Ghi chú cờ vua và toán học

47

VUA TUYỆT VỜI

Trước đây, chúng ta đã xem xét rất nhiều loại bài toán toán học trên bàn cờ. Bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào những bài toán cũng có thể được xếp vào loại toán học nhưng nội dung cờ vua của chúng phong phú hơn trước. Nói cách khác, chúng ta sẽ quan tâm đến các yếu tố toán học không được biểu diễn trong trò chơi cờ vua.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại đặc điểm “trò chơi bàn cờ” gắn liền với khoảng cách. Các trường e1 và a5 trong Hình 1 có khoảng cách “chéo”. Vua có e1 có thể đến ô a5 sau 4 nước đi. Hóa ra đường chéo là đường ngắn nhất có thể; nó không thể được thay thế bởi bất kỳ chế độ mẫu hệ nào khác.

Bây giờ hãy xem xét hai trường nằm trên cùng một đường thẳng:

trường e1 và e8 theo chiều dọc e. Di chuyển theo nó, vua e1 có thể đến ô e8 sau 7 nước đi. Rõ ràng là quá trình trưởng thành của nhà vua có thể đã khác. Có chính xác 393 (!) cách để đến ô e8 trong 7 nước đi giống nhau. Vua có thể di chuyển đến ô e8 với các ma trận ngoằn ngoèo kỳ quái nhất, miễn là chúng nằm trong khuôn khổ của hình tiếp theo trong Hình 1 và miễn là vua di chuyển từ cấp này sang cấp khác trong mỗi nước đi. Để chứng minh

Cơm. 1.

bạn có thể đếm số đường mẫu chứa 0, 2, 4 hoặc 6 bước di chuyển theo đường chéo. Sử dụng một số thông tin từ tổ hợp (xem “Quant” số 1, 1971), dễ dàng tìm được:

$$1 + A_7^2 + C_7^2 \cdot C_5^2 + C_7^3 \cdot C_4^3 = 393.$$

Vì vậy, chuyển động của quân vua theo đường thẳng, nếu cần thiết, có thể được thay thế bằng chuyển động theo đường đứt quãng. Đây là một minh họa thực tế về sự cân nhắc quan trọng này.

Trong Hình 2, quân tốt a7 không có khả năng tự vệ và cơ hội duy nhất của Đen là đáp lại K:a7 không thể tránh khỏi bằng Krs7 bằng một trận hòa, vì vua trắng sẽ không thể thoát khỏi cảnh giam cầm. Con đường dẫn đến quân tốt của vua trắng sẽ mất 5 nước đi. Tuy nhiên, chỉ có một ma trận chiến thắng duy nhất: 1. Npf7-e6! Npb2—c3 2. Kreb—d5!!, và không-

48

Cơm. 2. I. Maizelis, 1921. Trắng xuất phát và thắng.

khả năng xảy ra 2… Kd4 là tai hại cho Đen. (Không hoạt động, ví dụ: 1. Kb Krs3 2. Kd6 Kd4 3. Ks6 Krs5! 4. Kpb7 Kd6 5. Kd: a7 Ks7).

Tất nhiên, trong thực tế còn có những trường hợp tế nhị hơn.

Các nhà toán học từ lâu đã thất vọng trong việc tạo ra cấu trúc lý thuyết toán học của trò chơi cờ vua và chỉ giới hạn bản thân ở những câu hỏi cụ thể. Tuy nhiên, việc nghiên cứu nhiều thế cờ hoàn toàn mang tính chất toán học. Hãy đưa ra một vài ví dụ, tất cả đều liên quan đến lý thuyết về kết thúc cầm đồ.

Ở thế cờ trong Hình 3, vua trắng không tham gia ván cờ.

Cơm. 3.

lại, và tất cả phụ thuộc vào việc vua đen có đuổi kịp con tốt h3 hay không. Những người chơi cờ thiếu kinh nghiệm thường lý luận như thế này: Tốt đi đây, vua ở kia, tốt ở đây, vua ở kia… tức là cái gọi là “trên ngón tay”. Đồng thời, họ thường bối rối (đặc biệt khi vẫn còn một số con tốt trên bàn cờ) và tính toán sai. Hóa ra là rất dễ dàng đánh giá kết quả của trò chơi bằng cách sử dụng “quy tắc bình phương”: chỉ cần tìm hiểu xem quân vua, trong quá trình di chuyển của mình, có thể vào “ô” của quân tốt hay không là đủ, trong trường hợp này được hiển thị trong Hình 3: c3-c8-h8-h3. Hơn

Cơm. 4.

Sẽ dễ dàng hơn khi chỉ vẽ một đường thẳng - đường chéo của hình vuông (h3-c8). Từ đó, ở vị trí trong Hình 3, Đen hòa ở nước đi của mình (đi vào ô vuông) và thua ở nước đi của đối thủ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét vị trí trong Hình 4. Đen ngay lập tức thua ở nước đi của mình, vì vua trắng di chuyển đến b6 và ăn tốt a6. Như vậy, Trắng cần chuyển lượt đi cho đối thủ. Làm thế nào để làm điều này? Sau 1. Kd5 Ks8 không có gì mang lại 2. Kd6 (2… Kd8 3. c7 + Ks8 4. Ks6 bế tắc!), và 2. Ks5 Ks7 dẫn về vị trí ban đầu. Đạt được nhịp độ bằng cách sử dụng cái gọi là “phương pháp tam giác”. Trong trường hợp này, tam giác này (c4-d4-d5) được hiển thị trong cùng Hình 4.

