Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

63

Đại học quốc gia Moscow
được đặt theo tên của M.V. Lomonosov

Trong số này, chúng tôi cung cấp các mẫu lựa chọn cho bài kiểm tra viết môn toán và các ví dụ về bài toán bài kiểm tra vấn đáp trong môn vật lý, được tổ chức tại Đại học Bang Moscow vào năm 1975. Các kỳ thi cho tất cả các khoa khoa học được tổ chức vào tháng Bảy.

Matematika

Khoa Cơ học và Toán học

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3 \frac{1}{3} (x^2 + 4x + 6) + 6 \sqrt{\log_3 (x^2 + 4x + 6)} \geq 8.$$
2. Tìm tất cả các cặp số $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện $y \geq 0$ và hệ phương trình
   $$\begin{cases} 4x^2 + (y + 1)^2 - 32 = 31 \cdot 2x^2 + (y + 1)^2, \\ \cos [\pi \cdot (x^2 + y^2)] = 1. \end{cases}$$
3. Hai hình thoi bằng nhau $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$) và $APQR$ ($AP \parallel QR$, $AR \parallel PQ$) có chung một đỉnh $A$ và nằm trong cùng một mặt phẳng. Được biết, $\Rightarrow BAD = \Rightarrow PAR = \alpha < \frac{\pi}{2}$, điểm $R$ nằm bên trong hình thoi $ABCD$ và góc $RAD$ bằng $\beta$. Các cạnh $BC$ và $QR$ cắt nhau tại điểm $K$. Tìm góc $BAK$.
4. Một ví dụ về tam giác đều $SABC$ có đỉnh $S$ và đáy $ABC$ được nội tiếp một quả cầu có bán kính đơn vị; Góc nhị diện giữa đáy và mặt bên là $60^\circ$. Chứng minh rằng tồn tại một mặt phẳng duy nhất cắt các cạnh của đáy $AB$ và $BC$ tại một số điểm $M$ và $N$ sao cho $MN = 5$, tiếp xúc với quả bóng tại một điểm cách đều các điểm $M$ và $N$, cắt phần mở rộng của các ví dụ về chiều cao $SK$ cho điểm $K$ tại một thời điểm nào đó $D$. Tìm độ dài của đoạn $SD$.
5. Không sử dụng bảng, hãy tìm tất cả các giá trị $x$ trong khoảng $-4 < x < -2,5$ thỏa mãn điều kiện
   $$\log \frac{1}{5} (\sin x - \cos 6x + \frac{2}{3}) = \log \frac{1}{5} (\sin 3x - \cos 8x + \frac{2}{3}).$$

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{x^2 + 4x - 5} - 2x + 3 > 0.$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sin (2x + \sin^2 y) = 0, \\ x - 3\sin^2 y = -2. \end{cases}$$
3. Một ranh giới hình chữ nhật được đưa ra. Người ta biết rằng một đường thẳng song song với hai đáy cắt nó thành hai hình thang, trong đó mỗi hình thang có thể nội tiếp một đường tròn. Xác định các đáy của hình thang ban đầu nếu các cạnh của nó là $c$ và $d$ và $c < d$.
4. Hai chiếc xe tải từ kho đến công trường đủ để chở cùng một lượng tôn và cùng một lượng xi măng, mỗi chiếc đều đến điểm uốn trước, sau đó đến xi măng, mang một tải trọng như nhau cho mỗi chuyến. Xe thứ nhất khởi hành sớm hơn 40 phút và về đích muộn hơn xe thứ hai 40 phút. Đồng thời, khoảng thời gian giữa các xe tải kripcha kết thúc không quá 20 phút.
   Nếu xe thứ nhất bắt đầu làm việc sớm hơn xe thứ hai 1 giờ 5 phút và không có sự thay đổi thì xe thứ hai hoàn thành công việc sớm hơn xe thứ nhất 55 phút và khoảng thời gian giữa các xe hoàn thành công việc ít nhất là 25 phút.
   Nếu tính ngẫu nhiên của xe tải thứ nhất giảm đi 2 tấn/giờ và tính ngẫu nhiên của xe tải thứ hai không thay đổi thì xe tải thứ nhất sẽ mất gấp đôi thời gian để hoàn thành toàn bộ công việc so với xe tải thứ hai.
   Bao nhiêu xi măng đã được thêm vào công trường?
5. Cho ví dụ về tam giác $ABCD$. Các cạnh giao nhau $AC$ và $BD$ và $AD$ và $BC$ trong ví dụ này vuông góc, các cạnh $AB$ và $CD$ bằng nhau, tất cả các cạnh của ví dụ đều tiếp tuyến với một quả cầu có bán kính $r$. Tìm diện tích khuôn mặt $ABC$.

