Khối lượng hình cầu

10

Có lẽ học sinh nào cũng biết rõ thể tích của một quả cầu là bao nhiêu. Bạn có biết rằng thể tích đầu tiên của một quả cầu đã được Archimedes của Hy Lạp cổ đại tính toán vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên? e.?

Archimedes tính thể tích hình cầu theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là tổng hợp các tổng giữa các phần và về bản chất, rất gần với phương pháp tích phân hiện đại (xem “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10,” trang 104, 107). Phương pháp thứ hai, cơ bản hơn của Archimedes là sử dụng một nguyên lý cơ học kết hợp nguyên lý mặt cắt ngang và quy luật đòn bẩy mà ông cũng đã khám phá ra.

Archimedes đã chứng minh rằng thể tích của hình cầu nhỏ hơn thể tích của hình trụ bao quanh quả cầu một lần rưỡi:

$$V_{\text{ш}} = \frac{2}{3} v_{\text{ш}}.$$

Archimedes coi kết quả này là thành tựu lớn nhất của mình. Sau khi hoàn thành Archimedes, một quả bóng có hình trụ được khắc trên mộ của ông. Chính trên cơ sở này mà Cicero đã tìm thấy lăng mộ của Archimedes một thế kỷ rưỡi sau đó. Bây giờ nó lại bị mất.

Trong phần đầu của bài viết, chúng tôi sẽ giải thích cách Archimedes tính thể tích hình cầu bằng phương pháp cơ học của ông. Và sau đó chúng ta giải số hình học bài toán này.

Ngay cả trước Archimedes, nguyên lý mặt cắt đã được biết đến, mới được gọi là “nguyên lý Cavalieri” (xem bài viết của V. Boltyansky “Về các khái niệm diện tích và thể tích,” trang 2). Nguyên tắc này như sau.

Cho hai vật thể vào trong không gian (xem trình bảo vệ màn hình) và để bất kỳ mặt phẳng nào song song với mặt phẳng này, trong phần có vật thể này, tạo thành hai hình có diện tích bằng nhau: $S_1 = S_2$. (Nói chung, trong trường hợp này, tiết diện của mỗi vật thể có thể thay đổi.) Khi đó hai vật thể này có thể tích bằng nhau: $V_1 = V_2$.

Hãy tưởng tượng rằng cả hai vật đều được xếp từ các lớp phẳng song song rất mỏng có cùng độ dày. Nếu mỗi lớp của một cơ thể nặng bằng lớp tương ứng trong cơ thể khác nặng thì cả hai cơ thể nói chung đều nặng như nhau.

Rõ ràng là nguyên tắc mặt cắt cũng có giá trị ở dạng tổng quát hơn: nếu cho ba vật thể và trong mỗi mặt phẳng song song thì diện tích mặt cắt ngang của hai vật thể đầu tiên bằng tổng bằng diện tích mặt cắt ngang của vật thể thứ ba: $S_1 + S_2 = S_3$, thì tổng thể tích của hai vật thể đầu tiên bằng thể tích của vật thể thứ ba: $V_1 + V_2 = V_3$.

Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, Archimedes, sử dụng sự phát triển cơ học tổng quát hơn của nguyên lý tiết diện, tính tổng để biểu thị thể tích của quả bóng thông qua thể tích của hình trụ và hình nón. Cái sau đã được tính toán ngay cả trước Archimedes. Đặc biệt, Eudoxus đã chứng minh rằng thể tích của hình nón gấp ba lần

11

Thay đổi thể tích của hình trụ được mô tả xung quanh nó.

Phương pháp của Archimedes

Theo Archimedes, chúng ta hãy vẽ một hình tròn có bán kính $R$ và một hình chữ nhật có tâm chung $O$ với hình tròn, có cạnh dài $2R$ và $4R$. Chúng ta hãy nội tiếp vào hình chữ nhật này một tam giác vuông đều có một góc vuông ở đỉnh $A$ (Hình 1).