Sau 1. Krs5—d5 Krs7—c8 2. Kd5—d4 Ks8—b8 3. Kd4—c4! Kb8-c8 4. Kc4-d5 Trắng đạt được mục tiêu của mình, vì vào ngày 4… Kc8-d8 5. Kd5-d6 hiện thắng và vào ngày 4… Kc8-c7-5. Kd5-c5.

Bây giờ chúng ta chuyển sang vị trí trong Hình 5a. Mặc dù Trắng có thêm hai quân tốt ở đây nhưng việc giành chiến thắng là vô cùng khó khăn. Để phân tích các vị trí có cấu trúc chốt bị chặn, nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng: “Khoảng cách tới hạn Bianchetti”, “Hệ tọa độ Ebers” và các phương pháp khác. Lý thuyết chung về các kết thúc tốt bị chặn được gọi là lý thuyết về các trường tương ứng. Việc nghiên cứu từng vị trí cụ thể có thể được coi là một lời giải toán học tinh tế bài toán, nhưng một lý thuyết toán học tổng quát vẫn chưa được tạo ra. Tất nhiên, chúng tôi không thể ở lại

49

cập nhật trong ghi chú của chúng tôi về tất cả các chi tiết về lý thuyết của các trường tương ứng*), chúng tôi sẽ giới hạn chỉ nghiên cứu vị trí của Hình 5a, thay thế các kết quả phân tích trong Hình 56.

Trắng có ý định chiếu qua ô d6 hoặc qua f4, vua đen phải có thời gian để ngăn chặn cả hai kế hoạch này. Như vậy, nếu vua trắng đến c5 thì quân đen phải gặp nó ở ô e7 (với quân hậu ở d7, quân đen không có thời gian để bảo vệ quân tốt g4: Kpc5-d4-e3-f4). Nói cách khác, trường c5 tương ứng với trường e7. Nếu vua trắng ở f4 thì quân đen phải đúng giờ ở h5, tức là ô f4 tương ứng với ô h5.

Ô d4 rất quan trọng đối với Trắng. Dễ dàng nhận thấy trong trường hợp này nhà vua

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này, chẳng hạn như trong cuốn sách “Kết thúc cờ vua”, tập. 1, do Yu biên tập. Averbakh, M., 1956.

phải đứng trên f7 để phản hồi Kpd4-c5 bằng Kpf7-e7 và để có đáp số Kpf7-g6 đến Kpd4-e3. Từ ô c4 Trắng có thể chơi Kpc5 hoặc Kpd4. Vua đen trong trường hợp này phải nằm ở f8, từ đó có thể có cả Kpe7 (với Kpc4-c5) và Kpf7 (với Kpc4-d4). Từ ô d3 các bước di chuyển có thể là Kpc4, Kpd4, Kpe3. Do đó, trường d3 tương ứng với trường g7. Từ ô vuông c3 các bước di chuyển có thể là Kpd4, Kpc4, Kpd3. Trong trường hợp này, hình vuông duy nhất mà vua đen có thể đến f7, f8, g7 là hình vuông g8.

Bằng cách duyệt tuần tự tất cả các ô quan trọng nhất mà vua trắng tùy ý sử dụng và các trường tương ứng chuyển động của quân đen, chúng ta thu được Hình 56. Các trường tương ứng ở đây được chỉ định bằng cùng một số. Lưu ý rằng sự tương ứng được tìm thấy không phải là duy nhất, như có thể thấy trong hình. Ví dụ: ô b4 và d4 của vua trắng tương ứng với ô vuông f7 của quân đen.

Bây giờ lời giải gần như được tìm thấy tự động. Trong trường hợp này, bạn chỉ nên tuân theo một quy tắc duy nhất: đặt vua trắng trên ô tương ứng với vị trí hiện tại của vua đen hoặc trên ô tương ứng mà vua đen không thể đến được bằng một nước đi. Vì trường b1 tương ứng với trường g7 nên trường b2—h7 và trường a2—h8, nên chỉ 1. Kpa1—a2!! được giải quyết. Hậu quả Kpb1? Kpg7! hoặc 1. Kpb2? Kph7! người da đen ngẫu nhiên sẽ được thêm vào rút thăm.

Vì diễn biến tiếp theo của trò chơi rất đơn giản nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày tùy chọn chính (nếu Đen chơi khác, thì vì bạn có thể dễ dàng thiết lập cho mình, anh ta thậm chí còn thua nhanh hơn):

1. Kpa1—a2!! Kph8—h7
2. Kpa2—b2! Kph7—g7
3. Kpb2—b3! Kpg7—g8
4. Kpb3—c3! Kpg8—f8
5. Kpc3—c4! Kpf8—f7
6. Kpc4—d4! Ở hướng ngược lại, như trong Hình 5a, vua trắng đã “lên đường” và quân đen không có khả năng tự vệ.

Rõ ràng, bằng cách sử dụng Hình 56, có thể dễ dàng ước tính vị trí cho các vị trí ban đầu khác của quân hậu, nhưng chỉ dành cho cấu hình bếp này.