64

Khoa Vật lý

1. Giải phương trình
   $$2\sin(x + 3) \cos(4x - 1) + \sin(3x - 4) = 0.$$
2. Giải phương trình
   $$\log \frac{1}{6}(x + 3) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_4(x^2 + 5x + 12)}$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$(2 - 5^x)(7x^2 - 10x + 3) < 0.$$
4. Trong tam giác vuông $ABC$, góc $ACB$ là góc vuông. Gọi $E$ là giao điểm của bissetr của góc $ABC$ với các cạnh $AC$; điểm $D$ là trung điểm của cạnh $AB$, $O$ là giao điểm của các đoạn $BE$ và $CD$. Đường vuông góc với đường thẳng $BO$ được vẽ qua điểm $O$ cho đến khi cắt các cạnh $BC$ tại điểm $F$. Được biết, $FC = b$, $OC = \frac{3b}{2}$. Tìm diện tích tam giác $ABC$.
5. Hai tam giác bằng nhau $KLM$ và $KLN$ có các cạnh chung $KL$, $\Rightarrow KLM = \Rightarrow LKN = \pi/3$, $KL = a$, $LM = KN = 6a$. Các mặt phẳng $KLM$ và $KLN$ vuông góc với nhau. Bóng chạm vào các đoạn $LM$ và $KN$ tại điểm giữa của chúng. Tìm bán kính của nó.

Khoa Sinh học

1. Hai công nhân làm việc cùng số giờ vào ngày đầu tiên, tạo ra những bộ phận giống nhau. Đồng thời, người công nhân sản xuất nhiều hơn người thứ hai 30 bộ phận. Ngày hôm sau, người công nhân tăng năng suất lao động lên 1,2 lần và hoàn thành công việc sớm hơn ngày thứ nhất 1 giờ. Người công nhân thứ hai vào ngày thứ hai sản xuất ít hơn ngày đầu tiên 5 sản phẩm/giờ và làm việc gấp 7/6 lần so với ngày đầu tiên. Được biết, vào ngày thứ hai, mỗi công nhân đã làm được 420 bộ phận. Ngày thứ nhất người công nhân thứ hai sản xuất được bao nhiêu sản phẩm trong một giờ?
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $p$ mà phương trình bậc hai
   $$(4x)^2 + \left(2\frac{1}{p} + 4 - 24\right)x + 1 = 0$$
   có chính xác một lời giải.
3. Một tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn và cạnh $AB$ của nó là đường kính của đường tròn. Các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $M$. Được biết, $BC = 3$, $CM = \frac{3}{4}$ và diện tích tam giác $ABC$ lớn thứ hai so với diện tích tam giác $ACD$. Tìm độ dài của đoạn $AM$.
4. Giải phương trình
   $$|\sin x + 2\sin 2x + \sin 3x| = 1 + 2\cos x + \cos 2x$$
5. Tìm tất cả các số nguyên $n$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log \left(2\log \frac{\pi}{5} - n + 13\right) \leq 0.$$

