Bí ẩn của “tiên đề song song”

Kvant 1976, số 3 tr. 2, 4, 6, 7, 8 Thẻ ZQ1A

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bí ẩn của “tiên đề song song”

Hiệp hội bất thường

Tại một thành phố, một hiệp hội các nhà sưu tập đã được thành lập, tập hợp những người theo chủ nghĩa sưu tập tem, những người theo thuyết số học, con mắt của những người sưu tập kim tiêm, v.v. Người ta quyết định rằng hội đồng quản trị của hiệp hội nên bao gồm một số lẻ người (điều này thuận tiện cho việc bỏ phiếu). Người ta cũng quyết định rằng hội đồng quản trị sẽ được đặt trong một tòa nhà và mỗi người (tức là thành viên hội đồng quản trị) sẽ có điện thoại liên lạc nội bộ của riêng mình. Và để không làm phức tạp thiết bị liên lạc nội bộ, họ quyết định không lắp đặt công tắc mà kết nối trực tiếp từng người bằng đường dây điện thoại với ba người bất kỳ.

“Chà,” một trong những người sáng lập hiệp hội nói, “Tôi nghĩ cách tổ chức công việc của hội đồng này khá thuận tiện.”

“Tôi đặc biệt thích,” người thứ hai (Nhà sưu tầm nổi tiếng về toán học tò mò) nói, “rằng hoạt động của bảng có thể được mô tả bằng một sơ đồ tiên đề trừu tượng.” Hãy tự đánh giá, chúng tôi có ba khái niệm ban đầu: “con người”, “đường dây”, “kết nối” và chúng tôi muốn những tiên đề sau đây là đúng:

số người là số lẻ;
mỗi dòng kết nối chính xác hai người;
mỗi người được kết nối bằng đường dây với chính xác ba người khác.

Chà, mục đích của tiên đề này là gì? Có thể rút ra định lý nào từ đó để tạo thành một “lý thuyết” phản ánh hoạt động của chính phủ chúng ta không?
Tại sao, nếu bạn vui lòng! Thứ nhất, tiên đề 1 cho thấy có ít nhất một người tồn tại (xét cho cùng, số 0 là số chẵn!). Hơn nữa, tiên đề 3 còn thuyết phục chúng ta rằng vì có ít nhất một người nên sẽ có ba người khác, sao cho tổng số người không ít hơn bốn. Cuối cùng, một lần nữa áp dụng tiên đề 1, chúng ta thấy rằng tổng số người không ít hơn năm. Đây là định lý đầu tiên của “lý thuyết” này.
Chà, trên thực tế, tuyên bố này có thể được coi là một định lý, vì bạn đã chứng minh nó, tức là bạn đã suy luận nó một cách logic từ các tiên đề.
Hoặc đây là một ví dụ khác của một định lý rất đơn giản: trong năm người bất kỳ chắc chắn sẽ có hai người không nối nhau bằng một đường thẳng.
Chà, điều này có thể hiểu được: nếu không thì ít nhất bốn đường sẽ được kết nối với mỗi đường trong số năm đường này.
Hoàn toàn đúng! Nhân tiện, bạn đã nói: đường thẳng được “vẽ” về phía người đó. Điều này có thể được đưa ra một định nghĩa rõ ràng trong khuôn khổ tiên đề của chúng tôi. Cụ thể, nếu $A$ là một người nào đó và $l$ là một đường nối nó với một người khác, thì cặp $(A,l)$ sẽ được gọi là đầu vào.

— Và bây giờ chúng ta có thể nói rằng mỗi người $A$ tham gia đúng ba đầu vào $(A,l_1)$ , $(A,l_2)$ , $(A,l_3)$ . Điều này có nghĩa là ba dòng $l_1$ , $l_2$ , $l_3$ được “kết nối” với $A$ (tiên đề 3).

Tuyệt vời! — Người sưu tầm những điều tò mò về toán học mỉm cười.

— Tiếp tục lý luận của bạn, chúng ta có thể xây dựng định lý sau: số lượng tất cả các đầu vào là số lẻ. Xét cho cùng, người là một số lẻ (tiên đề 1) và mỗi người tham gia vào đúng ba đầu vào.

Đột nhiên, khuôn mặt của Gatherer tối sầm lại. Giọng anh trở nên đờ đẫn.

— Thật không may, người ta cũng có thể chứng minh rằng số lượng đầu vào là số chẵn. Xét cho cùng, mỗi dòng $l$ (kết nối, chẳng hạn như người $A$ và $B$ ) tham gia vào hai đầu vào: $(A,l)$ và $(B,l)$ , vì vậy số lượng tất cả đầu vào gấp đôi số lượng tất cả các dòng.

