Hình gấp

15

V. Yarmolenko

Hình gấp

Chúng ta sẽ xét các hình phẳng được giới hạn bởi một đường khép kín không có giao điểm.

Trong bài viết này, các số liệu tắc nghẽn được gọi là justia hoãn lại (không khác nhau), tức là tập hợp các số liệu tắc nghẽn của một hình nhất định được coi là một hình. Đối với các lớp hình đồng dạng với nhau, người ta có thể đưa ra một số thuật ngữ mới, ví dụ, gọi những lớp đó là “hình trừu tượng”. Tuy nhiên, vì bài viết này chỉ xem xét “các số liệu trừu tượng” nên chúng tôi sẽ gọi chúng đơn giản là các số liệu. Chúng ta hãy biểu thị tập hợp các hình đang được xem xét bởi G. Do đó, G chứa một tam giác có các cạnh 3, 4 và 5 (xét cho cùng, tất cả các tam giác như vậy đều bằng nhau!), đúng một đường tròn có bán kính 17, v.v.

Nếu hình A có một trục đối xứng thì trục này chia các hình thành hai phần tắc nghẽn. Hãy gọi mỗi phần này là kết quả của việc gấp hình A (dọc theo trục đang xét). Kết quả của việc gấp có thể có một trục đối xứng. Vì vậy, nói chung, các hình ban đầu có thể cho phép gấp lại nhiều lần.

Có những hình dạng cho phép gấp vô tận. Các hình như vậy, ví dụ, hình tròn, hình cung của hình tròn, hình thang tròn (hình được giới hạn bởi các cung có đường nét tập trung).

hình tròn và các đoạn bán kính tương ứng), tam giác vuông và hình chữ nhật đều. Mặt khác, từ “ví dụ” là dư thừa trong cụm từ trước: có thể chứng minh rằng không có hình nào khác trong Γ cho phép gấp vô hạn (một dải vô hạn giới hạn bởi các đường thẳng song song không được bao gồm trong Γ!).

Chúng ta hãy biểu thị bằng Aᵇ tập hợp tất cả các hình, hoặc các hình đồng dạng của A, hoặc các hình thu được từ các hình A do một hoặc nhiều lần gấp.

Nếu các hình A không có trục đối xứng thì tập Aᵇ gồm chính hình tròn A và các cung của nó có các góc ở tâm $\frac{2\pi}{2n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Nếu A là hình thoi không phải hình vuông thì Aᵇ gồm có bốn hình. Hình 1 mô tả bộ này; Các mũi tên chỉ thứ tự gấp. Kết quả gấp hình B và D là như nhau. Sau đó, chúng ta đánh dấu mỗi hình của tập hợp Aᵇ bằng một điểm, được ký hiệu bằng cùng một chữ cái với chính hình đó. Điểm tương ứng với hình chứa trong đoạn có điểm tương ứng với kết quả gấp hình này và đặt điểm đầu tiên lên trên điểm thứ hai. Hình 2 thể hiện sơ đồ kết quả.

Một sơ đồ gấp tương tự có thể được xây dựng cho bất kỳ hình dạng nào. Sơ đồ gấp được sử dụng để hình dung “mức độ đối xứng” của hình.

Hình 3 thể hiện hình A và sơ đồ gấp của nó. Bằng cách gấp các hình A, thu được hai hình B và K không tắc nghẽn; do đó, trong sơ đồ gấp, hai đoạn xuất phát từ điểm A. Kết quả của việc gấp các hình C và L không bị tắc nghẽn sẽ thu được hình D; do đó, trong sơ đồ gấp các đoạn

18

từ các điểm $C$ và $L$ nhập điểm $D$.

Hình 4 hiển thị một hình khác $A$ và sơ đồ gấp của nó.

Bây giờ chúng ta đặt nghịch đảo bài toán: một sơ đồ đã cho (giống như những sơ đồ trong Hình 2-4; chúng tôi không làm rõ khái niệm về sơ đồ); tìm hình có sơ đồ gấp giống sơ đồ đã cho.

Đối với lời giải như vậy bài toán, việc đưa ra khái niệm trải rộng là rất hữu ích: chúng ta gọi hình $A$ là kết quả của việc trải hình $B$ dọc theo đường thẳng $l$, nếu hình $B$ là kết quả của việc gấp hình $A$ dọc theo đường thẳng này.

Việc xây dựng hình $A$ theo sơ đồ của Hình 3 có thể được thực hiện bằng cách triển khai tam giác vuông $F$ có góc nhọn $22,5^\circ$ tuần tự dọc theo các đường thẳng tương ứng thành hình $E, D, C, B, A$. Có thể lấy hình $A$ từ tam giác $F$ bằng hai “chuỗi bố cục” khác (xem sơ đồ).

Đối với sơ đồ ở Hình 5, tương tự như bài toán lời giải như sau (vẽ hình nhé!). Chúng ta hãy lấy $B_0$ tứ giác lồi thang bậc $MNPQ$, có $\hat{M} = \frac{\pi}{2m-1}$, $\hat{N} = \frac{\pi}{2}$, $Q < \frac{\pi}{2}$; chúng ta hãy khai triển nó một cách tuần tự $m$ lần dọc theo đường thẳng $c_1 \supset MN, c_2, \dots, c_m$ đi qua $M$ thành hình $B_1, B_2, \dots, B_m$; hình $B_m = C_1$ là một đa giác lồi có tâm đối xứng $M$, các cạnh đối diện song song. Bây giờ chúng ta hãy mở rộng $C_1$ lần lượt $n$ lần dọc theo các đường thẳng song song $a_1 \perp c_1, a_2, \dots, a_n$ thành các hình $C_2, C_3, \dots, C_{n+1}$. Trong đa giác $C_{n+1} = D_1$, chúng ta cố định các cạnh kết nối $l, l_1$ sao cho $l \perp c_1$; Chúng ta hãy mở rộng nó một cách tuần tự $k-1$ lần dọc theo các đường thẳng song song $b_1 \supset l_1, b_2, \dots, b_{k-1}$ (những đường thẳng như vậy sẽ được tìm thấy, vì cạnh $l_1$ của đa giác $D_1$ song song với cạnh đối diện của nó) thành hình $D_2, D_3, \dots, D_h$. Đa giác $D_h = A$ là độc quyền.

Đối với mỗi “đảo ngược bài toán” cụ thể, khó khăn nằm ở việc tìm ra con số bắt đầu để mở ra.

Bài tập

1. Chứng minh rằng một tam giác chỉ có thể gấp vô hạn nếu nó là tam giác cân hình chữ nhật.
2. Chứng minh rằng một tứ giác chỉ có thể gấp vô hạn nếu nó là hình chữ nhật. Đối với $n > 4$, bất kỳ phép gấp nào của $n$-giác đều dẫn đến một đa giác có ít cạnh hơn.
3. Xây dựng các sơ đồ gấp một hình tròn, một phần hình tròn, một hình thang tròn và một tam giác vuông cân.
4. Vẽ sơ đồ gấp một hình chữ nhật nếu tỉ lệ chiều dài các cạnh của nó: a) bằng $2^i$ ($i=0, 1, 2, 3, \dots$); b) không bằng $2^i$.
5. Xây dựng sơ đồ của hình gấp như trong Hình 6.
6. Chứng minh rằng mọi tam giác đều chấp nhận gấp vô hạn.
7. Tìm các hình có sơ đồ gấp giống như trong Hình 7 và 8.