Ấn tượng của một thí sinh Olympic

54

giải vô địch sinh viên. Tuy nhiên, kết quả không chính thức của giải vô địch đồng đội dựa trên tổng số điểm ghi được của các đội đến từ các quốc gia khác nhau luôn được nhiều người quan tâm.

Kết quả tốt nhất được thể hiện bởi đội Vengrin, đội ghi được 255 điểm trên tổng số 336 điểm có thể; đội Liên Xô có 205 điểm. Tiếp theo là các đội CHDC Đức - 142 điểm, Ba Lan - 118 điểm, Anh - và Romania - mỗi đội 110 điểm. Mỗi đội còn lại ghi được ít hơn 100 điểm.

Lễ bế mạc Olympic diễn ra tại Đại học Anh em Jan Amos Kamensky, nơi những người chiến thắng Olympic được trao bằng cấp và giải thưởng. Không còn nghi ngờ gì nữa, đối với nhiều bạn trẻ tham gia Olympic, cuộc gặp gỡ toán học quốc tế này chỉ là khởi đầu cho một cuộc sống thú vị và tuyệt vời trong toán học hiện đại.

Tại cuộc họp cuối cùng, người đứng đầu phái đoàn Ba Lan bắt đầu sáp nhập các quốc gia tham gia Olympic XIII vào Olympic XIV ở Cộng hòa Nhân dân Ba Lan.

Bài toán Thế vận hội Olympic quốc tế lần thứ XIII

Ngày đầu tiên của sự hoàn hảo

1. Chứng minh khẳng định sau:
   “Đối với bất kỳ hợp lệ

Vào ngày 10 tháng 7, nhóm của chúng tôi đã đến Bratcheskaya. Ban tổ chức đã gặp chúng tôi tại nhà ga, họ đã ngay lập tức tạo ra một bầu không khí sôi nổi và thoải mái tại Olympic. Tại khách sạn, chúng tôi đã gặp được đối thủ của mình. Các thành viên của các đội khác ngay khi gặp chúng tôi đã bắt đầu giao nhiệm vụ của mình. Trong số bài toán, các điều kiện mà chúng tôi có thể phân tích cú pháp, một điều kiện do xương sườn Nam Tư đề xuất nổi bật:
“Người dùng. Người đầu tiên nói: “Hai con rùa đang bò phía sau tôi”, người thứ hai nói: “Một con rùa đang bò trước mặt tôi và một con rùa đang bò phía sau tôi”, và người thứ ba là: “Hai con rùa đang bò trước mặt tôi và một con rùa đang bò phía sau tôi.” Làm thế nào điều này có thể được? Lời giải nó được tạo ra bởi sức mạnh và sức thuyết phục của nó *).

Sáng hôm sau các học sinh được đưa đến Zilini

*) Đáp số: con rùa thứ ba đang nói dối.

nau, nơi Thế vận hội sẽ diễn ra. Trên đường đi, mọi người đều hài lòng nhìn khu nghỉ dưỡng hiện đại Pstyatyny và thị trấn cổ Trencin. Các camera hoạt động không bị gián đoạn. Ở Zilina, lần đầu tiên chúng tôi xem xét tầm quan trọng của kỹ thuật xây dựng, nơi có tình trạng của lỗ hổng phía bắc. Trên đường trở về, trên một trong những con đường núi, chiếc xe buýt chở các đội Áo, Bulgaria, Cuba và CHDC Đức “nằm nghiêng”. Mọi người vội vã

55

Các thành viên của ủy ban Liên Xô. Vinh quang bên phải: V. Erokhin, D. Logachev, O. Lyashko, I. S. Petrkov, A. Aleksadrov; hàng thứ hai: S. Gashkov, E. Sallinen, A. Chistov, M. Tsfasman.

để giúp đỡ, nhưng khi họ phát hiện ra rằng anh ấy không bị thương gì cả, máy quay lại bắt đầu quay. Vụ việc khiến chúng tôi mất tập trung suy nghĩ về sự kiện sắp tới và thuyết phục chúng tôi rằng JECTS, từ quen thuộc của “chiếc xe buýt bị lật”, “âm thanh” gần như giống nhau trong tất cả các ngôn ngữ.

