nguyên lý Fermat

17

Lịch sử của định luật khúc xạ Nhật Bản trải dài gần hai nghìn năm. Tất cả những “công cụ” cần thiết để khám phá định luật đều có trong lĩnh vực của các nhà khoa học cổ đại. Như vậy, Claudius Ptolemy (thế kỷ thứ 2 sau Công Nguyên) đã thực nghiệm thu được các giá trị khá chính xác về góc tới và góc khúc xạ của ánh sáng. Ông cũng biên soạn các bảng giá trị đầu tiên của các hàm lượng giác. Nhưng Ptolemy đã cố gắng thiết lập một khuôn mẫu tương ứng giữa góc tới và góc khúc xạ mà không đồng ý thay thế các góc bằng hàm lượng giác của chúng.

Trong những thế kỷ tiếp theo, cho đến thế kỷ 17, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Trong số những người bình thường có nhà quang học thời trung cổ vĩ đại nhất Ibn al-Khaitan (Alhazen), và người tạo ra cơ học thiên thể, Kepler vĩ đại. Tuy nhiên, không ai trong số họ có thể thiết lập được định luật khúc xạ ánh sáng.

…Năm 1637, Viện trưởng Mersenne gửi cho Pierre Fermat những chương đầu tiên trong chuyên luận “Dioptrics” của Descartes để Fermat bày tỏ quan điểm của mình về tác phẩm này. Một trong những chương được dành cho định luật phản xạ và khúc xạ.

Descartes xét chuyển động của một quả bóng được ném theo một góc lên một tấm lưới được căng lỏng. Nếu bóng xuyên qua lưới, hướng chuyển động của nó sẽ thay đổi. Sử dụng các thông điệp hình học đơn giản, Descartes thu được sự tương ứng giữa các hàm lượng giác của góc tới và góc khúc xạ của một quả bóng:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \text{const.}$$

Và sau đó, không cần biện minh gì, anh ta sẽ kiểm tra lại điều kiện này trong trường hợp ánh sáng truyền đi khi nó đi qua ranh giới của hai môi trường*. Vào thời Descartes, người ta tin rằng một môi trường đậm đặc hơn luôn khúc xạ ánh sáng, và để tính đến kết quả lý thuyết của ông với thực tế này, Descartes đã kết luận rằng tốc độ ánh sáng trong môi trường đậm đặc hơn sẽ lớn hơn trong môi trường kém đậm đặc hơn (điều này, tất nhiên, không đúng!). Phải nói rằng mọi lý luận vật lý của Descartes đều rất thấp, không thể hiểu được Descartes gọi ánh sáng là gì.

Fermat gửi bài đánh giá về Dioptrics cho Mersenne. Trong đó, ông chủ yếu đưa ra hai nhận xét liên quan đến nguồn gốc của định luật khúc xạ. Fermat coi hành vi này là hành vi chuyển nhượng tài sản trái pháp luật

*) Trước Descartes, định luật khúc xạ được phát hiện bởi nhà vật lý, toán học và thiên văn học người Hà Lan Snellaus. Tuy nhiên, ông không công bố kết quả của mình ở bất cứ đâu.

18

Kết hôn với thân xác bị bỏ rơi để truyền bá ánh sáng. Theo Fermat, thậm chí còn ít hợp lý hơn khi khẳng định rằng ánh sáng sẽ truyền trong môi trường đậm đặc hơn với tốc độ cao hơn trong môi trường ít đậm đặc hơn. Từ tất cả những điều này, Fermat kết luận rằng công thức định luật lan truyền do Descartes đưa ra là không đúng.

Mersenne chuyển tiếp nhận xét của Fermat cho Descartes. Để Descartes cảm nhận được uy quyền của lời giải, tác phẩm mà ông không quen thuộc, Mersenne cũng gửi kèm trong thư tác phẩm của Fermat “Về phương pháp tìm ra nhiều giá trị nhất”. Đây là lĩnh vực toán học mà Descartes đã có những kết quả đáng kể và tự coi mình là người tiên phong.

Đáp số Descartes ở lời giải là khắc nghiệt và không công bằng về nhiều mặt. Sau khi trao đổi vài lá thư, mỗi bên vẫn chưa bị thuyết phục và cuộc thảo luận chuyển sang phương pháp tìm ra giá trị lớn nhất và nhiều nhất.

Fermat quay trở lại vấn đề quang học chỉ 20 năm sau, sau cái chết của Descartes. Động lực cho một số ý tưởng mới về cách thiết lập định luật truyền lan là cuốn sách về quang học của người bạn Curau de la Chambre của ông. Cuốn sách này trình bày những kết luận về định luật phản xạ ánh sáng dựa trên “sự thừa nhận con đường ngắn nhất” do nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Heron (thế kỷ 1 sau Công nguyên) đưa ra.

Trong chuyên luận “Catoptrics” của mình, Heron, khi xem xét sự phản xạ của ánh sáng từ gương phẳng và gương cầu, đã đưa ra nhận xét sau: ánh sáng bị phản xạ theo cách sao cho đường đi của tia sáng đi từ một điểm nhất định và phản xạ tới một điểm nhất định là tối thiểu.

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ánh sáng không tuân theo nguyên tắc này. Đặc biệt, khi ánh sáng truyền trong một môi trường không đồng nhất, đường đi của ánh sáng từ điểm này đến điểm khác không hề nhỏ.

