Ốc sên Pascal

Kvant 1977, số 5 tr. 36, 39, 40, 41 Thẻ AO06

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Ốc sên Pascal

Con ốc Pascal được đặt tên *) không phải để vinh danh Blaise Pascal vĩ đại, mà để vinh danh cha ông là Etienne Pascal (1588-1651), một thẩm phán cấp tỉnh người Pháp và một người rất yêu toán học. E. Pascal đã chế tạo một con ốc sên như thế này.

Hãy vẽ một đường tròn (O, r) trên mặt phẳng, cho trước một độ dài d nhất định, chọn một điểm P tùy ý trên đường tròn này và sửa nó - đây sẽ là dải ốc Pascal. Đối với mỗi điểm K của đường tròn khác với P, chúng ta vẽ một đường thẳng KB và vẽ các đoạn M1K và KM2 trên đó theo hướng ngược lại với điểm K, sao cho |M1K|=|KM2|=d (Hình 1). Tập hợp các điểm M1 và M2 như vậy tạo thành một đường cong khép kín liên tục, được gọi là con ốc Pascal. Các sọc P có thể thuộc hoặc không thuộc về ốc tai, đảm bảo tính liên tục của đường cong.

Con ốc sên của Pascal có sự khác biệt cơ bản so với những đường cong được thể hiện trên trang đầu tiên hoặc trang thứ hai của trang bìa Im lặng năm nay - hình dạng của nó có thể thay đổi.

Hình dạng của nó phụ thuộc vào giá trị của d (Hình 2): tại d=0 con ốc trùng với (O, r), tại 0<d<2r nó có một điểm

*) Theo gợi ý của nhà toán học lỗi lạc người Pháp - một trong những người sáng lập Viện Hàn lâm Khoa học Paris J. P. Roberval (1602-1675)

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

tự giao nhau P, tại d=2r nó biến thành một cardiond, tại d>2r dải P không chứa dải tần riêng.

Chúng ta hãy trình bày ý tưởng dựa trên phương pháp xây dựng ốc tai thứ hai (Hình 3). Chúng ta hãy xem xét lại một đường tròn (O, r), trên đó có các sọc P và một điểm cố định Q, cũng như một đường tròn (Q, R) có bán kính R. Giả sử

PQ=2α. Với mỗi điểm V∈(O, r), chúng ta vẽ một đường thẳng PV và tìm các điểm M1 và M2 trên đó, sao cho nếu chúng ta vẽ các tiếp tuyến với (Q, R) từ chúng rồi quay chúng một góc α theo chiều kim đồng hồ thì chúng sẽ nằm trên PV. Tập hợp các điểm M1 và M2 là con ốc Pascal và d=R/sin α.

Hình 4 chứng minh một cách xây dựng khác của con ốc Pascal. Vòng tròn di động (O′, ρ) tiếp xúc với vòng tròn cố định (“hỗ trợ”) (O, ρ) từ bên ngoài. Hãy chứng minh rằng khi lăn (O′, ρ), một điểm M liên kết cứng với nó được mô tả bằng con ốc Pascal.

Đặt độ dài của đoạn MO là nhỏ nhất (M=M1). Chúng ta hãy chọn một điểm P trên đường thẳng OO′1 sao cho |OP|=|O′1M1|, và dựng một đường tròn (O, |OP|). Nếu vòng tròn di động được di chuyển một góc φ so với vị trí ban đầu thì các điểm O′ và M lần lượt rơi xuống các vị trí O′2 và M2. Chúng ta hãy vẽ đường thẳng M2P và tìm giao điểm N của nó với đường tròn (O, |OP|). Chúng ta nhận được |ON|=|OP|=|M1O′1|=|M2O′2|. Tứ giác ONM2O′2 (có vị trí điểm N như hình 4) là hợp của hình thang cân OPM2O′2 (POO′2=OO′2M2=φ) và tam giác cân PON. Rõ ràng tứ giác này là hình bình hành và độ dài các cạnh của nó không phụ thuộc vào góc φ. Vì đoạn NM duy trì độ dài không đổi cho bất kỳ vị trí nào của điểm M, nên trong quỹ đạo của điểm M, chúng ta nhận ra con ốc Pascal, tại điểm P - sọc của nó và trong (O, |OP|) - đường tròn (O, r).