Khoa Hóa học

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{3}{2}x + \sqrt{x} < 8.3^{2x + 3}\sqrt{x} + 3^{x + 4}\sqrt{x} + 2.$$
2. Hai mỏ đã được cải tiến trong hình vuông đầu tiên. Sản lượng tháng 3 của mỏ thứ hai thấp hơn 400 $m$ so với sản lượng tháng 2 của mỏ thứ nhất. Sản lượng tháng 1 của mỏ thứ nhất bằng sản lượng tháng 3 và bằng sản lượng tháng 2 của mỏ thứ hai. Theo kết quả của hai tháng đầu tiên, sản lượng của mỏ thứ nhất kém hơn mỏ thứ hai 1000 $m$. Cái gì nhiều hơn và bao nhiêu: sản lượng tháng Giêng của mỏ thứ nhất hay sản lượng tháng Giêng của mỏ thứ hai? Được biết, nếu sản lượng tháng 1 của mỏ thứ hai bằng sản lượng tháng 3 của nó thì sản lượng của mỏ thứ hai trong các tháng 1, tháng 2 và tháng 3 sẽ nhiều hơn sản lượng của mỏ thứ nhất trong cùng tháng vào 1300 $m$.
3. Trong tam giác $ABC$, cosin của góc $ACB$ bằng $\frac{2}{3}$, $AC = 3$, $BC = 9$. Điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $CD = 3$. Tìm tỉ số giữa diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ với diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$.
4. Một quả bóng có bán kính $R$ chạm vào tất cả các mặt bên của hình chữ nhật hình tam giác ở cạnh giữa của đáy nó. Đoạn nối đỉnh của đường thẳng với tâm của quả cầu được chia đôi bởi điểm giao nhau với đáy của đường thẳng. Tìm thể tích của đường thẳng.
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hệ thống
   $$\begin{cases} \sin(3a - 3y) + 3\sin x = 0, \\ 2\log_4(a - y) + 2\log_4(2\sqrt{y}) = \log_2\sqrt{y} + 3\log_8(2x) \end{cases}$$
   có số lời giải.

Khoa Khoa học Bưu chính

1. Hai người thợ khoan phải đào ba cái hố giống hệt nhau. Nếu họ làm việc cùng nhau, họ sẽ đào được chúng trong hai ngày. Người khoan thứ nhất có thể đào một hố mỗi ngày nhanh hơn người khoan thứ hai. Vào một ngày, cuộc tập trận đầu tiên hoạt động trong nửa ngày và cuộc tập trận thứ hai hoạt động cả ngày. Hỏi tổng số công việc đã hoàn thành trong ngày đó là bao nhiêu?
2. Tìm tất cả các giá trị của biến $x$ mà tại đó biểu thức $3 + \sin^2 2x - 2\sin^2 x$ đạt giá trị lớn nhất.
3. Giải phương trình
   $$x + 27 \frac{5}{2} \log_9 \sqrt{3} \sqrt{x} = \frac{110}{3}.$$
4. Hình bình hành có hai đường tròn tiếp xúc nhau

65

cạnh của mỗi hình bình hành. Bán kính của một hình tròn bằng 1. Người ta cũng biết rằng một trong các đoạn của cạnh hình bình hành tính từ đỉnh đến điểm tiếp tuyến bằng $\sqrt{3}$. Tìm diện tích của hình bình hành.

5. Chứng minh không cần dùng bảng rằng

$$\log_2 7 + \left(3 + \cos \frac{15}{7}\right) \log_7 2 < 4.$$

Khoa Địa chất

1. Giải phương trình $\cos 4x + 6 = 7 \cos 2x$.

2. Một chiếc máy xúc đang đào một cái hố. Sau khi loại bỏ 20 $m^3$ đất, độ ngẫu nhiên của máy đào giảm xuống còn 5 $m^3/u$. Tìm độ ngẫu nhiên ban đầu của máy đào nếu 50 $m^3$ đất được loại bỏ sau 8 giờ kể từ khi bắt đầu công việc.