Sau khi học lại định luật Nhật Bản, Fermat quyết định thử hình dung nguyên lý Heron. Ý tưởng chính của nó là như sau. Những đường đi “ngắn nhất” được ánh sáng chọn phải được hiểu là những đường đi “dễ nhất”, là những đường đi mà ánh sáng trải qua ít “thể thao” nhất từ ​​môi trường mà nó truyền đi. Fermat đã không đưa ra lời giải thích vật lý rõ ràng cho “môn thể thao” này. Thực tế là ông coi sự truyền ánh sáng là tức thời. Sự ra đời của khái niệm “thể thao” chắc chắn đã gợi lên ý tưởng về sự lan tỏa của ánh sáng theo thời gian. Tất nhiên, Fermat hiểu điều này, nhưng ông chủ yếu phát biểu với tư cách là một nhà toán học. Và để bỏ qua câu hỏi này bằng những suy đoán mơ hồ về “sự ác cảm” của ánh sáng đối với vật chất, Fermat chuyển sang một công thức toán học thuần túy của bài toán.

Cho một tia sáng đi từ điểm A trong môi trường I (Hình 1) tới điểm B trong môi trường II. Tất nhiên, đường đi ngắn nhất giữa các điểm này là đường thẳng AB. Trong trường hợp này, ánh sáng sẽ đi qua ranh giới của phương tiện tại điểm D. Nhưng nếu “thể thao” của phương tiện I và II khác nhau thì đường đi của ADB có thể không phải là con đường dễ dàng nhất cho ánh sáng.

Ví dụ, giả sử cường độ tác dụng của môi trường I lên ánh sáng trên một đơn vị đường đi bằng r, cường độ tác dụng bởi môi trường II bằng

20

sự mơ hồ của khái niệm “sức cản”, sự mơ hồ hoàn toàn trong vấn đề truyền ánh sáng theo thời gian. Nhưng chúng tôi muốn nhấn mạnh một lần nữa rằng Fermat đã xem xét những câu hỏi này với những ngón tay bị bó buộc, chỉ quan tâm đến khía cạnh toán học của vấn đề.

Chẳng bao lâu sau, những lời chỉ trích gay gắt về nguyên lý Fermat bắt đầu dịu đi. Chính Huygens, sau khi lặp lại các tính toán của Fermat và bị thuyết phục về tính hoàn hảo của chúng, đã tin vào nguyên lý này đến mức ông đã sử dụng “hiện tượng Fermat” tuyệt vời này khi tạo ra lý thuyết sóng của ánh sáng.

Hầu như tất cả sự phát triển tiếp theo của quang học tia và sự xây dựng quang học sóng theo cách này hay cách khác đều có liên quan đến nguyên lý Fermat. Khi dữ liệu thực nghiệm và lý thuyết được tích lũy, công thức của nó đã được cải tiến và sửa đổi. Việc thiết lập sự phụ thuộc của tốc độ truyền ánh sáng vào mật độ của môi trường giúp bộc lộ ý nghĩa của hằng số trong định luật khai triển:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n = \frac{v_1}{v_2},$$

trong đó $n = v_1/v_2$ là chỉ số giãn nở tương đối, bằng tỷ số giữa tốc độ ánh sáng trong môi trường I và II (xem Hình 1). Điều này loại bỏ sự mơ hồ liên quan đến khái niệm lực cản và cho phép chúng ta thực hiện bước tiếp theo trong việc xác định đường đi của ánh sáng: những đường đi “dễ nhất” nên được hiểu là những đường mà ánh sáng mất ít thời gian nhất để truyền đi. Tuy nhiên, trong một số trường hợp (một phần khi bị phản xạ từ gương sóng), ánh sáng rõ ràng “ưa thích” những đường đi mất nhiều thời gian nhất…

Cuối cùng, nguyên lý Fermat đã đưa ra một công thức tổng quát hơn công thức do chính Fermat đưa ra: ánh sáng sẽ truyền dọc theo một đường có độ dài quang học cực đại, nghĩa là nó là cực đại của tất cả các khả năng có thể, hoặc cực tiểu, hoặc không đổi.

Độ dài đường quang trong trường hợp môi trường đồng nhất là tích của độ dài đường hình học $s$ và chỉ số tuyệt đối về độ lấp đầy của chất: $l = ns$. Nếu môi trường kém thì độ dài đường quang sẽ bằng tổng độ dài quang trong các phần khác nhau mà chỉ báo lấp đầy được vẽ trên đồ thị.

Nguyên lý Fermat hóa ra là nguyên lý cực trị đầu tiên được hình thành một cách rõ ràng và có ý thức, hay chính xác hơn là nguyên lý biến phân.

Vào cuối thế kỷ 18, I. Bernoulli, sử dụng nguyên lý Fermat, đã quyết định bài toán về brachistochrone - đường cong đi xuống ngắn nhất. (Chúng tôi đã nói về điều này trong số thứ 12 của tạp chí năm 1975.) Maupertion và Euler vào thế kỷ 18, bắt đầu từ cùng nguyên lý Fermat, đã phát hiện ra nguyên lý dao động trong cơ học. Hamilton vào thế kỷ 19 đã tạo ra một nguyên lý dao động tổng quát cho cả cơ học và quang học. Lý thuyết hiện đại về cơ học lượng tử dựa trên nguyên lý Hamilton. Do đó, nguyên lý Fermat là người sáng lập ra cả một nhóm nguyên lý biến phân trong vật lý, và ảnh hưởng của ông có thể bắt nguồn từ ngày nay.

Và để kết luận, chúng tôi khuyên bạn nên thử, dựa trên nguyên lý Fermat, rút ​​ra các định luật phản xạ và giãn nở của ánh sáng.