Bài toán M116—M120; F128—F132

31

NHIỆM VỤ

M116. Chứng minh rằng nếu bạn nối trung điểm của các cạnh liên tiếp của một lồi $n$-gon $M$ (Hình 1), thì đa giác thu được
a) chu vi không nhỏ hơn một nửa chu vi $M$ ($n \geqslant 3$);
6) diện tích ít nhất bằng một nửa diện tích $M$ ($n \geqslant 4$).
G. A. Galperin

Cơm. 1.

M117. Một số người quan sát con ốc trong $t$ phút. Mỗi con được quan sát trong khoảng 1 phút và sau đó, trong phút này, con ốc sên bò được khoảng 1 mét. Không có lúc nào con ốc không được quan sát. Cô ấy có thể bò theo con đường nào trong $t$ phút này?

Trước tiên hãy thử giải bài toán này với các giá trị nhỏ của $t$, chẳng hạn như $t=2,5$.

N. N. Konstantinov

M118. Với bốn cạnh của bàn cờ có kích thước $n \times n$, người ta dựng một đường viền rộng bằng hai ô.

Chứng minh rằng quân cờ có thể vượt qua ranh giới này bằng cách nâng mỗi ô một lần và chỉ một lần, khi và chỉ khi $n-1$ là bội số của 4.

Y. I. và Y. Y. Sorkinyi

M119. Chứng minh rằng nếu chọn một điểm trên mỗi mặt của đa giác lồi và từ điểm này vẽ một vectơ hướng vuông góc với mặt tương ứng ra phía ngoài và có chiều dài bằng diện tích của mặt này thì tổng các vectơ đó sẽ bằng 0.

N. B. Vasiliev

M120. Trong một số bộ, thao tác * được giới thiệu, thao tác này gán hai phần tử $a$ và $b$ của bộ này với một phần tử $a*b$ từ bộ này. Người ta biết rằng

1. cho ba phần tử bất kỳ $a$, $b$ và $c$
   $a*(b*c) = b*(c*a)$;
2. nếu $a*b = a*c$, thì $b=c$;
3. nếu $a*c = b*c$ thì $a=b$.
   Chứng minh rằng phép tính *
   a) giao hoán, nghĩa là với hai phần tử bất kỳ $a$ và $b$
   $a*b = b*a$;
4. kết hợp, nghĩa là đối với ba phần tử bất kỳ $a$, $b$ và $c$
   $(a*b)*c = a*(b*c)$.

S. A. Yanovskaya

32

Cơm. 2.

F128. Một thanh mỏng đồng nhất được phân loại sao cho nó nằm trên hai mặt phẳng nghiêng với đường chân trời một góc α và β; góc giữa các mặt phẳng là 90° (Hình 2). Điều gì sẽ xảy ra với cây đũa phép? Vị trí cuối cùng của nó sẽ là bao nhiêu nếu ma sát giữa thanh và các mặt phẳng là rất nhỏ?

B. B. Bukhovtsev

F129. Một vật đặt tại điểm A bên trong một quả cầu rỗng đứng yên. Trong trường hợp nào nó tới điểm dưới B của hình cầu nhanh hơn: nếu nó trượt dọc theo bề mặt hình cầu hoặc nếu nó trượt dọc theo đường thẳng AB? Ma sát trong cả hai trường hợp đều không đáng kể, vận tốc ban đầu của vật bằng 0 và khoảng cách AB nhỏ hơn nhiều so với bán kính của quả cầu.

G. L. Komkin

F130. Bên trong quả cầu nhẵn có quả cầu được tải trọng nhỏ nhất. Kích thước của ô nhiễm là gì?

đặt ở điểm dưới cùng của quả cầu để quả bóng được giữ ở điểm trên cùng của nó? Đường kính của quả cầu là d, điện tích của quả bóng là q và khối lượng của nó là m.

