Bài toán M396—M400; F408—F412

36

Nhiệm vụ

M396—M400; F408—F412

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 11 năm 1976 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Zadchik «Kvant», M396” hoặc “…F408”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán prosbapis mới phải được gửi trong các phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).
Trong số này, “Bài toán «Kvant» chủ yếu bao gồm bài toán, được đưa ra tại Kỳ thi Olympic toàn Liên minh vừa qua. Trong ngoặc đơn (sau bài toán của loại Olympic cuối cùng), lớp dành cho học sinh nào bài toán được đưa ra sẽ được chỉ định.
Nan khó hơn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

M396. Một hình tam giác có các cạnh lớn hơn 1 cm được gọi là “lớn”. Cho tam giác đều ABC có cạnh 5 cm. Chứng minh rằng a) Có thể cắt được 1000 hình tam giác “lớn” từ tam giác ABC; b) tam giác ABC có thể cắt thành 1000 tam giác “lớn”; b)* tam giác ABC có thể được tam giác hóa thành 1000 tam giác “lớn”, tức là chia sao cho hai tam giác bất kỳ hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung; d) thực hiện các bước 6) và b) đối với tam giác đều có cạnh 3 cm. (8-9 ô)

S. Fomin

M397. Có ba vòng tròn có cùng bán kính trên mặt phẳng dữ liệu.
a) Chứng minh rằng nếu chúng cắt nhau tại một điểm như trên Hình 1 thì tổng các cung được đánh dấu AK, CK, EK bằng 180°.
b) Chứng minh rằng nếu chúng có vị trí như hình 2 thì tổng các cung được đánh dấu AB, CD, EF bằng 180°. (8 lớp)

M398. Có n số thực (n ≥3) trên một đường tròn, tổng của các số đó bằng 0. Một trong những con số này là 1.
a) Chứng minh rằng có hai số liền kề cách nhau ít nhất 4/n.
b) Chứng minh rằng có một số khác trung bình số học của hai số lân cận nó ít nhất 8/n2.
b) Việc đánh giá được đề xuất ở đoạn trước có thể được cải thiện. Hãy thử thay thế số 8 trong đó bằng một số lớn hơn để phát biểu bài toán này vẫn đúng cho tất cả các số tự nhiên.
g)* Chứng minh rằng với n=30 tồn tại một số trên đường tròn khác với trung bình số học của hai số lân cận của nó ít nhất là 2/113. Cho ví dụ về tập hợp 30 số trên một vòng tròn,

37

trong đó không có số nào khác trung bình số học của hai số liền kề của nó quá 2/113.

e)* Tìm trong bài toán ước tính chính xác về sự khác biệt giữa số và trung bình số học của các lân cận của nó đối với bất kỳ $n$ nào. (9 lớp)

M399. Trên một đoạn có độ dài 7, chúng ta có thể thiết lập một đường đi của các điểm (xem Hình 3) sao cho với bất kỳ $m=1, 2, \dots, 7$ nào cũng có hai trong số năm điểm này ở khoảng cách $m$.

Hãy thử tìm ra số nhỏ nhất của $k_n$ điểm phải được đặt trên một đoạn có độ dài $n$ sao cho với bất kỳ $m=1, 2, \dots, n$ nào cũng có hai trong số $k_n$ điểm này ở khoảng cách $m$.

a) Giải bài toán này cho một số giá trị của $n$ (chúng ta biết $k_n$ cho $n \leqslant 13$).

b) Lấy ước tính cho $k_n$ cho bất kỳ $n$ nào. Ước tính $(\sqrt{8n+1}+1)/2 \leqslant k_n \leqslant \sqrt{4n+5}-1$ đã được biết. Hãy cố gắng chứng minh những bất đẳng thức này và nếu có thể, hãy tìm những ước tính chính xác hơn.

MỘT. Savin

M400. Chúng ta gọi một dãy số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_h$ là phổ quát cho một $N$ nếu từ đó chúng ta có thể loại bỏ một phần số hạng của bất kỳ dãy $N$ nào trong đó mỗi số 1, 2, …, $N$ xuất hiện một lần.

a) Cho ví dụ về dãy phổ quát gồm $N^2$ số hạng.

b) Cho ví dụ về dãy phổ quát gồm $N^2-N+1$ số hạng.

c) Chứng minh rằng bất kỳ dãy phổ quát nào cũng bao gồm ít nhất $\frac{N(N+1)}{2}$ số hạng.

d) Chứng minh rằng với $N=4$ dãy phổ quát ngắn nhất gồm 12 số hạng.

d) Cố gắng tìm một $N$ dãy phổ quát ngắn nhất có thể. (9 lớp)

G. Gurevich

F408. Từ các điện trở ở 1, 2, 3 và 4, mạch điện như hình 4 được lắp ráp. Dòng điện chạy qua ampe kế $A_2$ là bao nhiêu, nếu dòng điện chạy qua ampe kế $A_1$ 5 $a$? Vôn kế chỉ 10 $b$. Các dụng cụ đo lường là hoàn hảo. (8 lớp)

F409. Tại sao bạn có thể dùng thấu kính để thắp sáng giấy bằng ánh sáng từ Mặt trời mà không thể dùng ánh sáng từ một ngôi sao? (10 lớp)