Lượng tử hóa và sóng đứng

26

Lượng tử hóa và cấu trúc sóng

M. Volkinitain

Cơ học lượng tử là khoa học về các định luật chuyển động của các vi hạt (nguyên tử, electron, neutron, v.v.). Đây là vật lý của thế giới vi mô. Nó giải thích nhiều hiện tượng quan trọng - phân rã phóng xạ, tính dẫn điện của kim loại và bản chất của liên kết hóa học. Nhưng trước hết, cơ học lượng tử giải thích quang phổ vạch của nguyên tử - nó trả lời câu hỏi tại sao nguyên tử chỉ có khả năng phát ra hoặc hấp thụ ánh sáng từ một trăm tần số dao động sóng ánh sáng nhất định. Cơ học lượng tử đã chỉ ra rằng các electron trong nguyên tử chỉ có thể có các giá trị năng lượng cố định và thay đổi. Các nhà vật lý thường nói rằng các electron nằm ở các mức năng lượng rời rạc $E_1$, $E_2$, … - năng lượng của một electron trong nguyên tử bị lượng tử hóa. Sự hấp thụ hoặc phát xạ ánh sáng của một nguyên tử xảy ra khi một electron chuyển từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác. Trong trường hợp đầu tiên, electron chuyển từ mức có năng lượng thấp hơn sang mức có năng lượng cao hơn, trong trường hợp thứ hai - ngược lại. Tần số của sóng ánh sáng phát ra (hoặc bị hấp thụ) được xác định bởi các điều kiện của tần số Bohr.

$$v_{nn'} = \frac{E_n - E_{n'}}{h},$$

(1)

trong đó $E_n$, $E_{n'}$ là các mức năng lượng, $n$, $n'$ là các giá trị của số lượng tử đặc trưng cho các mức này.

Một trong những bài toán chính của cơ học lượng tử là tìm các giá trị năng lượng được lượng tử hóa cho một hệ hạt nhất định, đặc biệt là đối với nguyên tử. Theo phương trình (1) lời giải như vậy bài toán có ​​nghĩa là tính toán đồng thời phổ của hệ thống, nghĩa là xác định tập hợp tần số ánh sáng do hệ thống này phát ra. Độ chặt chẽ lời giải của bài toán này giảm xuống còn lời giải của phương trình cơ bản của cơ học lượng tử, cái gọi là phương trình Schrödinger. Đây là phương trình vi phân từng phần

27

đạo hàm bậc hai, và học sinh được xếp vào vị trí đó không thể giải được. Tuy nhiên, có thể thu được một số kết quả thú vị liên quan đến lượng tử hóa năng lượng mà không cần giải phương trình Schrödinger, dựa trên những cân nhắc khá đơn giản.

Các sự kiện xảy ra trong thế giới vi mô chỉ có thể giải thích được sau khi ý tưởng về bản chất sóng của các vi hạt xuất hiện. Ý tưởng này lần đầu tiên được thể hiện bởi de Broglie. Ông đề xuất rằng, cùng với tính chất hạt, các hạt vật chất còn có tính chất sóng và có mối liên hệ rõ ràng giữa chúng. Một hạt chuyển động với tốc độ $v$ và có động lượng $p=mv$ tương ứng với sóng-

$$n \frac{\lambda}{2} = L,$$

hoặc

$$\lambda_n = \frac{2L}{n},$$

ở đâu $n=1, 2, 3, \dots$ (Hình 1).

Chúng ta hãy thử sử dụng mô hình sóng dừng trên một cấu trúc để tìm các điều kiện lượng tử hóa cho một số cơ học lượng tử bài toán.