G. L. Komkin

F131. Một ống thủy tinh nhẹ có chiều dài l và mặt cắt ngang s, được lấp đầy hoàn toàn bằng nhựa rue và bịt kín một đầu, được đặt nằm ngang trong một bể có rue gần bề mặt của rue. Công tối thiểu phải được thực hiện để di chuyển ống đến vị trí thẳng đứng mà đầu hở của nó sẽ chạm vào bề mặt của rãnh?

F132. Một hình trụ có khối lượng m được thả lỏng và đặt giữa hai mặt phẳng kín đặt hợp với nhau một góc 2α (Hình 3). Biết rằng hệ số ma sát giữa hình trụ và các mặt phẳng bằng k, hãy xác định các lực mà hình trụ tác dụng lên tường.

Cơm. 3.

34

Lưu ý rằng trong sách giáo khoa đại số hiện đại hơn, đẳng thức của đa thức thường được hiểu là đẳng thức của các hệ số tương ứng (sau khi rút gọn về dạng chuẩn $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$). Nếu tất cả các đẳng thức trong bài toán của chúng ta được hiểu theo cách này, thì khi chuyển từ (3) sang (4), từ “rõ ràng” phải được thay thế bằng từ “theo định nghĩa”. Chúng tôi sẽ dành các ghi chú riêng trong «Kvant» vào năm tới để thảo luận chi tiết về đa thức là gì và cách xác định chính xác các phép toán khác nhau trên đa thức.

A. L. Toom

M75

a) Chứng minh rằng trong mọi khối đa diện lồi tổng chiều dài tất cả các cạnh đều lớn hơn ba lần đường kính. (Đường kính của khối đa diện được gọi là đoạn nhỏ nhất có thể có các đầu tại các đỉnh của khối đa diện).

b) Chứng minh rằng với hai đỉnh $A$ và $B$ bất kỳ của một khối đa diện lồi đều có ba đoạn thẳng gãy, mỗi đoạn thẳng đi dọc theo các cạnh của khối đa diện từ $A$ và $B$ và không có hai đoạn thẳng nào đi dọc theo cùng một cạnh.

b) Chứng minh rằng nếu hai cạnh được cắt trong một khối đa diện lồi thì với hai đỉnh bất kỳ $A$ của nó trong $B$ đều có một đường đứt nét và một đường thẳng từ $A$ đến $B$ dọc theo các cạnh còn lại.

d) Chứng minh rằng trong bài toán 6) có thể chọn ba đoạn thẳng không có đỉnh chung theo cặp, ngoại trừ hai đầu $A$ và $B$.

Rõ ràng, từ bài toán d) theo sau bài toán 6), từ 6) theo sau c) và a)*. Ta sẽ phác thảo chứng minh ngắn gọn của a) và b) và giải d).

a) Gọi $AB$ là đường kính của $M$. Hãy chiếu tất cả các cạnh $M$ lên $AB$. Hãy xem có bao nhiêu điểm được chiếu vào một điểm $C$ nào đó nằm bên trong $AB$. Nếu thông qua $C$ chúng ta vẽ mặt phẳng $P$ vuông góc với $AB$ thì $P$ sẽ cắt $AB$ dọc theo đa giác lồi. Các đỉnh của đa giác này (và có ít nhất ba trong số chúng!) là các điểm giao nhau $P$ với các cạnh $M$ và do đó, ít nhất ba cạnh $M$ được chiếu vào mỗi điểm bên trong của đoạn $AB$. Từ đây dễ dàng suy ra mệnh đề bài toán a).

Cho lời giải bài toán b) và d) chúng ta sẽ sử dụng mệnh đề rõ ràng bằng trực giác sau đây: đối với hai đỉnh bất kỳ $A$ và $B$ của khối đa diện lồi $M$ đều có một đường đi từ $A$ đến $B$ dọc theo các cạnh $M$. Chúng tôi để lại bằng chứng cho người đọc.