3. Giải bất đẳng thức

$$2 \log_{(2x-1)} 10 + \log_{10} |2x-1|^3 < \log_2 8.$$

4. Trong tam giác đều $ABC$ các cạnh được biết là: $AC = 4 cm$, $AB = BC = 6 cm$. Phân giác của góc $C$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $D$. Một đường tròn được vẽ qua điểm $D$, chạm vào cạnh $AC$ ở giữa và cắt đoạn $AD$ tại điểm $E$. Tìm diện tích tam giác $DEC$.

5. Giải bất đẳng thức

$$\sqrt{(x-5)(-x+7)} + 1 > -\sqrt{x-5} + \sqrt{-x+7}.$$

Khoa Địa lý

1. Người đàn ông trên thuyền bắt đầu chèo ngược dòng nước chảy xiết. Tuy nhiên, sau 4 phút, con thuyền đã thấp hơn điểm 80 $m$. Quay đầu lại, anh ta ngừng chèo, và khi đang nghỉ ngơi thì thuyền trôi đi 40 $m$. Sau đó, anh ta bắt đầu chèo theo dòng nước, và con thuyền di chuyển so với mặt nước với tốc độ tương tự như trong 4 phút đầu tiên và vượt qua 40 $m$ nữa so với bờ. Tổng cộng 100 giây trôi qua kể từ khi thuyền quay đầu. Tốc độ của dòng điện là bao nhiêu?

2. Giải phương trình

$$\sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{4} - \cos^2 \frac{x}{2}.$$

3. Giải phương trình

$$5 \log \sqrt{3} (x-1) = 25 \log_3 \sqrt{x^2-1} \cdot 25 \log_3 \frac{x^2-1}{4x^2-7}.$$

4. Trong tam giác $ABC$, đường phân giác $AH$ cắt các đường cao $BP$ và $CT$ lần lượt tại các điểm $K$ và $M$ và các điểm này nằm bên trong tam giác. Được biết, $BK$: $KP = 2$ và $MT : KP = \frac{3}{2}$. Tìm tỷ lệ diện tích của tam giác $PBC$ với diện tích của tam giác $kruga$ được mô tả xung quanh tam giác này.

5. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \text{ctg } 4x = \text{ctg } \frac{7-y}{3}, \\ 3x + 4 \log \frac{3x}{\pi} \sqrt{\frac{\pi^3 x}{27}} = \\ = 2 \log \sqrt{\frac{3x}{\pi}} \left( \frac{3x^2}{\pi} \right) - 36 \end{cases} - \frac{1}{3} \log \frac{1}{6} \sqrt{y^3}$$

Vật lý

Khoa Cơ học và Toán học và Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Một sợi dây được quấn trên một trục di động có bán kính $R = 10$ $cm$, và một giấc mơ được gắn vào đầu của nó. Dưới tác dụng của trọng lượng của tải, sợi dây bung ra và tải, chuyển động đều với gia tốc không có tốc độ ban đầu, giảm đi $h = 1$ $m$ trong thời gian $t = 5$ giây. Tìm gia tốc hướng tâm của điểm vành tại thời điểm tải ở giữa đường đi. sợi dây không trượt dọc theo trục.

2. Một vật được ném một góc $\alpha$ so với phương ngang. Ở góc tối thiểu nào $\alpha_{\min}$ k thì năng lượng sợi dây của một vật có thể bằng thế năng của nó (không có lực ném)?

3. Máy chưng cất có hai vòng xoắn gia nhiệt. Tuy nhiên, trong số này, độ tùy ý của $q_1 = 0,2$ $k\epsilon/\mu\nu$ của nước cất, còn lại là $q_2 = 0,4$ $k\epsilon/\mu\nu$, đảm bảo tính tùy ý. Độ ngẫu nhiên của máy chưng cất khác nhau bao nhiêu lần khi các đường xoắn ốc này được mắc song song và nối tiếp? Điện áp mạng không đổi, không tính đến tổn thất nhiệt.

