Bài toán M441—M445; F453—F457

20

Bài toán
M441 — M445; F453 — F457

M441. Một điểm tùy ý $P$ được lấy bên trong một $2n$-giác lồi. Một đường thẳng được vẽ qua mỗi đỉnh và điểm $P$. Chứng minh rằng có một cạnh của đa giác mà không có đường thẳng nào có điểm chung (có lẽ ngoại trừ hai đầu của cạnh đó).

G. Gurevich

M442. Cho một số nguyên tố $p>2$. Đối với mỗi $k$ từ 1 đến $p-1$ chúng ta biểu thị bằng $a_k$ số dư khi chia số $k^p$ cho $p^2$. Chứng minh rằng
$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{p-1} = (p^3 - p^2)/2.$$
C.Ochitin

M443. Có một bảng gồm $n \times n$ ô, mỗi ô ban đầu chứa số 0. Bạn được phép chọn tùy ý các số $n$ ở các hàng và cột khác nhau và tăng mỗi số lên 1.
a) Có thể lấy được các bảng như trong Hình 1 và 2 chỉ trong vài bước không?
b) Có thể lập được một bảng có các số phân biệt theo từng cặp không?
b) * Có thể lấy được loại bảng nào sau $T$ bước?

F. Shleifer

M444. a) Trong Hình 3, bốn đường thẳng chia mặt phẳng thành những diện tích bằng nhau:

Hình 1.
Hình 2.

21

một tam giác (1), hai tam giác (2 và 3), ba góc (4, 5 và 6), bốn “tam giác vô hạn” - mỗi diện tích được giới hạn bởi một đoạn thẳng và hai tia (7, 8, 9 và 10), và một “tứ giác vô hạn” - một diện tích được giới hạn bởi hai đoạn thẳng và hai tia (11).

Câu khẳng định có đúng với bốn đường thẳng bất kỳ trên một mặt phẳng không có đường thẳng nào song song và không có đường thẳng nào đi qua một điểm?

6. Ba đường tròn lớn không đi qua một điểm chia hình cầu thành tám hình tam giác. Hình cầu được chia thành những khu vực nào bởi bốn đường tròn lớn, trong đó không có ba đường tròn nào đi qua cùng một điểm? (Đường tròn lớn trên mặt cầu là đường tròn là giao điểm của hình cầu với mặt phẳng đi qua tâm hình cầu; Hình 4.)

c) Một hình cầu có thể được chia thành những khu vực nào bởi năm đường tròn lớn, trong đó không có ba đường tròn nào đi qua cùng một điểm?

A. Kolmodorov

M445. Tâm của các đường tròn rời rạc giống hệt nhau nằm ở tâm của các hình lục giác đều bao phủ mặt phẳng như trong Hình 5. Giả sử $M$ là một đa giác có các đỉnh là tâm của các đường tròn. Hãy tô màu những hình tròn đó hoặc các phần của chúng (những phần khác) nằm bên trong $M$ màu đỏ. Chứng minh rằng tổng độ lớn của các cung màu đỏ là $C \cdot 180^\circ$, trong đó $C = C(M)$ là một số nguyên và giải thích số này theo cách hiểu hình học.

A. Sosinsky

F453. Hệ thống cân như ở Hình 6 đặt trên một bàn nằm ngang nhẵn. Khối lượng của các hình lập phương $m_1, m_2$ và $M$. Một khối lập phương có khối lượng $m_2$ được giữ ở độ cao $l$ phía trên bàn. Nếu hệ thống được để yên, nó sẽ bắt đầu chuyển động và khối phía trên sẽ trượt dọc theo khối phía dưới. Hệ số ma sát giữa các hình khối là $k$. Khối dưới cùng sẽ di chuyển bao xa khi khối khối $m_2$ chạm vào bàn?

F454. Nếu điện áp $u_0 = 220 \text{ В}$ được đặt vào cuộn sơ cấp của máy biến áp không tải thì điện áp trên cuộn thứ cấp sẽ là $u_1 = 127 \text{ В}$. Điện áp $u_0 = 220 \text{ В}$ trên tải $R = 10 \text{ Ом}$ nối với cuộn thứ cấp của máy biến áp này sẽ bằng bao nhiêu?

Điện trở hoạt động của cuộn dây thứ nhất của máy biến áp là $r_1 = 2 \text{ Ом}$, và cuộn thứ cấp là $r_2 = 1 \text{ Ом}$. Điện trở trong của máy phát điện vẫn bằng không.

V. Skorovarov