*) Chúng ta cũng lưu ý rằng sử dụng định lý Ford-aFalerson về luồng cực đại và đường cắt cực tiểu (xem «Kvant» Số 4, 1970, trang 24, bài toán 4) dễ dàng suy ra 6); chỉ cần áp dụng định lý này cho mạng được hình thành bởi các cạnh của một khối đa diện (cạnh nào được tính hai lần—“ở đó” và “sau”).

b) Cắt các cạnh $r_1$ và $r_2$. Hiển nhiên có đường đi $L_1$ nối hai đầu của $r_1$ và không đi qua $r_2$. Thật vậy, có hai mặt được gắn vào cạnh $r_1$. Cạnh $r_2$ không nằm trên ít nhất một trong các mặt này, vì vậy $L_1$ có thể được coi là đường đi dọc theo ranh giới của nó. Tương tự, đối với cạnh $r_2$ có đường dẫn $L_2$. Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai đỉnh tùy ý $A$ và $B$. Như đã đề cập ở trên, có một đường dẫn $L$ và một đường dẫn từ $A$ đến $B$ dọc theo các cạnh $M$. Bằng cách thay thế cạnh $r_1$ trong đường dẫn $L$ bằng đường dẫn $L_1$ và cạnh $r_2$ bằng đường dẫn $L_2$ (tất nhiên nếu các cạnh này gặp nhau trong $L$), chúng ta có được đường dẫn mong muốn dọc theo các cạnh còn lại. Lưu ý rằng đường dẫn này có thể tự tính toán, tuy nhiên, việc thiết lập này không khó.

d) Như đã nói ở trên, đối với hai đỉnh $A$, $B$ bất kỳ của một khối đa diện lồi đều có một đường đi từ $A$ đến $B$ và một đường đi dọc theo các cạnh. Hãy gọi độ dài của một đường đi như vậy là số cạnh mà nó bao gồm và gọi nó là khoảng cách giữa $A$ và $B$ - hãy biểu thị nó bằng $d(A,B)$ - độ dài của đường đi ngắn nhất (theo số cạnh). Để chứng minh khẳng định bài toán, ta ấn định điểm $A$ và dùng quy nạp về khoảng cách giữa các điểm $A$ và $B$. Nếu $d(A,B) = 1$ thì $A$ và $B$ nằm trên cùng một cạnh và mệnh đề là hiển nhiên vì người ta có thể đi từ $A$ đến $B$ dọc theo cạnh $AB$ và các mặt của hai mặt liền kề với $AB$. Giả sử rằng mệnh đề đã được chứng minh cho tất cả các đỉnh nằm từ $A$ ở khoảng cách $n-1$. Đặt $d(A,B) = n-1$ và $d(B',B) = 1$. Hãy xem xét tất cả các mặt chứa $B'$. Tập hợp tất cả các cạnh thuộc tất cả các cạnh như vậy bao gồm “radushkas” (các cạnh có điểm cuối $B'$) và một “vòng” (tạo thành các cạnh còn lại). Tuy nhiên, một trong các đỉnh của vòng là điểm $B$. Theo giả thuyết quy nạp, tồn tại một đường đi $l_1, l_2, l_3$ từ $A$ đến $B'$ không có điểm chung theo cặp ngoại trừ hai đầu. Rõ ràng, mỗi đường trong số ba đường đi này đều đi qua ít nhất một đỉnh của vòng. Các đỉnh như vậy của vòng được gọi là đỉnh $A_1$ và $A_2$ (một trong số chúng có thể là đỉnh $B$). Có hai trường hợp có thể xảy ra.

