Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

60

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

(Khoa Cơ và Toán, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học, Khoa Vật lý)

Tất nhiên, những người hâm mộ toán học và vật lý sẽ quan tâm đến các khoa của Đại học Moscow đào tạo các chuyên gia về vật lý và toán học. Đó là Khoa Cơ học và Toán học, Khoa Vật lý, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học.

Khoa Cơ học và Toán học có hai khoa - toán học và cơ khí. Các chuyên gia được đào tạo ở đây trong các lĩnh vực phát triển toán học lý thuyết và ứng dụng cũng như cơ học hiện đại.

Khoa Vật lý có sáu khoa: vật lý thực nghiệm và lý thuyết, vật lý của cơ thể sáng tạo, vật lý hạt nhân, vật lý phóng xạ và điện tử, địa vật lý và thiên văn học. Khoa chuẩn bị cho các nhà vật lý nghiên cứu phổ rộng làm việc trong các viện nghiên cứu và các lĩnh vực khác nhau của nền kinh tế quốc gia.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học non trẻ đào tạo các chuyên gia có khả năng ứng dụng hiệu quả các phương pháp toán học và tính toán hiện đại trong các viện kỹ thuật và các lĩnh vực khác nhau của nền kinh tế quốc dân.

Khoa có các khoa chuyên môn nơi các nhà khoa học hàng đầu của đất nước làm việc. Bắt đầu từ năm thứ ba, sinh viên được phân công (theo sự lựa chọn của họ) vào các khoa để nghiên cứu chuyên sâu về phần vật lý hoặc toán học hẹp hơn mà họ đã chọn. Tất cả các khoa đều có cơ sở vật chất cần thiết và các phòng thí nghiệm chuyên ngành, giúp kết hợp giáo dục lý thuyết với đào tạo thực tế.

Để giúp đỡ các ứng viên, có các khoa dự bị cho công việc và thanh niên nông thôn, các khóa học dự bị buổi tối và thư tín.

Dưới đây là ví dụ về các bài kiểm tra viết ứng dụng môn toán cho các khoa được chỉ định và vé cho bài kiểm tra vấn đáp môn vật lý tại khoa vật lý.

Khoa Cơ học và Toán học

Tùy chọn 1

1. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà bất đẳng thức đúng

$$\frac{\log_8 x}{\log_2 (1 + 2x)} \leq \frac{\log_2 \sqrt[3]{1 + 2x}}{\log_2 x}.$$

2. Điểm $A$ và $B$ được nối với nhau bằng hai con đường, một con đường ngắn hơn con đường kia 3 km. Một người đi bộ đi ra từ $B$ đến $A$ dọc theo một con đường ngắn hơn, đồng thời một chiếc xe đạp đi ra từ $A$ dọc theo con đường đó.

Một người đi bộ và một người đi xe đạp đồng thời tiến đến $A$ 2 giờ sau khi bắt đầu chuyển động. Trong thời gian này, người đi bộ đã đi một lần từ $B$ đến $A$ và người đi xe đạp đã đi hai lần theo cùng một hướng dọc theo tuyến đường vòng được tạo thành bởi hai con đường được đặt tên. Tìm vận tốc của người đi bộ và người đi xe đạp nếu biết rằng lần gặp thứ hai của họ sẽ xảy ra ở khoảng cách 3,5 km tính từ điểm $B$. (Tốc độ không đổi.)

3. Trong tam giác $ABC$ các cạnh $AB = 20$ m, $AC = 24$ m đã biết. Được biết, đỉnh $C$, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và giao điểm của bissertrix của góc $A$ tính từ cạnh $BC$ nằm trên đường tròn,

61

tâm của nó nằm trên cạnh AC. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

4. Trong tam giác paramid SABC, cạnh bên SC bằng cạnh AB và nghiêng với mặt phẳng đáy ABC một góc 60°. Được biết các đỉnh A, B, C và trung điểm các cạnh của paramid đều nằm trên một mặt cầu có bán kính 1 m. Chứng minh rằng tâm của hình cầu đã cho nằm trên cạnh AB và tìm chiều cao của paramid.

5. Cho ba phương trình có hệ số thực:

1. $x^2 - (a + b)x + 8 = 0$,
2. $x^2 - b(b + 1)x + c = 0$,
3. $x^4 - b(b + 1)x^2 + c = 0$.

Cái nào trong số chúng có ít nhất một gốc thực sự. Biết rằng nghiệm của phương trình thứ nhất lớn hơn một. Người ta cũng biết rằng tất cả các nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ ba và ít nhất một nghiệm của phương trình thứ nhất thỏa mãn phương trình thứ hai. Tìm các số a, b, c nếu $b > 3$.