điện tử
“trong hộp tiềm năng”

Giả sử rằng electron có thể chuyển động tự do dọc theo một đoạn có độ dài $L$ mà không cần tác dụng của bất kỳ lực nào. Nói cách khác, thế năng của electron trong khoảng này bằng không. Và tại ranh giới của đoạn đó, thế năng của electron trở về vô cùng. Electron hành xử giống như một vật nặng, có khả năng chuyển động tự do dọc theo đáy hộp có thành thẳng đứng cao vô hạn, phản xạ đàn hồi từ thành của nó. Hỏi, có những khả năng nào về giá trị năng lượng của electron?

Nếu các đầu của cấu trúc được cố định, thì các nút của sóng dừng nhất thiết phải nằm trên chúng, sóng này không lan truyền ra ngoài ranh giới của cấu trúc. Tương tự, một vật nặng đựng trong hộp không thể vượt quá giới hạn của nó, vì việc này đòi hỏi một lượng năng lượng vô hạn. Một electron chuyển động trong một “hộp” với tốc độ $v$ tương ứng với sóng de Broglie $\lambda = \frac{h}{mv}$. Vì electron không thể vượt ra ngoài ranh giới của đoạn $L$ (nó bị phản xạ đàn hồi từ các thành của “hộp”), nên sóng de Broglie phải bị phản xạ từ

28

các bức tường của hộp. Do đó, dạng sóng tương ứng với chuyển động của electron có thể được biểu diễn dưới dạng sóng chìm de Broglie ổn định. Các nút phải nằm ở cuối của đoạn $L$ và trên chính đoạn đó, chúng phải chứa một số nguyên nửa sóng (Hình 2), nghĩa là chúng phải đáp ứng điều kiện

$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{2L}{n} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$$

Theo đó, tốc độ của electron bên trong hộp bị lượng tử hóa:

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = \frac{nh}{2mL} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$$

Sự tương ứng được lượng tử hóa và động năng của nó cũng vậy. Bên trong hộp, thế năng của electron bằng 0 và do đó, tổng năng lượng trùng với động năng:

$$E = \frac{mv^2}{2}.$$

Thay thế ở đây khả năng của giá trị tốc độ (3), chúng tôi tìm thấy

$$E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$$

Thoạt nhìn, kết quả này có vẻ bất ngờ. Nó có nghĩa là năng lượng của một vật nặng chuyển động trong một chiếc hộp có vách cao vô hạn phải được lượng tử hóa. Tuy nhiên, ngay cả đối với một hạt rất nhỏ, sự lượng tử hóa chỉ trở nên đáng chú ý trong trường hợp “chiếc hộp” có các kích thước ở cấp độ nguyên tử. Thật vậy, đối với một electron có khối lượng $m = 9,8 \cdot 10^{-28} e$, đặt trong một hộp có chiều dài $L = 1$ cm thì các giá trị năng lượng có thể có là

$$E_n = n^2 \frac{(6,62 \cdot 10^{-34})^2}{8 \cdot 9,8 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-4}} \approx n^2 \cdot 5,6 \cdot 10^{-34} \partial x = n^2 \cdot 3,5 \cdot 10^{-15} \partial v$$

và “khoảng cách” giữa các cấp liền kề

$$\Delta E_n = E_{n+1} - E_n = (2n+1) \cdot 3,5 \cdot 10^{-15} \partial v.$$

Đây là những “khoảng cách” rất lớn và phổ năng lượng là có thật.

Điều kiện lượng tử hóa năng lượng (4), mà chúng ta thu được bằng cách tương tự với các dao động của dây, hóa ra là hoàn toàn nghiêm ngặt - nó hoàn toàn trùng khớp với điều kiện đưa ra phương trình lời giải Schrödinger cho một bài toán cho trước. Chúng ta sẽ quay lại công thức (4) và chỉ ra những kết quả thú vị rút ra từ nó. Bây giờ, hãy chuyển sang bài toán khác.

Bộ dao động điều hòa

Chúng ta hãy xem xét lượng tử hóa của một bộ dao động điều hòa. Đây là tên của một hạt chịu tác dụng của một lực $f = -kx$, tỷ lệ thuận với độ lệch $x$ của hạt so với vị trí cân bằng và có xu hướng đưa hạt về vị trí này.