Đúng, nhưng điều này mâu thuẫn với định lý trước đó?

—Rắc rối đấy. Hóa ra tiên đề của chúng ta là mâu thuẫn, vì hai định lý mâu thuẫn nhau có thể được suy ra từ nó. Vì vậy, lý thuyết của chúng tôi bùng nổ: hệ thống truyền thông được mô tả bởi các tiên đề 1, 2 và 3 đơn giản là không thể thực hiện được.

Một tiên đề khác

Chúng ta nên làm gì? Số lượng thành viên hội đồng quản trị có nên chẵn không? Nhưng chúng tôi thực sự muốn tránh điều này!

“Tại sao, có một lối thoát khác,” Nhà sưu tập những điều tò mò về toán học trả lời. — Ta giữ nguyên tiên đề 1 và 2 và thay tiên đề thứ ba bằng tiên đề sau:

mỗi người được kết nối bằng đường dây với chính xác bốn người khác.

Đúng, bạn sẽ phải đặt số lượng dòng lớn hơn, nhưng các tiên đề sẽ trở nên nhất quán và các định lý sẽ được giữ nguyên. Như trước đây, tổng số người ít nhất là năm người; trong sáu người bất kỳ sẽ có hai người không nối nhau bằng một đường thẳng; tổng số đầu vào sẽ là số chẵn (và không còn mâu thuẫn nào ở đây nữa). Có thể chứng minh các định lý tiếp theo.

Xin lỗi, nhưng tại sao bạn lại chắc chắn rằng không có mâu thuẫn? Có, số lượng đầu vào hiện đã ổn; nhưng có lẽ, chứng minh ngày càng nhiều định lý mới, một ngày nào đó chúng ta vẫn sẽ gặp phải điều mâu thuẫn. Rốt cuộc, bạn sẽ không khẳng định rằng bạn biết trước tất cả các định lý có thể được chứng minh trong một lý thuyết dựa trên tiên đề mới này! Và nếu vậy thì ai có thể đảm bảo không có mâu thuẫn?
Ồ, tôi khá chắc chắn đây! Bây giờ tôi sẽ giải thích cho bạn lý do có được sự tự tin như vậy. Tôi hy vọng bạn không nghi ngờ tính “đúng đắn” của số học?
Tôi không nghi ngờ gì cả; nhưng số học có liên quan gì đến nó?
Và đó là những gì nó phải làm với nó. Bây giờ, từ “vật chất” của số học, tôi sẽ xây dựng, như các nhà toán học nói, một mô hình cho các tiên đề đang được xem xét. Nhân tiện, sẽ có bao nhiêu người (xấp xỉ) trên bảng?
Tôi nghĩ ít nhất là 30 người.
Tuyệt vời! Chúng ta hãy thống nhất coi các số 1, 2, $\ldots$ , 36, 37 là “người”.

Thật thuận tiện khi đặt chúng trên một vòng tròn (Hình 1) sao cho sau 37 “tiếp theo” có số 1. Bây giờ chúng ta sẽ gọi các cặp số là “dòng” và chỉ những cặp có các số nằm cạnh nhau hoặc nối tiếp nhau trên vòng tròn này. Ví dụ: “dòng” sẽ là các cặp $(1;3)$ , $(4;5)$ , $(37;2)$ ; nhưng cặp $(3;6)$ sẽ không phải là một “đường thẳng” - các số ở quá xa nhau.