4. Một cuộn dây có đường kính $d = 10$ $cm$ được đặt trong từ trường có cảm ứng $B = 1,256 \cdot 10^{-2}$ $m^2$ sao cho trục của nó trùng với hướng của các đường cảm ứng từ. Cuộn dây có $N = 500$ vòng dây và có điện trở $R = 10$ $om$. Tìm câu đố khi thiết kế một vật thể cuộn dây nếu từ trường đều giảm về 0.

5. Trong khán phòng rạp chiếu phim, hình ảnh cadar có kích thước $18 \times 24$ $mm$ phải được đặt chính xác trên màn hình có kích thước $3 \times 4$ $m$. Tiêu cự của vật sẽ là bao nhiêu nếu khoảng cách từ máy ảnh đến màn hình là $L = 16$ $m$?

66

6. Còn lại để thu thập các thấu kính có tiêu cự $F_1 = 12$ cm và $F_2 = 7$ cm có một trục quang chung và nằm cách nhau $l$. Một vật có chiều dài $a = 2$ cm nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính thứ nhất cách thấu kính thứ hai $F_1 + l$. Tìm kích thước hình ảnh.

Khoa Vật lý

1. Một thanh không trọng lượng có thể quay không ma sát quanh một trục nằm ngang đi qua điểm $O$ và vuông góc với thanh (Hình 1). Trên thanh, ở một phía của trục, các vật nặng bằng nhau có khối lượng $m$, mỗi vật được cố định ở khoảng cách $l$ và $l/2$ tính từ điểm $O$. Mặt khác, một tải có khối lượng $2m$ được gắn vào thanh cách trục một khoảng $l/2$. Tại thời điểm ban đầu thanh được đặt nằm ngang và thả ra. Xác định vận tốc tuyến tính của tải trọng trung bình tại thời điểm thanh đi qua vị trí cân bằng.

2. Thể tích $V$ chứa không khí ẩm ở độ ẩm tương đối $\varepsilon\%$, nhiệt độ $T_0$ và áp suất $p_0$. Khối không khí ướt $M$. Xác định áp suất của hơi nước bão hòa ở nhiệt độ này.

3. Tìm điện dung mắc nối tiếp của hai tụ điện như hình 2, nếu biết các thông số sau: $S$ là diện tích mỗi bản tụ, $d$ là khoảng cách giữa các bản của mỗi tụ điện, $\varepsilon$ là hằng số điện môi của chất cách điện lấp đầy bể tụ điện (không tính hệ số biên).

4. Một lăng kính thủy tinh cân có góc khúc xạ nhỏ $\alpha$ được đặt trong một chùm tia song song tới thường trên đáy của nó (Hình 3). Chiết suất của thủy tinh $n = 1,57$; kích thước đế $2d = 5$ cm. Tìm giá trị của góc khúc xạ $\alpha$ nếu ở giữa màn hình, cách đối tượng $L = 100$ cm, có một phần màn hình không được chiếu sáng rộng $2a = 1$ cm.

5. Một chùm ánh sáng song song được chiếu thẳng tới cực âm của dải ảnh. Tiêu cự của thấu kính $F$ lớn hơn đáng kể so với đường kính của nó $D$. Sự sắp xếp lẫn nhau của thấu kính và dải ảnh sao cho một cathode quang tròn, đường kính của nó là $d$, chặn chính xác luồng ánh sáng. Trong trường hợp này, điện kế trong mạch dải ảnh hiển thị dòng điện $I$. Điện kế sẽ hiển thị dòng điện bao nhiêu nếu một tấm phẳng song song có độ dày $H$ và chiết suất $n$ được đặt giữa dải thẳng và dải ảnh mà không thay đổi vị trí của chúng? (Không tính đến tổn thất ánh sáng do phản xạ và hấp thụ.)

Khoa Hóa học

1. Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là $v = 4$ m/s. Thời điểm nó đạt đến điểm cao nhất,