Hệ số tỉ lệ $k$ là một hằng số đặc trưng cho các tính chất khác của hệ mà lực kia tác dụng. Ví dụ, trong trường hợp quả bí, $k$ là độ cứng của quả bí.

Dao động tử được đưa ra khỏi vị trí cân bằng trùng với dao động điều hòa

29

dao động nic có tần số

$$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}. \quad (5)$$

Năng lượng của bộ dao động điều hòa tại bất kỳ thời điểm nào (đối với bất kỳ độ lệch $x$ nào so với vị trí cân bằng) bao gồm năng lượng tiềm năng $\Pi = \frac{kx^2}{2}$ và động năng $K = \frac{mv_x^2}{2}$, tức là.

$$E = \frac{kx^2}{2} + \frac{mv_x^2}{2}.$$

Nếu một vi hạt dao động thì tổng năng lượng của nó bị lượng tử hóa. Hãy tìm điều kiện lượng tử hóa.

Đồ thị thế năng của bộ dao động là một parabol $\Pi = \frac{kx^2}{2}$ (Hình 4).

Một vi hạt dao động với độ lệch tối đa $x_0$ về cơ bản là di chuyển dọc theo một đoạn có độ dài $2x_0$ và tốc độ của chuyển động này phụ thuộc vào tọa độ $x$ ($v = \sqrt{\frac{k}{x}(x_0^2 - x^2)}$).

Do đó, bước sóng de Broglie tương ứng với hạt sẽ không đổi. Đây là một điều kiện quan trọng lời giải bài toán. Để đơn giản hóa lời giải, chúng ta sẽ đưa ra một số giả định - giả sử rằng giữa các điểm $x_0$ và $-x_0$ trên toàn bộ đoạn thẳng thì tổng năng lượng của hạt bằng động năng.

Giả định mà chúng tôi đưa ra có nghĩa là bộ dao động có thể được coi như một hạt trong “hộp thế năng”, “độ sâu” của nó là $\frac{kx_0^2}{2}$ (xem Hình 3). Trên các “bức tường” tổng năng lượng bằng thế năng, tức là

$$E = \frac{kx_0^2}{2}.$$

Vì vậy, khoảng cách giữa các bức tường

$$L = 2x_0 = 2\sqrt{\frac{2E}{k}}.$$

Thực tế là bên trong “chiếc hộp” trong toàn bộ đoạn $L$, động năng không đổi $\left(\frac{mv^2}{2} = \frac{kx_0^2}{2}\right)$ có nghĩa là tốc độ của hạt bên trong “chiếc hộp” là không đổi. Một hạt như vậy tương ứng với một sóng de Broglie đứng, độ dài của sóng này được xác định bởi các điều kiện.

$$\lambda_n = \frac{2L}{n} = \frac{4}{n}\sqrt{\frac{2E}{k}}.$$

Do đó, giá trị có thể có của tốc độ hạt là

$$v_n = \frac{nh}{4m}\sqrt{\frac{k}{2E}}.$$

Hãy tìm giá trị có thể có của năng lượng dao động:

$$E = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{nh}{4m}\sqrt{\frac{k}{2E}}\right)^2,$$

Ở đâu

$$E_n = \frac{nh}{8}\sqrt{\frac{k}{m}},$$

hoặc, có tính đến (5),

$$E_n = \frac{\pi}{4}nhv \quad (n = 0, 1, 2, \dots).$$

lời giải bài toán thứ hai sử dụng phương trình Schrödinger có dạng

$$E_n = nhv + \frac{1}{2}hv (n=0, 1, 2, \dots).$$

Điều quan trọng là không quá lời giải (6) phản ánh tính năng chính của lượng tử hóa dao động -

30

tỷ lệ giữa giá trị năng lượng với số lượng tử $n$. Các mức năng lượng của bộ dao động điều hòa nằm ở những khoảng cách bằng nhau. Và điều này cũng phản ánh lời giải (6). Đúng, trong lời giải tích hợp, các khoảng cách này bằng $hv$ và trong khoảng cách không nghiêm ngặt, chúng là $-\frac{\pi}{4} hv$. (Tất nhiên, kinh nghiệm xác nhận thứ tự lời giải.) Ngoài ra, theo thứ tự lời giải, năng lượng tối thiểu của bộ dao động điều hòa tại $n=0$ khác 0 và bằng $\frac{hv}{2}$ (Hình 4a).