Cơm. 1

Cơm. 2

Tôi nghĩ tôi hiểu anh muốn gì. Trong mô hình này, như bạn đã nói, có 37 “người”, tức là một số lẻ (tiên đề 1). Mỗi dòng kết nối chính xác hai người (tiên đề 2), vì một cặp bao gồm hai số. Ngoài ra, rõ ràng trong mỗi “người” có đúng bốn dòng (tiên đề 3); điều này có thể được giải thích bằng sơ đồ trong Hình 2. Điều này có nghĩa là trong mô hình này tất cả các tiên đề 1, 2, 3 đều thỏa mãn. Tuy nhiên, tại sao điều này lại đảm bảo tính nhất quán của các tiên đề đang được xem xét?
Chà, mô hình này được “làm” từ những con số! Nếu hai định lý trái ngược nhau có thể được suy ra từ các tiên đề 1, 2 và 3 thì sự mâu thuẫn này cũng sẽ xuất hiện trong mô hình này. Hóa ra khi suy luận về các con số, chúng ta có thể gặp mâu thuẫn. Nhưng có vẻ như bạn không nghi ngờ tính không thể sai lầm của số học?
Ồ, tôi hiểu lý lẽ của bạn. Và hãy để tôi nhắc lại chúng, có thể nói, một cách tổng quát. Bạn đang xem xét hai lý thuyết, $P$ và $Q$ . Lý thuyết $P$ (số học được hiểu như vậy) là điều không thể nghi ngờ và được coi là không thể lay chuyển và không thể sai lầm. Lý thuyết $Q$ là một lý thuyết mới được xác định bởi một danh sách các tiên đề. Chúng ta cần đạt được sự đảm bảo về tính nhất quán của lý thuyết $Q$ . Với mục đích này, kỹ thuật sau được sử dụng: từ các khái niệm lý thuyết $P$ , cũng như từ “vật liệu xây dựng”, họ cố gắng xây dựng một mô hình lý thuyết $Q$ , tức là, một sơ đồ trong đó tất cả các tiên đề của lý thuyết $Q$ đều được thỏa mãn; nếu điều này có thể thực hiện được thì tính nhất quán của lý thuyết $Q$ đã được chứng minh.

Hình học kỳ lạ

— Chúng tôi đã phần nào tránh xa việc thảo luận các vấn đề liên quan đến hiệp hội sưu tập. Nhưng vì tôi thu thập những điều tò mò về toán học nên bây giờ tôi muốn cung cấp cho bạn một trong số chúng: một mô hình hình học khá đặc biệt.

Tôi sẽ rất vui khi được “xem xét” sự tò mò này.

— Hãy tưởng tượng rằng một điểm $O$ bị loại bỏ khỏi mặt phẳng (hoặc, như các nhà toán học nói, bị loại) (tất nhiên là nó tồn tại, nhưng dường như chúng ta không coi đó là một “điểm”). Tuy nhiên, chúng tôi sẽ tiếp tục coi tất cả các điểm khác (trừ $O$ ) là điểm.

Đây là toàn bộ trò lừa à?
Chỉ cần kiên nhẫn một lát thôi. Bây giờ chúng tôi sẽ gọi mỗi vòng tròn đi qua điểm thủng này là $O$ “thẳng” (chúng tôi cũng sẽ bao gồm “vòng tròn bán kính vô hạn”, tức là các đường thẳng đi qua $O$ ). Hình 3 cho thấy một số “đường thẳng”.
Điều này đã là bất thường rồi. Chúng tôi lấy những đường cong rõ ràng và tuyên bố chúng là “thẳng”. Nhưng tại sao lại thế này?

Cơm. 3

Cơm. 4

— Ví dụ: hãy vẽ một “đường thẳng” đi qua hai điểm $A$ và $B$ . Làm thế nào để làm điều này?

— Bạn muốn “đường thẳng” đi qua các điểm $A$ và $B$ . Ngoài ra, vì đây là “đường thẳng” nên nó cũng phải đi qua điểm $O$ . Điều này có nghĩa là chúng ta cần vẽ một đường tròn đi qua ba điểm $A$ , $B$ , $O$ (Hình 4). Mọi học sinh đều có thể làm được điều này.

Nhưng tồn tại “trực tiếp” như vậy và hơn nữa, chỉ có một. Bạn có đồng ý không?
Có, vì ba điểm xác định duy nhất một đường tròn.
Điều này có nghĩa là trong mô hình này đã thỏa mãn tiên đề: một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau và hơn nữa chỉ đi qua một điểm.

“Tôi nghĩ tôi bắt đầu thấy hứng thú với sự tò mò của bạn rồi đấy.”

— Bây giờ hãy nhìn vào Hình 5. Nó hiển thị một hình tam giác $ABC$ . Để tìm tổng các góc của tam giác này, chúng ta có thể lấy tổng các góc đã đánh dấu tại điểm $O$ . Và các góc này hợp lại tạo thành một góc thẳng. Điều này có nghĩa là trong mô hình này tổng các góc của một tam giác là $2d$ .

Cơm. 5

Cơm. 6

Tuyệt vời!
Cũng lưu ý rằng trong mô hình này, qua một điểm nằm bên ngoài một “đường” nhất định sẽ có “đường” duy nhất đi qua đường này. Đây sẽ là một đường tròn tiếp xúc với “đường thẳng” này tại điểm $O$ (Hình 6): xét cho cùng, điểm $O$ được coi là bị thủng, do đó hai “đường thẳng” được mô tả không có điểm chung.

