0,5√4 bằng bao nhiêu?

69

$\sqrt[5]{4}$ bằng bao nhiêu?

Trong một số sách giáo khoa toán dành cho người nộp đơn và trong một số ấn phẩm khác, việc giải thích lời giải của một loại phương trình đã trở nên phổ biến, mâu thuẫn với định nghĩa được chấp nhận ở trường. Chúng tôi cho rằng cần phải mang lại cho người đọc sự tin tưởng nhất định về những phát biểu sai lầm của tác giả những cuốn sách này.

Hãy xem xét phương trình số 7.053 từ “Bộ sưu tập bài toán trong toán học cho các kỳ thi đại học cụ thể” do M. I. Skanavi biên tập (M., “HIGH SCHOOL”, 1973):

$$\sqrt[5]{2^x \cdot \sqrt[3]{4^x \cdot \sqrt[1]{0,125}}} = 4 \cdot \sqrt[3]{2}.$$

Hai giá trị được cho làm nghiệm của phương trình này trong đáp số:

$$x_1 = 3, \quad x_2 = -\frac{1}{5}.$$

Rõ ràng, các trình biên dịch của “Bộ sưu tập” đã tiến hành từ lời giải sau: phương trình (1), sau khi biến đổi rộng rãi bằng cách sử dụng các thuộc tính của lũy thừa và căn thức, được viết lại dưới dạng

$$\sqrt[5]{2^5x^2 - 3} = 2^{7/3};$$

sau đó chúng tôi có

$$6x \cdot \sqrt[5]{2^5x^2 - 3} = 2^{7/3},$$

Ở đâu

$$\frac{5x^2 - 3}{6x} = 2^{7/3};$$

cuối cùng, đánh đồng các số mũ, chúng ta đi đến phương trình bậc hai có nghiệm (2).

Tuy nhiên, lời giải được chỉ định không thể được coi là đầy đủ vì các công thức tính toán vẫn chưa rõ ràng liệu các giá trị tìm thấy (2) có thực sự là nghiệm của phương trình ban đầu (1) hay không. Vấn đề này yêu cầu xác minh đặc biệt.

Trước khi tiến hành kiểm tra như vậy, chúng ta hãy nhớ lại rằng trong một khóa học toán ở trường, khi xác định biểu thức $n$a (căn số học của lũy thừa thứ $n$ của số $a$), hóa ra $n$ là một số tự nhiên lớn hơn một (xem “Đại số 8”, đoạn 24). Vì vậy, từ quan điểm của định nghĩa trường phái của biểu thức

$$0.5\sqrt[5]{4}, -\sqrt[5]{2/5}, \sqrt[5]{9}$$

cũng vô nghĩa như những biểu hiện

$$\frac{1}{0}, \sqrt{-4}, (-3)^{\sqrt{2}},$$

$$\log_2(-3), \arcsin \pi.$$

Số dương $x$ không thể được coi là nghiệm của phương trình (1); thay nó vào vế trái của phương trình sẽ thu được biểu thức vô nghĩa $-1/5\sqrt{0,125}$. Nói cách khác, đáp số (2) không chính xác; trên thực tế, phương trình (1) có một nghiệm duy nhất $x$ 3.

Gốc xuất hiện ở đâu trong lời giải đã cho? Vấn đề là phương trình (4) và (5) không tương đương: bạn