Trường hợp 1. Chiếm các đỉnh $A_1$ và $A_2$ thuộc các đường khác nhau, ví dụ $l_1$ và $l_2$. Sau đó, chúng ta xây dựng đường dẫn từ $A$ đến $B$ như sau. Đường đi đầu tiên: từ $A$ đến $A_1$ đến $l_1$, sau đó từ $A_1$ đến $B$ dọc theo vòng (lưu ý rằng bằng cách xây dựng điểm $A_1$ ở phần cuối, chúng ta không giao nhau với các đường dẫn $l_2$ và $l_3$. Đường đi thứ hai: từ $A$ đến $A_2$ đến $l_2$, sau đó từ $A_2$ đến $B$ dọc theo vòng tròn. Đường đi thứ ba: từ $A$ đến $B'$ đến $l_3$, sau đó dọc theo cạnh $B'B$. Rõ ràng, ba đường dẫn được xây dựng theo cặp không có điểm chung ngoại trừ. kết thúc.

Trường hợp 2. Chiếm các đỉnh $A_1$ và $A_2$ thuộc cùng một đường đi, ví dụ $l_1$.

35

Sau đó, chúng ta hãy xác định đỉnh nào trong số các đỉnh này sẽ bằng nhau khi di chuyển từ $A$ đến $B^1$ dọc theo $l_1$ và lấy đoạn $l'_1$ của đường đi $l_1$ từ $A$ đến đỉnh đầu tiên trong số các đỉnh này. Sau đó, khoảng cách là ba đường đi $l'_1, l_2, l_3$, khoảng cách của tập đỉnh của bóng đèn bị đường đi $l'_1, l_2, l_3$ chiếm giữ và chúng ta sẽ thực hiện lại các phép tính trước đó liên quan đến các đường tramut này. Nếu gặp trường hợp 1 thì chúng ta sẽ xây dựng các đường dẫn cần thiết theo cách được mô tả ở trên, nhưng nếu gặp lại trường hợp 2 thì chúng ta sẽ xây dựng khoảng cách của đường ba mới $l'_1, l_2, l_3$. Nếu trường hợp 2 phát sinh cho bộ ba này, thì chúng ta sẽ tạo khoảng cách cho một bộ ba mới, v.v. Vì chúng ta đang di chuyển xa hơn dọc theo cột và có các đỉnh trên cột thuộc về các đường dẫn $l_2$ và $l_3$, nên ở một bước nào đó, chúng ta sẽ gặp trường hợp 1 và các đường dẫn bắt buộc từ $A$ đến $B$ sẽ được xây dựng. Vấn đề d) lời giải. Một tuyên bố thậm chí còn mạnh mẽ hơn là đúng: với hai đỉnh bất kỳ $A$ và $B$, người ta có thể tìm thấy ba chuỗi mặt không có các mặt chung và trong mỗi chuỗi đó, mặt đầu tiên chứa đỉnh $A$, mặt cuối cùng chứa đỉnh $B$ và các mặt lân cận có một cạnh chung.

A. G. Kushiirenko

M76

Trong một công ty gồm $n$ người, cứ hai người xa lạ thì có hai người quen nhau, và cứ hai người quen thì không còn người quen nào nữa. Chứng minh rằng trong công ty này mỗi người biết cùng một số người và có cùng một lợi thế.

Với mỗi người, $X$ sẽ được ký hiệu là $m_X$ số người quen của mình.

Hãy làm quen với $A$ và $B$ (Hình 1). Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_A$ tập hợp những người quen $A, M_B$ - tập hợp.

Cơm. 1.

Sự tàn ác của người quen $B$. Hãy chứng minh điều đó

(1) $M_A$ và $M_B$ không có phần tử chung,
(2) mỗi người trong số $M_A$ có chính xác một người quen trong $M_B$ và
(3) mỗi $M_B$ có chính xác một người quen trong $M_A$.

Câu (1) ngay sau điều kiện: $A$ và $B$ không thể có những người quen chung. Hãy chứng minh (2); (3) chứng minh tương tự. Đặt $X \in M_A$ (ký hiệu này có nghĩa là “$X$ thuộc tập hợp $M_A$”). Hoặc $X$ là $B$, và sau đó, theo (1), bản thân anh ấy chỉ có một người quen duy nhất ở $M_B$ - $A$. Hoặc $X \neq B$, thì theo (1), $X$ không quen thuộc với $B$, và do đó, $X$ và $B$ phải có, ngoài $A$, chính xác một người quen chung, tức là $X$ có chính xác một người quen trong $M_B$, đó là điều cần phải có đã được chứng minh. Từ (2) và (3) suy ra rằng có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa các tập hợp $M_A$ và $M_B$, do đó $m_A = m_B$.