Trong lời giải $E_0=0$ không nghiêm ngặt (Hình 46). Từ điều kiện lượng tử hóa (6), suy ra khả năng xảy ra sai lệch cực đại so với vị trí

Cơm. 4a.

cân bằng là rời rạc:

$$E_n = \frac{kx_n^2}{2} = \frac{\pi}{4} hv,$$

Ở đâu

$$x_n = \sqrt{\frac{\pi}{2}nh\frac{v}{k}}.$$ (8)

Kết luận này có vẻ hoàn toàn xa lạ. Xét cho cùng, biên độ dao động về cơ bản được xác định bằng sự trộn ban đầu từ vị trí cân bằng. Và từ kinh nghiệm “hàng ngày”, người ta biết rằng việc trộn một quả bóng bên ngoài có thể được thay đổi một cách trơn tru, liên tục. Có chuyện gì vậy? Hãy tự mình thử, sử dụng công thức (8), để tìm khoảng cách giữa các giá trị “láng giềng” $x_n$ và $x_{n+1}$, ví dụ: đối với một quả bóng có khối lượng $m=10$ $e$, dao động độ cứng bên ngoài $k=1000$ $h/m$. Và bạn sẽ thấy rằng khoảng cách này là cố định, phổ của các giá trị thu được $x$ gần như liên tục. Và chỉ đối với vi hạt, quang phổ $E_n$ và $x_n$ là rời rạc.

nguyên tử hydro

Chúng ta hãy xem xét một bài toán khác - về lượng tử hóa năng lượng của các nguyên tử hydro. bài toán này lần đầu tiên được giải quyết bởi Niels Bohr. Ông đã tính toán quang phổ của các nguyên tử hydro bằng cách sử dụng mô hình hành tinh. Mặc dù năng lượng điện tử được tính toán phù hợp với phổ quan sát được, nhưng mô hình này không cho phép tính toán các đặc tính khác của nguyên tử.

Theo các khái niệm hiện đại của cơ học lượng tử, mô hình hành tinh chỉ phản ánh một cách rất có điều kiện hành trạng thực tế của các electron. Trong hydro này, một electron đơn lẻ dường như tạo thành một đám mây điện tử xung quanh hạt nhân - một đám mây mang điện tích âm, mật độ của nó đặc trưng cho xác suất tìm thấy một electron ở một vùng nhất định bên trong các nguyên tử. Ở trạng thái không bị kích thích của các nguyên tử, bán kính từ quả cầu có mật độ lớn nhất là khoảng 0,53 Å. (Trong mô hình hành tinh khoảng cách này

31

tương ứng với bán kính quỹ đạo electron nhỏ nhất ~0,53 A.)
Như chúng tôi đã nói, các câu hỏi về cấu trúc và tính chất của lớp vỏ electron của nguyên tử được trả lời bằng phương trình đáp số lời giải Schrödinger cho một hệ nhất định. Chúng ta sẽ cố gắng giải bài toán về lượng tử hóa năng lượng của một nguyên tử hydro mà không sử dụng mô hình hành tinh hoặc phương trình Schrödinger - chúng ta vẫn sẽ giới hạn ở sự tương tự cơ học với các dao động của một sợi dây có các đầu cố định.

