó sẽ không xảy ra nếu đưa phương trình đã cho về phương trình đại số đối với $y = \cos 2x$.
Với cách giải này, ta được phương trình bậc hai
$$2y^2 - y - 1 = 0.$$
Khi giải các bài toán hình học, ngoài những sai lầm lôgic đã nêu ở trên, báo cáo viên còn chỉ ra những hình vẽ không đúng (biểu diễn sai thiết diện trục của hình nón, hình cầu — về vấn đề này xem bài của N. M. Beskin trên số 12 năm 1970 của tạp chí chúng tôi), không biết các tính chất của hình chóp có các cạnh hoặc các mặt nghiêng đều, không biết dựng góc phẳng có hai cạnh là các góc giữa những mặt bên kề nhau của hình chóp hoặc tìm tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình chóp. Những bài toán trong đó cho các yếu tố phi tuyến tính (diện tích, thể tích) hoặc cho quan hệ giữa một số yếu tố nào đó (tổng hai cạnh góc vuông, tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần, v.v.) gây khó khăn lớn cho thí sinh.

Cuối cuộc họp, thay mặt các giáo viên, thư ký khoa học của ban trung học thuộc Hội Toán học Moskva A. Ya. Margulis và chuyên viên phương pháp cao cấp về toán của Viện bồi dưỡng giáo viên S. M. Gul đã phát biểu; đặc biệt, họ chỉ ra ích lợi không thể nghi ngờ của những cuộc họp như vậy và mong rằng các cuộc họp tương tự sẽ được tổ chức cả trong tương lai.

M. L. Smolyansky,
G. N. Dyachenko,
V. V. Goldberg