Vì vậy, nếu $A$ và $B$ quen thuộc thì $m_A = m_B$. Nếu $A$ và $B$ không quen thuộc thì họ có một người bạn chung $C$, và do đó, $m_A = m_B$.

Nan rõ ràng hơn lời giải loại này đã được gửi cho chúng tôi bởi $A$. Zinchenko từ Arkhangelsk, V. Lozinov và A. Slinkin từ Moscow, A. Karimov từ Ufa, K. Radyunov từ Irkutsk, V. Pronin từ Odessa, V. Faimelevy từ Armavir, S. Gritsoryan từ Baku.

Nhiều độc giả đã quyết định bài toán inchete. Với mỗi người $A$ gọi $M_A$ là tập hợp những người quen của anh ta và $N_A$ là tập hợp những người không quen biết với $A$. Khi đó, mỗi phần tử từ $N_A$ có thể được liên kết với một cặp phần tử từ $M_A$ (những phần tử mà anh ta quen thuộc) và không khó để chứng minh rằng sự tương ứng này giữa tập hợp $N_A$ và tập hợp tất cả các cặp phần tử có thể có $M_A$ sẽ là một đối một. Do đó, nếu $M_A$ chứa $m_A$ phần tử thì $N_A$ chứa $\frac{m_A(m_A-1)}{2}$ và tổng cộng có $n = 1 + m_A + \frac{m_A(m_A-1)}{2}$ người trong công ty. Sự bình đẳng này đúng với bất kỳ người nào $A$. Nhưng phương trình

$$n = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2}$$

chỉ có (tại $n > 1$) một nghiệm dương, do đó $m_A$ giống nhau với mọi $A$. (Tương tự, lời giải được thảo luận trong cuốn sách của A. Lehman “Bộ sưu tập bài toán Tối ưu hóa toán học Moscow”, bài toán XXIII, 11, 10, 3).

Thật thú vị khi tìm hiểu xem $n$ những công ty như vậy thực sự tồn tại ở đâu. Chúng tôi không biết câu trả lời đầy đủ đáp số cho câu hỏi này. Chúng ta đã thấy rằng $n = \frac{m(m+1)}{2} + 1$, trong đó $m$ là số lượng người quen của một người, nhưng không cần thiết với bất kỳ công ty $n$ nào như vậy. Ví dụ, không khó để chứng minh

37

Cơm. 6.

Sự bổ sung như vậy đáp số của O. Zaumyslov (Zelenograd, vùng Moscow), A. Zeleny (Izmanl, vùng Odessa), V. Rozhkin (Perm), N. Fedin (Omsk), A. Demidov (Moscow), A. Zhukov (Kirovsk, quận Khariz, vùng Donetsk), V. Kovtun (Kyiv), A. Vorobyov (Torzhok, vùng Kalinin).

F85

Có thể kiểm tra một quá trình (chu trình) khép kín bằng khí lý tưởng sao cho điểm A và B (Hình 7) nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt?

Nhiệt độ $T_1$ và $T_2$, tương ứng với các đường đẳng nhiệt được vẽ trong hình và thể tích $V_1$ (hoặc $V_3$) được đưa ra. Nhiệt độ $T_1$ và $T_2$ xác định hai đường đẳng nhiệt:

$$pV = \frac{m}{\mu}RT_1 \quad \text{and} \quad pV = \frac{m}{\mu}RT_2$$

(m là khối lượng của khí, μ là khối lượng của một gam phân tử khí, R là hằng số khí). Vì thể tích $V_1$ đã cho nên chúng ta biết điểm C và E của chu trình: thể tích $V_1$ và $V_3$ ($V_3 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$), nhiệt độ $T_1$ và $T_2$, và áp suất $p_2 = \frac{m}{\mu}RT_1V_1$.