Những ngày quan trọng đã đến - những ngày thành tựu. Vào ngày 13, Olympic chính thức khai mạc. Tại Reznidum có những người tổ chức và lãnh đạo ủy ban cũng như lãnh đạo nhóm của chúng tôi, V. A. Svortsov và I. S. Petrkov. Họ chúc chúng tôi thành công. Ngay cả trước đó, số sê-ri của những người tham gia đã được báo cáo (theo bảng chữ cái tiếng Slovak):

1. Aleksadrov Alexey.
2. Tsfasman Mikhail.
3. Chistov Alexander.
4. Gashkov Sergey.
5. Erokhin Vasily.
6. Logachev Dmitry.
7. Lyashko Oleg.
8. Sallinen Evgeniy. Những người từ các ủy ban khác cũng nhận được những con số tương tự. Tất cả những người tham gia có số 1 được xếp vào phòng 1, số 2 vào phòng 2, v.v. Những chiếc phong bì nằm trên bàn chứa thông tin về ngày đầu tiên của nhiệm vụ.

bài toán đầu tiên khá đơn giản. Nhóm của chúng tôi đã nhận được 34 okans cho nó. Trường hợp n=3 có thể được chứng minh bằng đại số. Với n=5, chúng tôi lưu ý rằng đối với $a_1 > a_2 > ... > a_5$ (đối với định nghĩa), các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm của tổng là dương, số hạng thứ hai và thứ tư là số âm và về giá trị tuyệt đối thì số hạng thứ nhất lớn hơn số hạng thứ hai và số hạng thứ năm lớn hơn số hạng thứ tư. Đối với n khác, các ví dụ trái ngược nhau được xây dựng.

bài toán thứ hai và thứ ba hóa ra là khó khăn nhất đối với hoa hồng của chúng tôi. bài toán thứ hai có một ý tưởng không hề tầm thường: tất cả các polytope $P_1, P_2, ..., P_9$ đều được chứa trong các polytopes, chúng ta thu được từ $P_1$ được chuẩn bị cho hệ số 2 của điểm tương đối $A_1$. Đối với bài toán này, nhóm chỉ nhận được 21 okans. Trong bài toán thứ ba, người ta đã chứng minh rằng từ k số hạng đầu tiên của dãy như vậy, người ta có thể xây dựng số hạng thứ $k+1$. Hãy lấy tất cả các ước nguyên tố của k số hạng này của dãy: $p_1, p_2, ..., p_m$; con số

$$2^{(p_1-1) (p_2-1) ... (p_m-1)} - 1$$

chia hết cho $p_1, p_2, ..., p_m$. Nhưng vì tất cả các số nguyên tố này đều là số lẻ nên số $2^{(p_1-1) (p_2-1) ... (p_m-1)} - 3$ không chia hết cho bất kỳ số nào trong số chúng, do đó, nó là số nguyên tố cùng nhau với tất cả các số hạng của dãy. Đối với bài toán này, chúng tôi cũng nhận được không đủ, chỉ có 27 okans. Vào buổi tối cùng ngày, một chuyến du ngoạn nào đó đã diễn ra, không có ký ức nào về nó, vì mọi suy nghĩ đều mải mê với nhiệm vụ.

Bài toán của ngày thứ hai, theo ủy ban Liên Xô, dễ dàng hơn ngày đầu tiên. Câu bài toán thứ tư có lẽ sẽ khó hơn nếu câu hỏi của nó không có gợi ý: thực tế là góc $\alpha$ xuất hiện trong biểu thức cho góc dài gợi lên mong muốn tự nhiên là “tạo ra” nó trên mặt phẳng. Nó được giải quyết bằng cách “mở” cuốn sổ lên một mặt phẳng. bài toán này đã mang lại cho đội 34 okans.

Làm ơn, cách dễ nhất trong số bài toán là cách thứ năm. Hơn nữa, tôi không thể tin rằng lời giải 7 okans đã được trao cho cô ấy, giống như chiếc thứ hai. Giải được bằng phương pháp quy nạp toán học. Chỉ cần chứng minh rằng đối với hệ $S$ thỏa mãn điều kiện bài toán cho $k$ điểm, có một phép truyền song song hình thành (cùng với $S$) hệ $S_1$, thỏa mãn điều kiện bài toán cho $k+1$ điểm. Đối với điều này bài toán nhóm của chúng tôi đã nhận được 51 okans.

Trong bài toán 6, giả sử ngược lại, dễ dàng nhất là viết ra tất cả các bất đẳng thức có thể có cho một hàng có tổng tối thiểu các số trong đó và tương tự, cho một cột. Sau đó, bạn cần cộng tất cả các bất đẳng thức và lưu ý rằng tổng trong hàng (cột) đã chọn không vượt quá $\frac{n}{2}$. Đối với bài toán thứ sáu, nhóm của chúng tôi đã nhận được 38 okans.

Chúng tôi đã biết được những kết quả này, nhưng ngay sau màn trình diễn, toàn đội có vẻ như cử tạ đã thể hiện kém. Điều duy nhất an ủi chúng tôi đôi chút là cuộc trò chuyện với