Tùy chọn 2

1. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_9 x)^2 \geq \left( \log_3 \sqrt{1 - \frac{x}{4}} \right)^2.$$

2. Từ điểm A của đường cao tốc Kolschevo, một ô tô số tự động và một xe máy đồng thời đi cùng chiều, mỗi chiếc với tốc độ không đổi. Chiếc xe chạy không dừng dọc theo toàn bộ đường cao tốc theo một hướng. Tại thời điểm xe số tự động đuổi kịp người đi xe máy, người đi xe máy quay đầu lại, tăng vận tốc thêm 16 km/h và sau khi rẽ 22,5 phút, cùng lúc với xe số tự động người đó đến điểm A. Tìm chiều dài toàn bộ quãng đường của xe máy nếu đoạn đường này ngắn hơn chiều dài toàn quốc lộ là 5,25 km.

3. Trong tam giác ABC, góc C tù; phân giác BE của góc B chia cạnh AC thành các đoạn AE = 3 m và EC = 2 m. Biết điểm K nằm trên phần kéo dài của cạnh BC ngoài đỉnh C là tâm của đường tròn đi qua các điểm C, E và là giao điểm của phân giác góc B với phân giác của góc ACK. Tính khoảng cách từ điểm E đến cạnh AB.

4. Trong tam giác paramid SABC, các góc phẳng tại đỉnh S được biết là: $BSC = 90^\circ$, $ASC = ASB = 60^\circ$. Các đỉnh A, S và trung điểm của các cạnh SB, SC, AB, AC nằm trên một mặt cầu có bán kính 3 m. Chứng minh rằng cạnh SA là đường kính của quả bóng này và tìm thể tích của paramid.

5. Cho ba phương trình có hệ số thực:

1. $x^2 + ax + ac = 0$,
2. $x^2 - bx + c^3 = 0$,
3. $x^4 - bx^2 + c^3 = 0$.

Cái nào trong số chúng có ít nhất một gốc thực sự. Được biết, các giá trị tuyệt đối của các nghiệm của phương trình thứ nhất lớn hơn đơn vị. Người ta cũng biết rằng mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất là một nghiệm của phương trình thứ ba và ít nhất một trong các nghiệm của phương trình thứ nhất thỏa mãn phương trình thứ hai. Tìm các số a, b, c.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$9^1 - (x+2)^2 - 2.3^2 - (x+2)^2 + 7 = 0.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\sin^2 x} - 1 \geq \frac{|\text{ctg} x - 1| + 1}{\text{tg} x}.$$

3. Trong đoạn thẳng AOB, từ điểm B cũng như từ tâm vẽ một cung OC (C là giao điểm của cung này với cung AB khác) có bán kính BO. Đường tròn S$_1$ tiếp xúc với cung AB, cung OC và đường thẳng OA, đường tròn S$_2$ tiếp xúc với cung OC, đường thẳng OA và đường tròn S$_1$. Tìm tỉ số giữa bán kính hình tròn S$_1$ và bán kính hình tròn S$_2$.

4. Các gân bên của tam giác vuông SABC có đỉnh S nghiêng với mặt phẳng đáy ABC một góc 45°. Quả bóng chạm vào mặt phẳng của đáy ABC tại điểm A, ngoài ra còn chạm vào phần kéo dài của cạnh BS nằm ngoài đỉnh S. Qua tâm của quả bóng và chiều cao BD của phần đáy của phần mở rộng. Tìm góc nghiêng của mặt phẳng này với mặt phẳng đáy.

5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a mà bất đẳng thức
   $$\text{tg}^2 \left( \cos \sqrt{4\pi^2 - x^2} \right) - 4a \text{tg} \left( \cos \sqrt{4\pi^2 - x^2} \right) + 2 + 2a \leq 0$$ cũng có số hữu hạn lời giải. Đối với mỗi a như vậy, sự bất bình đẳng được chỉ ra.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$4^1 - (x-2)^2 - 2^3 - (x-2)^2 + 1 = 0.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$1 + \cos 2x \geq \cos x (1 + |1 - 2 \cos x|).$$

3. Dây AB vẽ trên đoạn thẳng AOB. Đường tròn S$_1$ có tâm nằm trên phân giác của hình cung tiếp xúc với dây AB và cung AB. Đường tròn S$_2$ tiếp xúc với dây AB, cung AB và đường tròn S$_1$. Vòng tròn S$_3$, khác với S$_1$, chạm vào dây cung AB, cung AB và vòng tròn S$_2$. Tìm tỉ số giữa bán kính hình tròn S$_2$ và bán kính hình tròn S$_3$.

4. Quả bóng chạm vào mặt phẳng đáy ABCD bởi cặp tứ giác vuông - giữaы SABCD tại điểm A và ngoài ra còn chạm vào cạnh SC. Vẽ một mặt phẳng cắt qua tâm quả cầu và cạnh đáy BC. Tìm góc nghiêng của mặt phẳng này