Tất cả các điểm khác trong chu kỳ có thể được xác định.

Cơm. 7.

Chỉ xem khi chúng tôi chỉ định một trong các điểm - B hoặc A.

Chúng tôi sẽ giả sử rằng chúng tôi có khối lượng nhất định $V_2$. Nó xác định điểm B ($P_B = P_2$, $V_B = V_2$, $T_B = T_1 \frac{V_2}{V_1}$) và điểm D ($V_D = V_2$, $T_D = T_2$, $p_D = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$). Điểm A nằm trên đường đẳng cự AD và trên đường đẳng áp AC. Do đó, $p_A = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$, $V_A = V_1$ và $T_A = T_2$, $\frac{V_1}{V_2}$.

Nhiệt độ khí tại các điểm A và B là như nhau nếu $V_2$ được chọn sao cho

$$T_2 \frac{V_1}{V_2} = T_1 \frac{V_2}{V_1},$$

nghĩa là, nếu $V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$. Nhiệt độ khí tại các điểm A và B của chu trình trong trường hợp này bằng $T = \frac{p_2V_2\mu}{mR} = \sqrt{T_1T_2}$ (vì $p_2V_2 = p_2V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ và $p_2V_1 = \frac{m}{\mu} RT_1$).

Đúng lời giải được thêm bởi N. Fedin (Omsk).

F86

Trong thí nghiệm của Millikan, vị trí của giọt có khối lượng $10^{-5}$ e được xác định với độ chính xác 10 μm. Sự không chắc chắn trong việc xác định tốc độ của nó là gì?

Do nguyên lý bất định $\Delta p \Delta x \geq h$. Vì vậy $\Delta v \geq \frac{h}{m \Delta x}$. Nghĩa là, tốc độ rơi không thể thay đổi với độ chính xác lớn hơn $10^{-16}$ cm/giây.

Một sự bổ sung đáp số như vậy cho B. Glukhovsky (Sverdlovsk), B. Kovtun (Kyiv) và A. Zlomnik (Zhukovsky, vùng Moscow).

Tôi. Sh. SLOBODECHY

F87

Nguồn của sóng cầu chuyển động trên mặt nước với vận tốc u. Vẽ hình ảnh sóng trên mặt nước khi vận tốc sóng v lớn hơn và nhỏ hơn vận tốc nguồn.

Sóng phát sinh trên mặt nước bởi một nguồn đứng yên; trông giống như những vòng tròn đồng tâm (Hình 8, a). Nếu nguồn đang chuyển động thì các sóng mà nó tạo ra ở những thời điểm sau đó sẽ trộn lẫn theo hướng chuyển động của nguồn. Giả sử vận ​​tốc của nguồn nhỏ hơn vận tốc truyền sóng. Khi đó mặt sóng sẽ bao quanh nguồn và dạng sóng sẽ như trong Hình 8, b. Tuy nhiên, nếu tốc độ của nguồn lớn hơn tốc độ truyền sóng thì mặt sóng không thể

38

Cơm. 8.

có thể vượt qua nguồn và sóng sẽ truyền đi trong góc tạo bởi hai tia phát ra từ nguồn (Hình 8, c). Góc có thể dễ dàng tìm thấy từ hình. Trong thời gian nguồn truyền đi quãng đường AO, mặt trước của sóng phát ra tại điểm A truyền đi quãng đường AB và $\frac{AB}{AO} = \frac{v}{u}$. Đó là lý do tại sao

$$\sin \alpha = \frac{v}{u}.$$

lời giải chính xác được gửi bởi A. Zlomnik (Zhukovsky, vùng Moscow), V. Kovtun (Kyiv), N. Fedin (Omsk), A. Demidov (Moscow), A. Zeleny (Izmail, vùng Odessa), O. Zamyslova (Zelenograd, vùng Moscow), G. Zaitsev (Gagra), V. Belov (Vologda), N. Sidelev (Tsiropinsk, Vùng Kherson), O. Trunov (Jalal-Abad Kyrgyzstan, Liên Xô), G. Furman (Chernivtsi, SSR Ukraina), S. Araslanova (Nikhne-Ivkino, quận Kumensky, vùng Kirov).