Thế năng của electron do nó tương tác với hạt nhân bằng

$$\Pi = -\frac{e^2}{r},$$

cơm. 5a.

trong đó $e$ là giá trị điện tích của electron và $r$ là bán kính của hình cầu có khả năng xuất hiện nhiều nhất của một electron trong nguyên tử (tức là bán kính của hình cầu có mật độ cao nhất của đám mây điện tử).

Đồ thị của sự phụ thuộc $\Pi(r)$—đường cong thế năng—có dạng hyperbol (Hình 5a). Chúng ta có thể giả sử rằng với một giá trị nhất định là $r$, electron sẽ di chuyển trong nguyên tử bên trong một vùng có kích thước tuyến tính bằng $r$.

Chúng ta sẽ giả sử rằng tại “biên giới” của vùng này, toàn bộ năng lượng của electron bằng thế năng của nó, tức là.

$$E = \Pi = -\frac{e^2}{r}.$$

“Bên trong” đoạn đó, năng lượng của electron tại mỗi điểm $x$ bao gồm động năng và thế năng:

$$E = \frac{mv^2(x)}{2} + \Pi(x) = -\frac{e^2}{r}.$$

Tốc độ của electron thay đổi trên đoạn $r$; do đó, bước sóng de Broglie tương ứng với electron sẽ không đổi. Điều kiện này là lời giải bài toán. Để tha thứ cho anh ta, chúng ta sẽ đưa ra giả định sau: chúng ta sẽ cho rằng tốc độ của electron là không đổi. Ví dụ: đặt tốc độ có độ lớn bằng giá trị $v(r/2)$.

Vì $\Pi(r/2) = -\frac{2e^2}{r}$ nên từ (9) ta tìm được giá trị $v = v(r/2)$

$$v = \sqrt{\frac{2e^2}{mr}} = \sqrt{\frac{-2E}{m}}.$$

Các giả định mà chúng tôi đưa ra về cơ bản có nghĩa là chúng tôi biểu diễn electron trong nguyên tử dưới dạng hạt trong một “hộp thế năng” có “độ sâu” là $-\frac{e^2}{r}$ và “chiều rộng” của nó là $r$ (xem Hình 5a). Một hạt như vậy tương ứng với cấu trúc của sóng de Broglie, có lẽ độ dài của sóng này được xác định bởi các điều kiện

$$\lambda_n = \frac{2r}{n} = -\frac{2e^2}{nE}.$$

32

Do đó, khả năng vận tốc điện tử

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = -\frac{hnE}{2me^2}.$$

Theo (10), tổng năng lượng của một electron có thể được biểu thị dưới dạng tốc độ của nó: $E = -\frac{mv^2}{2}$. Thay thế khả năng của giá trị $v_n$ từ (11), chúng ta thu được

$$E = -\frac{mv_n^2}{2} = -\frac{h^2n^2E^2}{8me^4}.$$

Do đó, khả năng giá trị năng lượng của điện tử là

$$E_n = -\frac{8me^4}{n^2h^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots).$$

Cạnh lời giải của bài toán (lời giải phương trình Schrödinger) này có dạng

$$E_n = -\frac{2\pi^2me^4}{n^2h^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots).$$

Lời giải (12) và (13) chỉ khác nhau ở hệ số. Vì vậy, những gì chúng tôi thu được lời giải mô tả chính xác về mặt chất lượng phổ của nguyên tử hydro. Các mức năng lượng của một electron trong nguyên tử tiến gần đến mức số lượng tử $n$ tăng lên (Hình 56). Giá trị năng lượng ở các mức khác nhau có liên quan như

$$E_1:E_2:E_3:\ldots = 1:\frac{1}{4}:\frac{1}{9}:\ldots$$

Khi $n$ tăng lên, năng lượng của electron được tính toán (hãy nhớ lại rằng $E_n < 0$) và ở $n \to \infty$ ($r \to \infty$) nó trở thành bằng không. Một electron được tách ra khỏi nguyên tử. Năng lượng của electron tự do là dương và phổ các giá trị có thể có của nó là liên tục.