— Hóa ra trong mô hình này “tiên đề song song” cũng được thỏa mãn?

Hoàn toàn đúng. Và nói chung, trong mô hình này, tất cả các tiên đề (và do đó là các định lý) của hình học được nghiên cứu ở trường đều được đáp ứng (nó được gọi là hình học Euclid, được đặt theo tên của nhà khoa học đã trình bày một cách có hệ thống về nó hơn 2000 năm trước). Đúng, tôi đã không mô tả đầy đủ mô hình. Người ta chưa nói cách đo chiều dài, hình tam giác nào nên được coi là cân, v.v. Ngoài ra, cần thêm một điểm nữa $\infty$ để hoàn thiện mô hình này. Nhưng bản chất của vấn đề rất rõ ràng: chúng ta đã xây dựng một mô hình hình học thông thường (Euclide).
Chuyện gì xảy ra vậy? Lý thuyết ban đầu $P$ là hình học, và từ “vật liệu” của lý thuyết này, một mô hình của lý thuyết tương tự được xây dựng?
Hoàn toàn công bằng! Tôi mang theo mô hình này chỉ để chứng tỏ rằng không có gì lạ khi coi các đường cong là “thẳng” trong một số mô hình.

Bi kịch của lobachevsky

Và bây giờ - một cuộc triển lãm khác từ bộ sưu tập các kỳ quan toán học. Chúng ta đang nói về hình học được khám phá bởi nhà toán học vĩ đại người Nga N. I. Lobachevsky.

— Theo những gì tôi biết, anh ấy đã xây dựng một hình học trong đó có thể vẽ nhiều đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước qua một điểm (Hình 7).

Cơm. 7

Phải. Và mặc dù tất cả lý luận của lobachevsky đều hoàn hảo về mặt logic, nhưng trong suốt cuộc đời, ý tưởng của ông chưa bao giờ được công nhận. Kết luận quá bất thường.
Ví dụ?
Ví dụ, các đường thẳng song song sẽ xích lại gần nhau hơn (Hình 8). Bạn thậm chí có thể xây dựng một “tam giác vô hạn”, các cạnh của chúng song song theo cặp (Hình 9). Và mặc dù Hình 9 biểu diễn những đường cong, nhưng trong hình học của Lobachevsky có những đường thẳng nằm chính xác như thế này. Hơn nữa, tổng các góc của một tam giác luôn nhỏ hơn $2d$ , v.v., v.v.

Cơm. 8

Cơm. 9

Nhưng điều này không hẳn là đúng!!!
Đây, đây! Những người cùng thời với Lobachevsky cũng nói điều tương tự. Và ông hiểu rằng vấn đề ở đây là liệu hình học thu được từ các tiên đề cơ bản của nó có mâu thuẫn hay không; Ngoài ra, cuộc nói chuyện: “trong thực tế, mọi thứ không phải như vậy” chỉ dựa trên thực tế là các quan sát của chúng ta có thể tiếp cận được một phần nhỏ không gian, trong đó sự khác biệt giữa hình học Euclide và hình học của nó là không đáng chú ý (chúng nằm ngoài độ chính xác của các phép đo). Và nhân tiện, vật lý hiện đại ngày càng xác nhận điều này.
Tuyệt vời. Nhưng, theo như tôi hiểu, bạn muốn nói về một sự xác nhận thuần túy toán học về tính đúng đắn của hình học Labachevsky?

— Chính xác hơn là về tính nhất quán của nó.

Ồ, tôi hiểu rồi! Rõ ràng, bạn muốn nói rằng từ “vật chất” của một lý thuyết nào đó $P$ , mà chúng tôi không nghi ngờ gì về tính đúng đắn của nó, có thể xây dựng một mô hình hình học Lobachevsky?
Hoàn toàn đúng! Và lý thuyết $P$ này là hình học Euclide! Hóa ra là từ “vật liệu” của hình học Euclid, người ta có thể xây dựng một mô hình hình học Lobachevsky.
Vậy thì sao, lobachevsky biết về chuyện này?
KHÔNG; nhưng anh ấy đã xây dựng được một mô hình tuyệt vời khác. Ông đã xây dựng được một mô hình hình học Euclide từ “vật liệu” hình học của mình.
Vì vậy, nếu mọi người đều tin tưởng vào tính không thể sai lầm của hình học Lobachevsky và nghi ngờ tính đúng đắn của hình học Euclid, thì với mô hình này, có thể thuyết phục mọi người rằng hình học Euclid cũng nhất quán! Nhưng sẽ tốt hơn nếu mọi chuyện diễn ra theo chiều hướng ngược lại.

