Những sai lầm của Styopa Moshkin

69

E. Semenov

Lỗi
Bức tường Moshkin

1. Tài sản bị mất. Điều này có thể dẫn đến điều gì?

Cái gã Pyotr Ivanovich này lúc nào cũng cằn nhằn! - học sinh lớp bảy Stela Moshkin biện minh cho cha mình, người đang nghiên cứu hai điều thú vị trong nhật ký của con trai ông. “Tôi trả lời anh ấy rằng hình thang là một mặt cắt, hai cạnh của komoroo song song với nhau. Nhưng không, vì lý do nào đó mà anh ấy không thích nó! Anh ấy nói, hãy suy nghĩ lại, vẽ một hình thang và lại đáp số cho cùng một câu hỏi. Tôi đã vẽ và lặp lại điều tương tự đáp số. Và anh ấy cho tôi một sự lừa dối! Để làm gì? Điều này không công bằng!…

Stela đã định nghĩa điều gì?

Để biết ai đúng, chúng ta hãy mở sách giáo khoa hình học của Stepin. Hình thang trong sách giáo khoa này được định nghĩa là hình thang có hai tính chất:

(1) có một cặp cạnh song song;
(2) có một cặp cạnh đối diện.

Với định nghĩa này, chỉ có tập $T$ trong Hình 1 bao gồm các hình thang. Tất cả các hình bình hành (bộ $P$ trong Hình 1) không phải là hình thang. Nhưng Stela đã “mất” tính chất thứ hai trong định nghĩa về hình thang. Và vì mọi hình bình hành đều có một cặp cạnh song song nên tất cả các hình bình hành đều phải thuộc tập hợp $C$ “Hình thang thảo nguyên”.

Như vậy, Stela cùng với bộ $T$ đã nhận được bộ $C = T \cup \Pi$. Việc loại trừ bất kỳ đặc tính nào khỏi định nghĩa của một khái niệm có thể dẫn đến một khái niệm mới!

Trong trường hợp này, khái niệm mặt cắt ngang có một cặp cạnh song song đã được rút ra. Việc những nghệ nhân như vậy không có mục đích đặc biệt không thành vấn đề.

Như bạn có thể đã nhận thấy, có một mối quan hệ thú vị giữa tập $T$ hình thang và tập $C$ gồm bốn nghệ sĩ có tính chất (1): $T \subset C$. Thay vì ký hiệu như vậy *), chúng ta có thể nói: tập hợp những kẻ gian lận sở hữu tài sản (1) rộng hơn,

Cơm. 1.

hơn nhiều hình thang. Điều tương tự có thể được diễn đạt bằng cách nói khác: khái niệm mặt dây chuyền có một cặp cạnh song song là sự khái quát hóa của khái niệm hình thang, hoặc: hình thang là trường hợp đặc biệt của mặt dây chuyền có một cặp mặt song song.

Vì vậy, sai lầm của Stepin khi xác định hình thang giờ đây mọi người đã rõ. Nhưng, có lẽ, sẽ không đáng để dành nhiều thời gian để tìm hiểu nếu ý nghĩ đó không nảy sinh: liệu có thể sử dụng lỗi này cho mục đích gì đó hữu ích không?

2. Giới thiệu một khái niệm mới loại trừ một số thuộc tính của khái niệm hiện có

Stela đã bỏ sót tính chất thứ hai trong định nghĩa hình thang và có…

• Ở đây và bên dưới, ký hiệu “C” không chỉ có nghĩa là “bật” mà còn có nghĩa là “không khớp”.

70

toàn bộ khái niệm. Chúng ta hãy bỏ qua, bây giờ không phải vì lơ đãng, bất cẩn mà là cố ý bỏ vào một số hình thang, tính chất (1). Khi đó ta có khái niệm tứ giác có một cặp cạnh đối diện không đều. Nếu $H$ là tập hợp các tứ giác như vậy thì $T \subset H$.
Ở đây, hình thang là trường hợp đặc biệt của một tứ giác có một cặp cạnh đối diện không đều.
Bài toán 1. Những câu trên có đúng không:
a) tứ giác - khái quát hóa khái niệm hình thang;
b) Hình thang có phải là trường hợp đặc biệt của tứ giác không?
Cả hai khái niệm đều không: tứ giác có một cặp hình bình hành;
Cả hai khái niệm đều không: tứ giác có một cặp hình bình hành;

3. Câu chuyện thứ hai với Stepa Moshkin

Ở buổi học tiếp theo, Styopa cẩn thận hơn. - Bạn không thể mất tài sản của mình!

