Về số nguyên tố

71

Về số nguyên tố

A. D. Bendukidze

Lưu ý này nói về hệ số về số nguyên tố. Mọi người bắt đầu quan tâm đến những con số này từ thời cổ đại. Nhiều câu hỏi thú vị đã được đặt ra liên quan đến số nguyên tố. Đáng chú ý là đáp số trên một số trong số chúng vẫn chưa được biết đến cho đến ngày nay.

1. Cho dãy số tự nhiên:

1, 2, 3, 4, 5, …
Không có số nhiều nhất trong chuỗi này. Làm thế nào điều này rõ ràng? Điều này có nghĩa là dù số tự nhiên $n$ có lớn đến đâu thì vẫn có một số thậm chí còn lớn hơn. Trên thực tế, đây sẽ là số tự nhiên tiếp theo, số $n+1$. Vậy có vô số số tự nhiên Đây chính xác là điều mà các nhà toán học muốn nói khi họ nói rằng tập hợp các số tự nhiên là vô hạn.

2. Số nhỏ nhất trong dãy số tự nhiên là số 1. Nó chỉ có một ước số - đây là 1. Các số tiếp theo là 2. Số này có hai ước: 1 và 2. Tiếp theo là 3. Nó cũng có hai ước: 1 và 3. Nhưng số tiếp theo, số 4, có ba ước: 1, 2, 4. Gót chân có hai ước, số sáu có bốn, v.v. Một số có thể có nhiều ước số. Ví dụ: số 60-12 có các ước: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Một số chỉ có hai ước: 1 và chính số này được gọi là số nguyên tố; nếu một số có nhiều hơn hai ước số thì nó được gọi là hợp số. Vì vậy, ví dụ, các số 2, 3, 5, 7, 11 là số nguyên tố và 4, 6, 8, 9, 10 là hợp số. Còn số 1 thì sao? Rốt cuộc, nó chỉ có một ước số! Số này không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

Do đó, tập hợp các số tự nhiên tự nhiên phát triển thành ba phần hoặc như người ta nói, thành ba tập hợp con. Tập hợp con đầu tiên bao gồm một số, cụ thể là số 1; số thứ hai chứa tất cả các số nguyên tố và số thứ ba chứa các số tổng hợp. Lưu ý rằng mỗi số tự nhiên rơi vào một và chỉ một trong các tập con này, nghĩa là, như người ta thường nói, các tập con này rời rạc từng cặp.

3. Dễ dàng chứng minh được tập hợp số là vô hạn. Trên thực tế, đã có các số có dạng $2^n$, trong đó $n$ nhận các giá trị 2, 3, 4,…, vô số, nhưng bên cạnh đó còn có các số tổng hợp khác!

Chà, chúng ta có thể nói gì về số nguyên tố - tập hợp của chúng là hữu hạn hay vô hạn? Nhà toán học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng Euclid, sống ở thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên, đã chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Hãy xem Euclid lập luận như thế nào khi chứng minh sự thật này.

Giả sử $p$ là một số nguyên tố nào đó. Hãy chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố lớn hơn $p$. Trên thực tế, tất cả các số nguyên tố lên tới $p$ đều có thể thay đổi, bao gồm cả chính $p$ và với tích này, chúng tôi thêm một số nguyên tố. Chúng tôi nhận được số sau:

$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \dots p + 1.$$