Nếu chúng ta xoay hình vẽ quanh trục $AB$, thì hình tròn khi xoay sẽ tạo thành một quả cầu có bán kính $R$, hình chữ nhật tạo thành hình trụ tròn có bán kính đáy $2R$ và hình tam giác tạo thành hình nón nội tiếp trong hình trụ có cùng đáy.

Chọn trên trục quay $AB$ điểm $C$ ở một khoảng cách nào đó $x$ từ điểm $A$ và vẽ qua điểm $C$ máy bay $\alpha$, vuông góc $(AB)$. Mặt cắt ngang của hình trụ tạo thành một đường tròn có bán kính $2R$, trong mặt cắt ngang với hình nón - hình tròn bán kính $|CD| = |AC| = x$ (vì góc ở đỉnh của hình nón thẳng); trong mặt cắt ngang với quả bóng - một vòng tròn bán kính $|CE|$. Từ Hình 1 rõ ràng rằng

$$|AE|^2 = |CE|^2 + |AC|^2 = |CE|^2 + |CD|^2.$$

Mặt khác, $AE$ là chân của tam giác vuông $AEB$ ($AB$ là đường kính của hình tròn), sau đó là $|AE|^2 = |AB| \cdot |AC|$. Kể từ đây,

$$|AB| \cdot |AC| = |CD|^2 + |CE|^2.$$

Nhân cả hai vế của đẳng thức này với số $\pi \cdot |AB|$, ta được

$$\pi \cdot |AB|^2 \cdot |AC| = \pi \cdot |CD|^2 \cdot |AB| + \pi \cdot |CE|^2 \cdot |AB|.$$ (1)

Giá trị $S_K = \pi \cdot |CD|^2$ là diện tích hình tròn do giao điểm của hình nón với mặt phẳng $\alpha$. Giá trị $S_{III} = \pi \cdot |CE|^2$ là diện tích hình tròn tính từ mặt cắt ngang của quả bóng.

Diện tích hình tròn do tiết diện của hình trụ bằng $S_{II} = \pi \cdot |AB|^2$. Do đó, chúng ta có thể viết lại đẳng thức (1) như sau:

$$x \cdot S_{II} = 2R \left( S_{III} + S_{II} \right).$$ (2)

Nếu $x$ có thể không đổi, thì với sự trợ giúp của prinizap, theo danh sách các phần, chúng ta sẽ biểu thị thể tích của hình cầu, hình nón và hình trụ theo hình tròn.

Nhưng $x$ có thể thay đổi và điều này làm cho tình hình trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Có vẻ như họ sẽ không tiến xa hơn nữa. Nhưng sau đó Archimedes đã bị ấn tượng bởi một nhận thức sâu sắc tuyệt vời, ý nghĩa của nó như sau.

Hãy đặt nó trên một đường thẳng $AB$ Blevо từ điểm $A$ đoạn $AT : |AT| = |AB|$. Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng các phân đoạn $AB$ Và $AT$ là cánh tay của đòn bẩy; điểm tựa của nó trùng với điểm $A$. Sau đó sự tương ứng với các phần hình tròn của quả bóng $S_{III}$ và hình nón $S_K$ đến mức $T$, khi đó họ sẽ “cân bằng” về điểm $A$ tiết diện hình trụ $S_{II} = \pi \cdot |AB|^2$, để lại vị trí của nó $C^*$. Archimedes thay thế rằng một sự tương ứng bổ sung được thiết lập cho bất kỳ phần nào khác của quả bóng, hình nón và hình trụ nằm trong cùng một mặt phẳng “thẳng đứng”. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là các phần của quả bóng và hình nón luôn bị “lắc lư”. Tại cùng một điểm $T$, ở khoảng cách $2R$ từ điểm tựa đòn bẩy $A$, và các mặt cắt của hình trụ cách nhau một khoảng $x$ từ điểm tựa $A$. Xem xét các phần khác nhau của ba mặt phẳng thẳng đứng của chúng ta (cách xa điểm $A$ ở những khoảng cách khác nhau $x$), mỗi lần chúng ta treo các phần của hình trụ ở những vị trí khác nhau (các phần của hình nón và hình cầu

*) Chúng ta giả sử rằng các phần $S_{III}$, $S_K$ và $S_{II}$ được làm từ cùng một vật liệu dưới dạng các đĩa tròn rất mỏng có độ dày bằng nhau.