• Styopa nhắc lại với chính mình. “Thà làm quá còn hơn là làm quá ít.”
  Và khi Pyotr Ivanovich quay sang hỏi anh ta hình bình hành là gì, Styopa buột miệng: “Hình bình hành là một tứ giác có các tính chất sau:

Cơm. 2.

các cạnh đều và một tứ giác có một cặp cạnh đối không đều không phải là sự tổng quát của tứ giác kia, vì $C \neq H$, $H \neq C$. Giao của tập $C$ và $H$ không trống, nó bao gồm các hình thang. Các bộ $T$, $C$ và $H$ được mô tả bằng cái gọi là “vòng tròn Euler” trong Hình 2; để rõ ràng, hình vẽ hiển thị hình ảnh của các hình tứ giác thuộc các bộ này.

Bài toán 2. Hãy xem xét các cặp khái niệm sau và trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra khái niệm nào trong hai khái niệm này là khái quát của khái niệm kia:
a) hình bình hành và hình thoi;
b) hình bình hành và hình chữ nhật;
b) hình bình hành và hình vuông;
d) hình thoi và hình vuông;
d) hình chữ nhật và hình vuông;
e) hình thoi và hình chữ nhật;

(1) các cạnh đối diện của đường song song;
(2) có mặt chịu lực;
(3) các đường chéo được chia đôi theo lũy thừa giao điểm;
(4) có một chuỗi đối xứng;;
(5) có những nụ cười tắc nghẽn.

Khi Styopa liệt kê các tài sản, sự phấn khích trong lớp càng tăng lên. Các sinh viên tò mò nhìn Styopa, sau đó là Pyotr Ivanovich. Sau khi dịch cả hai, Styopa tự tin nói: “Ngoài ra, hãy nhớ rằng diện tích của hình bình hành bằng tích của chiều dài đáy và chiều dài chiều cao…” Mọi thứ đã được thay thế. Chỉ có Pyotr Ivanovich là tỏ ra hết sức chú ý và nghiêm túc. - Hãy nói cho tôi biết, Styopa, liệu sẽ có một khái niệm mới nếu

71

từ định nghĩa của bạn, bỏ qua thuộc tính cuối cùng của hình bình hành liên quan đến diện tích của nó? anh ấy hỏi.

Sau khi thảo luận, chúng tôi đi đến kết luận rằng bằng cách sử dụng thuộc tính (1), thuộc tính cuối cùng có thể được suy ra. Do đó, việc loại trừ nó khỏi định nghĩa sẽ không dẫn đến một khái niệm mới.

Vì vậy, nếu bất kỳ thuộc tính nào của một khái niệm là hệ quả của các thuộc tính khác, thì việc loại trừ thuộc tính này khỏi định nghĩa sẽ không dẫn đến một khái niệm mới. Nói cách khác, việc loại trừ một thuộc tính nhất định khỏi định nghĩa của một khái niệm không phải lúc nào cũng dẫn đến việc khái quát hóa khái niệm này.

Vì vậy, thông thường trong định nghĩa

Cơm. 3.

khái niệm chỉ bao gồm những thuộc tính độc lập, tức là những thuộc tính không phải là hệ quả của những thuộc tính khác.

Và trong một số trường hợp, điều này thuận tiện vì số lượng thuộc tính có trong định nghĩa là “tối thiểu”. Ví dụ, trong sách giáo khoa hình học, hình chữ nhật được định nghĩa là hình bình hành trong đó tất cả các điểm đều bằng nhau. Định nghĩa ngắn gọn này có thể được phát biểu theo cách khác: hình bình hành ABCD là hình chữ nhật nếu nó có tính chất sau:

(1) $\hat{A} = 90^\circ$;
(2) $\hat{B} = 90^\circ$;
(3) $\hat{C} = 90^\circ$;
(4) $\hat{D} = 90^\circ$.

rehuedelnik, có tính chất thảo nguyên (2) (có các cạnh bằng nhau). Hãy xem điều gì đến từ điều này.

Hãy ký hiệu $\Pi$ tập hợp các hình bình hành (như định nghĩa trong sách giáo khoa) và $K$ là tập hợp các hình tứ giác có các cạnh bằng nhau. Bộ $K$ cũng bao gồm các hình không phải hình bình hành (ví dụ: hình thang đều). Do đó $\Pi \subset K$ (các bộ này được hiển thị trong Hình 3).