L. G. Aslamaov

F88

Một con tàu chứa đầy cát chuyển động với gia tốc theo phương ngang, do đó bề mặt cát nghiêng về phía chân trời một góc nhất định. Phần trên của bình được đóng lại bằng nắp. Góc này sẽ thay đổi như thế nào nếu bình chứa đầy nước?

Hãy xem xét một phần tử chất lỏng có khối lượng Δm (Hình 9). Có hai lực tác dụng lên nó: trọng lực Δmg và lực N - hợp lực của các lực ép từ chất lỏng xung quanh. Dưới tác dụng của các lực này, phần tử chất lỏng chuyển động theo phương ngang với gia tốc a. Điều này có nghĩa là các hợp lực Δmg và N hướng theo phương ngang và bằng Δma. Để thực hiện được điều này, lực N phải tạo một góc α với phương thẳng đứng sao cho tanα = $\frac{a}{g}$.

Những cân nhắc này không phụ thuộc vào vị trí chính xác của phần tử chất lỏng được chọn. Hãy chọn

Cơm. 9.

nó trên bề mặt. Khi đó, rõ ràng là nó ở trạng thái cân bằng so với bình và nước chỉ nếu bề mặt chất lỏng vuông góc với lực N: nếu không thì thành phần lực N, song song với bề mặt chất lỏng, sẽ làm cho phần tử chất lỏng mà chúng ta đã xác định chuyển động dọc theo bề mặt. Vì vậy, bề mặt chất lỏng trong một bình chuyển động nghiêng so với đường chân trời một góc α = arctan $\frac{a}{g}$.

Bây giờ hãy để một phần tử chất lỏng có khối lượng Δm ở bên trong chất lỏng. Giả sử rằng chúng ta đặt một vật thể có cùng thể tích nhưng có mật độ nhỏ hơn mật độ của nước. Rõ ràng là trong trường hợp này cơ thể chúng ta sẽ trôi theo hướng của lực N. Theo đó, không giống như một con tàu đang đứng yên, các đường áp suất không đổi không nằm ngang mà tạo một góc α với đường chân trời. Rõ ràng, áp suất không đổi khi di chuyển mà chúng ta cần trong bình sẽ giống nhau. Do đó, rõ ràng góc nghiêng của giao diện chất lỏng sẽ bằng góc nghiêng của bề mặt bề mặt trước khi thêm nước vào bình: α = arctg $\frac{a}{g}$.

Điều này là tự nhiên. Người quan sát, người đang ở trên xe đẩy, sẽ nói rằng chất lỏng hành xử như thể chiếc bình sẽ kết thúc, và các lực và gia tốc trọng trường g’ trong hệ tọa độ của nó hướng một góc α so với phương thẳng đứng. Trong một bình đứng yên, mặt phân cách chất lỏng vuông góc với lực của chất lỏng, bất kể hình dạng của bình.

lời giải chính xác được gửi bởi A. Alexandrov (Glazov, UASSR), V. Belov (Vologda), Y. Intin (Rechnitsa, vùng Gomel, VSSR), V. Kovalev (Kommunarsk, vùng Voroshilgovgrad), A. Karimov (Ufa), S. Araslova (Nikhne-Ivkino, quận Kumensky, vùng Kirov), A. Demidov (Moscow), N. Fedin (Omsk), E. Dolev (Moscow), L. Bratsinsky (Frunze).

Tôi. Sh. Slobodetsky