V. Berezin

Nước đi tệ lắm anh bạn…
Thưa ngài, ngài sẽ nhận được những con ngựa đã được lắp ráp hoàn chỉnh.

Người Anh chiến thắng thậm chí không cần phải di chuyển xương; Niềm tin vào chiến thắng của anh ấy lớn đến mức anh ấy ném chúng lên bàn mà không thèm nhìn chúng. D’Artagnan quay đi để giấu sự khó chịu.

“Vấn đề là thế đấy,” Atoc nói đầy thuyết phục như mọi khi. - Thật là một hành động phi thường! Tôi chỉ gặp anh ấy bốn lần trong đời: hai điểm!

Người Anh quay lại và không nói nên lời vì học; D’Artagnan quay lại, vui mừng không nói nên lời.

Thôi nào, bạn và tôi sẽ ném xúc xắc vài lần

Bảng 2

Sự xuất hiện của các điểm riêng lẻ trong 36 lần tung xúc xắc.

khối kính
màu đỏ
màu xanh da trời

1 2 3 4 5 6

5 6 6 6 7 6

6 6 5 4 8 7

từ trò chơi dành cho trẻ em với các con số hoặc dấu chấm (điểm) từ 1 đến 6 trên các hạt - và xem tần suất hai hạt rơi ra. Để phân biệt các hình khối này, chúng ta sẽ sơn một trong số chúng màu đỏ và màu xanh lam còn lại. Bảng 1 cho thấy kết quả của 36 lần ném xúc xắc đỏ và xanh mà chúng tôi đã thực hiện.

Tất nhiên, bạn nhận được kết quả khác nhau, nhưng nếu bạn tóm tắt kết quả của mình trong bảng (2 và 3), thì rất có thể kết luận sẽ giống với kết luận của chúng tôi.

Kết luận

Lấy 1-1 không phải là một phần (đối với chúng tôi - một lần trong số 36):
Các điểm khác nhau rơi ra với tần suất xấp xỉ bằng nhau, trung bình - 1/6 số lần.
Tổng số điểm trên hai viên xúc xắc thường nằm trong khoảng từ 5 đến 9.

Nếu bạn tăng số lần ném, thì các kiểu di chuyển sẽ được tha thứ rõ ràng hơn. số lần ném càng nhiều thì càng ít

Sự xuất hiện của tổng số điểm riêng lẻ cho 36 lần tung hai viên xúc xắc.

Σ
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

kramnosmb
1 2 2 6 3 5 4 7 1 3 2

khác với 1/6 (giá trị trung bình) của một hạt có các điểm khác nhau từ 1 đến 6. Chúng ta có thể nói rằng việc mất bất kỳ điểm nào trong sáu điểm khi ném một con súc sắc đối xứng đều có khả năng xảy ra như nhau. Nhưng sự xuất hiện của các giá trị khác nhau của tổng điểm khi ném hai viên xúc xắc hóa ra không có khả năng xảy ra như nhau.

Bạn có thể cho tôi biết lý do tại sao?

Hãy lập một bảng gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra khi tung xúc xắc xanh và đỏ. Vì bất kỳ số điểm nào từ 1 đến 6 trên xúc xắc đỏ đều có thể được kết hợp với bất kỳ số điểm nào trên xúc xắc xanh, nên chúng ta có được bảng 4.

Bất kỳ sự kết hợp điểm nào trong số 36 sự kết hợp điểm trên xúc xắc màu đỏ và màu xanh đều có khả năng là bất kỳ sự kết hợp nào khác, nhưng số lượng điểm khác nhau có thể đạt được theo nhiều cách khác nhau. Do đó, tổng điểm 3 (đối với D’Artagne) có được theo hai cách: 1 + 2 và 2 + 1, và tổng 2 (đối với người Anh) chỉ có được bằng một cách (trong số 36!): 1 + 1. Và có điều gì đó đáng ngạc nhiên!