Chúng tôi đã tìm ra một cách khác để có được một khái niệm mới: nếu các thuộc tính có trong định nghĩa của khái niệm này được thay thế bằng một số hệ quả của chúng, thì có thể thu được một khái niệm mới - một sự khái quát hóa của khái niệm trước đó.

Bài 6. Gọi $\Pi$ là tập hợp các hình bình hành, $Y$ là tập hợp các hình tứ giác có các cạnh bằng nhau. Hãy xem điều gì đến từ điều này.

72

góc có một cặp góc đồng tâm. Câu nào đúng:

a) $\Pi = Y$;
b) $\Pi \subset Y$?

Bài toán 7. Đưa ra hai khái niệm: hình bình hành và hình tứ giác có tâm đối xứng. Một trong số chúng có phải là sự khái quát của cái kia không?

Bài toán 8. Đối xứng trục là một chuyển động có đặc tính cụ thể sau:

(1) có một đường ánh xạ lên chính nó;
(2) có một điểm cố định (tự phản ánh);
(3) có vòng tròn tự lập bản đồ;
(4) có một tam giác tự lập bản đồ.

a) Hoàn thành bảng trang 73 (hai dòng cách thực hiện).

Cơm. 4.

6. Chứng minh khái niệm chuyển động có tính chất (1) là tổng quát của khái niệm chuyển động có tính chất (1) và (2).

c) Chứng minh rằng cả hai khái niệm: chuyển động có tính chất (3) và chuyển động có tính chất (4) đều không phải là khái quát hóa của khái niệm kia.

d) Chứng minh rằng đối xứng trục nằm trong tập các chuyển vị có tính chất (1) và (2).

4. Sai lầm mới của Styopa Moshkin

Có thể thấy trước, Pyotr Ivanovich đã đưa vào tác phẩm viết của Stepa nhiệm vụ xác định hình thang. Styopa lưu ý rõ ràng rằng định nghĩa về hình thang bao gồm hai tính chất. Ông cũng lưu ý rằng không cần thiết phải chỉ ra các thuộc tính “bổ sung” trong định nghĩa. Tính đến tất cả những điều này, anh ấy nhanh chóng viết: một vùng đất thuận tay phải là một đa giác có hai thuộc tính:

(1) có một cặp cạnh song song;
(2) có một cặp cạnh không song song.

Bài toán 9. Hãy chỉ ra trên Hình 4 tập hợp các “hình thang thảo nguyên” mới. Chỉ ra một tập hợp con của tập hợp này không chứa hình thang.

Đối xứng trung tâm với tâm $O$ có thể được định nghĩa là một chuyển động trong đó điểm $O$ không bị di chuyển đi ($O \rightarrow O$) và bất kỳ điểm nào khác $A$ được ánh xạ lên một điểm $A_1$ khác với $A$, tức là $O \in [AA_1]$.

Chúng ta hãy thay thế tập hợp các chuyển động trong định nghĩa này bằng một tập hợp rộng hơn

cử chỉ của mặt phẳng được hiển thị đối với chính bạn. Chúng ta hãy có một khái niệm mới: ánh xạ một mặt phẳng lên chính nó, trong đó một điểm nhất định $O$ không bị di chuyển và bất kỳ điểm nào khác $A$ được ánh xạ lên một điểm $A_1$ khác với $A$, tức là $O \in [AA_1]$.

Khái niệm này không chỉ bao gồm một đối xứng trung tâm với tâm $O$ mà còn bao gồm toàn bộ tập hợp ánh xạ, ví dụ: bất kỳ đối xứng nào có tâm $O$.

Do đó, việc thay thế tập hợp trong đó một khái niệm được định nghĩa bằng một tập hợp rộng hơn có thể dẫn đến một khái niệm mới. Hoặc có thể không: nếu trong định nghĩa hình chữ nhật là hình bình hành, tất cả đều thẳng, thuật ngữ “hình bình hành” được thay thế bằng thuật ngữ “tứ giác”, thì một khái niệm mới sẽ không áp dụng được (điều này

73

Điều này được giải thích là do định nghĩa về hình chữ nhật trong sách giáo khoa có chứa một thuộc tính là hệ quả của các thuộc tính khác có trong định nghĩa).

Nhiệm vụ 10. Liệu có thể thu được một khái niệm mới nếu:
a) khi định nghĩa hình thoi là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau thì thuật ngữ “hình bình hành” được thay bằng thuật ngữ “tứ giác”;
b) Trong định nghĩa hình bình hành, thay thuật ngữ “tứ giác” bằng thuật ngữ “đa giác”?

Như vậy, các bạn đã làm quen với cách giới thiệu môn toán mới.