12

Cơm. 2.

thay đổi độ lớn khi $x$ thay đổi). Bằng cách thay đổi $x$ từ 0 thành $2R$, tức là khoảng cách của toàn bộ các phần có thể thay đổi của ba vật thể, theo đó, chúng ta sẽ cân bằng từng phần (xem Hình 2). Kết quả là, tại điểm $T$, tất cả các phần của quả bóng và hình nón được treo ở bên trái và tất cả các phần của hình trụ ở bên phải (Hình 3). Archimedes viết *): “Nếu bây giờ, cũng lấy các đường tròn, chúng ta lấp đầy cả hình trụ và quả bóng bằng hình nón, thì hình trụ, giữ nguyên vị trí, sẽ cân bằng đối với điểm $A$ với quả bóng và hình nón lấy cùng nhau, nếu chúng ta chuyển chúng sang đòn bẩy ở $T$ và đặt chúng sao cho trọng tâm của chúng nằm dưới $T$.” Nhưng trung tâm

*) Chính trong những xem xét này, người ta thấy sự kết hợp chặt chẽ giữa nguyên lý mặt cắt ngang với quy luật cân bằng cơ học của đòn bẩy.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

13

Cơm. 5.

Xoay Hình 4 quanh trục thẳng đứng AB, chúng ta thu được một quả cầu có bán kính R, một hình trụ ngoại tiếp quả bóng và một hình nón tròn “kép” nội tiếp trong hình trụ với đỉnh ở tâm quả cầu O. Hình 5 cho thấy ba vật này.

Lấy điểm C trên trục quay AB cách tâm quả bóng một khoảng x nhất định rồi vẽ một mặt phẳng nằm ngang (MN) qua C. Mặt phẳng này tiết diện với hình trụ tạo thành một đường tròn bán kính $|CM| = R$, tiết diện hình nón - đường tròn bán kính $|CD| = |OC| = x$ (vì góc tại đỉnh của hình nón thẳng) và tiết diện với quả bóng - đường tròn bán kính $|CE|$. Theo định lý Pythagore $|OE|^2 = |CE|^2 + |OC|^2$, hoặc

$$|CM|^2 = |CE|^2 + |CD|^2.$$

Nhân cả hai vế của mối quan hệ này với số π, chúng ta thu được $\pi \cdot |CM|^2 = \pi \cdot |CE|^2 + \pi \cdot |CD|^2$, tức là.

$$s_ц = S_ц + s_к,$$

(3)

trong đó $s_ц$, $S_ц$ và $s_к$ lần lượt là diện tích của các hình tròn là giao điểm của hình trụ, quả cầu và hình nón với mặt phẳng (MN).

Mối liên hệ (3) được thỏa mãn đối với mọi phần khác của hình trụ, quả cầu và hình nón nằm trong cùng một mặt phẳng nằm ngang. Nhắc lại các nguyên tắc về mặt cắt ngang, chúng ta hãy chuyển từ quan hệ (3) đối với mặt phẳng sang quan hệ tương tự đối với thể tích:

$$v_ц = V_ц + v_к.$$

Vì thể tích của hình trụ thứ hai lớn hơn thể tích của hình nón “kép” nội tiếp trong đó (có cùng đáy và chiều cao), tức là $v_к = \frac{1}{3} v_ц$, nên ta thu được kết quả của Archimedes:

$$V_ц = v_ц - v_к = v_ц - \frac{1}{3} v_ц = \frac{2}{3} v_ц,$$

cụ thể là thể tích của hình cầu nhỏ hơn một lần rưỡi so với thể tích của hình trụ được mô tả.

Bài tập
Hình 6 thể hiện một hình cầu và một hình trụ có hai đầu phễu ở đáy. Chiều cao và đường kính của đáy hình trụ bằng đường kính của quả bóng. Trong hai vật này vật nào nặng hơn?