Xác suất
Bạn thấy rằng khả năng tung ra 2 và 6 trên một con xúc xắc là như nhau, nhưng việc tung ra 2 và 7 trên hai con xúc xắc thì không có khả năng như nhau. Trong những trường hợp như vậy, tổng 7 được cho là nghiêng về sáu kết quả trong tổng số 36 kết quả có khả năng xảy ra như nhau, trong khi tổng 2 chỉ nghiêng về một kết quả.

Và nói chung, việc đếm số kết quả thuận lợi trên tổng số của chúng là hành động quan trọng nhất để xác định xác suất của một sự kiện. Trong trường hợp này, ký hiệu cũng được sử dụng. Bản thân sự kiện đó (ví dụ: sự xuất hiện của tổng 7) được ký hiệu bằng chữ A và xác suất của sự kiện này là P(A). Vì thế,

$P(A) = \frac{m}{n},$

trong đó $n$ là tổng số kết quả của một thử nghiệm nhất định và $m$ là số kết quả có lợi cho sự kiện $A$ .

Hãy thử tính xác suất của một số sự kiện.

Bảng 4 có tổng cộng 36 ô. Đó là 36 kết quả có thể xảy ra khi tung hai viên xúc xắc. Điểm 7 (sự kiện $A$ ) được ưa chuộng bởi 6 kết quả. Sử dụng công thức (*) ta có: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Điểm 2 (sự kiện $B$ ) được ưu tiên bởi 1 kết quả. Theo công thức (*) $P(B) = \frac{1}{36}$ .

Sự kiện $C$ “cuộn tổng điểm, không quá 5” được 10 kết quả ưa chuộng (hãy nêu tùy ý), do đó $P(C) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ .

Sự kiện $D$ “đổ tổng số điểm lớn hơn 5” được ưa chuộng bởi 26 kết quả (tất cả đều không nằm trong $C$ ), do đó $P(D) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ .

Sự kiện $E$ “đổ số điểm chẵn trên xúc sắc đỏ và bội số run trên xúc xắc xanh” được ưa chuộng bởi 6 kết quả, vì vậy $P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Do đó, khi xác định xác suất của một số sự kiện $A$ , phải kiểm tra ba hành động:

(a) xác định tổng số kết quả (có độ tin cậy như nhau) của thử nghiệm;
(b) xác định số lượng kết quả có lợi cho sự kiện $A$ ;
c) Chia số thứ hai cho số thứ nhất.

Hãy để chúng tôi nhấn mạnh rằng ngay từ đầu chúng tôi đã tin (“theo định nghĩa”) rằng các kết quả của thí nghiệm đều có khả năng xảy ra như nhau. Điều này tương ứng với các kết quả thực tế nếu thí nghiệm có một số tính đối xứng (xương có hình lục giác - một khối lập phương, chứ không phải là một hình song song xiên và không chứa đầy thịt lợn ở một bên, đồng xu còn mới, không bị mòn, tức là nó có hình trụ, v.v.). Vì điều này, không thể giả định rằng trong thí nghiệm “xác định tổng trên hai con xúc xắc” chỉ có 11 kết quả (tổng từ 2 đến 12) - chúng không bằng nhau, xác suất của mỗi kết quả không phải là 1/11. Việc xác định các kết quả “tốt” như vậy của một thí nghiệm là một phần thiết yếu của mệnh đề (a) bài toán trong định nghĩa xác suất và sách hướng dẫn trình bày định lý cộng xác suất rằng nếu một sự kiện $C$ được chia thành một số sự kiện khác $(C_1, C_2, C_3, C_4)$ thì xác suất của nó $P(C)$ bằng tổng xác suất của các sự kiện thành phần.

Bây giờ hãy xem xét sự kiện $C$ và sự kiện $D$ “tổng số điểm lớn hơn 5”. Xác suất của chúng là $P(C) =$