Công lý muộn màng

Bây giờ bạn thấy rằng Lobachevsky hiểu rõ mô hình là gì và làm thế nào để chứng minh tính nhất quán về hình học của nó. Điều cần thiết là đã chấp nhận hình học Euclide làm lý thuyết ban đầu $P$ , để xây dựng từ “vật liệu” của nó một mô hình lý thuyết $Q$ - Hình học Lobachevsky. Nhưng lobachevsky đã không làm được điều này. Những mô hình như vậy chỉ được tìm thấy sau cái chết của nhà khoa học.
Ai đã làm việc này?
Beltrami, Cayley, Klein, Poincaré và các nhà khoa học khác.
Vậy những mô hình này có phức tạp lắm không?
Không. Ví dụ, đây là cách xây dựng mô hình do nhà toán học xuất sắc người Pháp Henri Poincaré tìm ra. Trong mô hình này, chỉ những điểm nằm bên trong một số vòng tròn $K$ mới được xem xét. “Đường thẳng” được định nghĩa như sau: một đường tròn (hoặc đường thẳng) được lấy cắt chu vi của đường tròn $K$ một góc vuông và phần của đường tròn này nằm bên trong $K$ được khai báo là “đường thẳng”. Hình 10 cho thấy một số “đường thẳng” trong mô hình này.

Cơm. 10

Mô hình này hơi giống mô hình hình học Euclid mà chúng ta đã nói trước đó. Ở đó, các vòng tròn cũng được coi là “đường thẳng”.

Cơm. 11

Cơm. 12

Và xin lưu ý, trong mô hình này cũng có thể chứng minh được chỉ có một “đường thẳng” đi qua hai điểm. Bạn có thể xem xét các hình tam giác trong mô hình này (Hình 11). Và Hình 12 cho thấy rằng thông qua một điểm nằm ngoài “đường” $a$ người ta có thể vẽ vô số “đường” không giao nhau với “đường” $a$ . Hai trong số chúng (những điểm tiếp xúc với đường thẳng $a$ trên ranh giới của đường tròn $K$ , tức là như thể tại “điểm ở vô cực”) song song với đường thẳng $a$ . Chà, Hình 13 cho thấy một “tam giác vô hạn”, các cạnh của nó song song theo cặp. Nói tóm lại, đây chính xác là mô hình hình học lobachevsky. Tất nhiên, tôi chưa mô tả đầy đủ mô hình này: cần chỉ ra cách đo độ dài, xác định những hình nào được coi là bằng nhau (đồng dư), v.v. Nhưng nhìn chung, mô hình được xây dựng chính xác như thế này.

Cơm. 13

Cơm. 14

—Có các nhà khoa học khác mà bạn kể tên đã xây dựng mô hình tương tự không?

Ồ không! Hiện nay có nhiều mô hình hình học lobachevsky khác nhau đã được biết đến. Ví dụ, trong các tác phẩm của Klein và Cayley, một mô hình đã được xây dựng trong đó chỉ những điểm nằm bên trong một đường tròn nhất định $K$ cũng được xem xét, nhưng họ coi dây của đường tròn này (không có điểm cuối) là “đường thẳng”. Trên mô hình này, thậm chí còn dễ dàng nhận thấy rằng thông qua một điểm bên ngoài “đường thẳng” $a$ có vô số “đường thẳng” không giao nhau với $a$ (Hình 14). Tuy nhiên, ví dụ, các góc được đo khó khăn hơn trong mô hình này so với mô hình Poincaré.
Vâng, những “kỳ quan toán học” của bạn rất thú vị. Bây giờ chúng ta đã hiểu tầm quan trọng của phát hiện của N. I. Lobachevsky, người không chỉ xây dựng một hình học hoàn toàn khác thường mà còn đặt nền móng cho việc tìm ra ngày càng nhiều “hình học” mới. Tôi nghe nói rằng toán học hiện nay xem xét nhiều không gian và hình học khác nhau, đồng thời chúng được áp dụng trong vật lý và các lĩnh vực khác. Có lẽ có nhiều không gian, hình học và “thế giới” toán học tuyệt vời trong bộ sưu tập của bạn?
Vâng tất nhiên. Nhưng chúng ta sẽ nói về chuyện này vào lúc khác.