Vì vậy, các báo cáo về sóng dừng de Broglie trong trường hợp điển hình của chúng tôi giúp giải thích sự lượng tử hóa năng lượng của hệ.

Mô hình phân tử kim loại

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại một hộp tiềm năng với những bức tường vô tận. Không giống như bài toán khác, chúng tôi có sóng lời giải nghiêm ngặt ở đây. Chúng tôi hỏi, một mô hình như vậy có thể gặp ở đâu? Trong lý thuyết về phân tử.

Các phân tử của các hợp chất hữu hạn, trong đó liên kết đôi cacbon-cacbon được liên hợp với các liên kết đơn, tức là xen kẽ với nó, có các electron di động. Mỗi liên kết đôi có hai electron di động (gọi là electron pi). Những electron này có thể di chuyển tự do dọc theo hệ thống liên kết, nhưng tất nhiên, để rời khỏi phân tử, các electron phải thu được năng lượng rất cao.

Các bệnh nhiễm trùng có phân tử chứa một số lượng lớn liên kết liên hợp, tức là các điện tử pi, biểu hiện: Điều này có nghĩa là, không giống như hầu hết các hợp chất hạn chế, không phải pseonic, các chất này hấp thụ ánh sáng trong vùng khả kiến ​​của quang phổ. Các liên kết liên hợp càng lớn, tức là các pi-electron càng lớn thì các liên kết liên hợp càng lớn, chính xác là những chất như vậy. Ví dụ, trong dãy hydrocacbon có liên kết liên hợp, bước sóng $\lambda$, tương ứng với độ hấp thụ bước sóng dài hơn, được trình bày trong bảng.

| Công thức hydrocacbon | Số lượng điện tử pi | Bước sóng của ánh sáng hấp thụ $\lambda$, mm |
| :— | :— | :— |
| $H_2C=CH_2$ | 2 | 180 |
| $H_2C=CH-CH=CH_2$ | 4 | 217 |
| $H_3C-HC=CH-CH-CH=CH-CH=CH_3$ | 8 | 320 |
| $H_3C-HC=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH_3$ | 12 | 372 |

33

Những chất này hấp thụ ánh sáng ở vùng cực tím của quang phổ, nhưng với sự gia tăng hơn nữa số lượng liên kết liên hợp, vùng ổn định hấp thụ sẽ chuyển sang vùng khả kiến. Chúng ta thấy rằng λ gần tỷ lệ thuận với số lượng electron pi.

Chúng ta hãy tính bước sóng λ bằng mô hình hộp thế năng.

Cơm. 6.

Chiều rộng của hộp $L$ bằng chiều dài của chuỗi liên kết liên hợp, tức là $L = Nl$, trong đó $N$ là số lượng liên kết liên hợp, $l$ là độ dài của một liên kết chuỗi (liên kết $C - C = C$) (Hình 6). Thềm hấp thụ bước sóng dài nhất tương ứng với sự chuyển đổi của một electron từ mức năng lượng bị chiếm giữ cuối cùng sang mức năng lượng tự do đầu tiên. Số lượng electron pi trong phân tử có liên kết đôi $N$ là $2N$. Theo các quy luật của cơ học lượng tử (nguyên lý Pauli), hai electron (có spin phản song song, tức là động lượng vốn có trong một electron) có thể nằm ở mỗi mức năng lượng. Do đó, $2N$ electron chiếm mức $N$ và ngưỡng hấp thụ bước sóng dài nhất tương ứng với sự chuyển đổi của electron từ mức $N$ chiếm giữ sang mức $N + 1$, tức là mức tự do. Theo công thức (1), sự chuyển tiếp này tương ứng với tần số của sóng ánh sáng

$$v_{N, N+1} = \frac{E_{N+1} - E_N}{h}.$$

Ta tìm các giá trị năng lượng $E_{N+1}$ và $E_N$ từ điều kiện lượng tử hóa (4)