Объём шара

10

Наверное, каждый школьник хорошо знает, чем равен объем шара. А знаете ли вы, что первый объем шара посчитал древний грек Архимед еще в третьем веке до н. э.?

Объем шара Архимед нашел двумя способами. Первый способ заключается в составлении интерральных сумм и, по существу, был очень близок к современному методу интеграрования (см. «Алгебра и начала анализа 10», pp. 104, 107). Второй, более элементарный способ Архимед состоит в использовании механического принципа, сочетающего в себе принцип поперечных сечений и найdenное им же правило рычага.

Архимед установил, что объем шара в полтора раза меньше объем цилиндра, описанного около шара:

$$V_{\text{ш}} = \frac{2}{3} v_{\text{ш}}.$$

Этот результат Архимед считал самим большим своим достижением. По завершению Архимеда на его могиле был высечен шар, вписанный в цилиндр. Именно по этом признаку могилу Архимеда через полтора столета разискал Цицерон. Сейчас она снова утеряна.

В первой части статьи мы рассакжем, как Архимед нашел объем шара с помощью своего механического метода. А затем решим эту задачу число геометрических.

Еще до Архимеда был известен принцип поперечных сечений, новые известный как «приицп Кавальери» (см. статью В. Болтянского «О понятиях площади и объема», с. 2). Этот принцп состоит в следующем.

Пусть в пространстве заданы два тела (см. заставку), и пусть любая плоскость, параллельная данной, в сечении с этим телами образуется две фигуры, площади которых равны друг другу: $S_1 = S_2$. (При этом сечение каждой тела, вообще говоря, является переменным.) Тогда эти два тела имеют равные объемы: $V_1 = V_2$.

Представим себе, что оба тела выложены из очень тонких плоскопаралельных слоев одинаковой толщины. Если каждой слой одного тела весит столько, сколько весит соответствующей ему слой в другом теле, то и целиком оба тела весят одинаково.

Очевидно теперь, что принцп поперечных сечений справедлив и в более общей форме: если заданы три тела и в каждой из плоскопаралельных сечений площади сечений первого двух тел в сумме равных площади сечения третьего тела: $S_1 + S_2 = S_3$, то сумма объемов первого двух тел равна объему третьего тела: $V_1 + V_2 = V_3$.

Как мы увидим ниже, Архимед, применя более общие механические развитие принцип поперечных сечений, сумм выразить обем шара через обемы цилиндра и конуса. Посление же были посчитаны еще до Архимед. В частности, Евдокс показал, что обем конуса в три раза

11

Меные объема описанного около него цилиндра.

Метод Архимеда

Нарисуем, следуя Архимеду, круг радиуса $R$ и прямогольник, имеющий с кругом общий центр $O$, со стороны длины $2R$ и $4R$. Впишем в этот прямогольник равноведенный прямогольный треугольник с прямым углом при вершине $A$ (рис. 1).

Если врашать наш рисунок вокруг оси $AB$, то круг при врашении образует шар радиуса $R$, прямогольник — круговой цилиндр с радиусом основания $2R$, а треугольник — конус, вписанный в цилиндр, с тем же основанием.

Выберем на оси врашения $AB$ точку $C$ на некотором расстоянии $x$ от точки $A$ и проведем через точку $C$ плоскость $\alpha$, перепедикулярную $(AB)$. В сечении с цилиндром она образует круг радиуса $2R$, в сечении с конусом — круг радиуса $|CD| = |AC| = x$ (поскольку угол при вершине конуса прямой); в сечении с шаром — круг радиуса $|CE|$. Из рисунка 1 видно, что

$$|AE|^2 = |CE|^2 + |AC|^2 = |CE|^2 + |CD|^2.$$

С другой стороны, $AE$ — это катет прямогольного треугольника $AEB$ ($AB$ — диаметр круга), а потом $|AE|^2 = |AB| \cdot |AC|$. Следовательно,

$$|AB| \cdot |AC| = |CD|^2 + |CE|^2.$$

Умножив обе части этого равенства на число $\pi \cdot |AB|$, получим

$$\pi \cdot |AB|^2 \cdot |AC| = \pi \cdot |CD|^2 \cdot |AB| + \pi \cdot |CE|^2 \cdot |AB|.$$ (1)

Величина $S_K = \pi \cdot |CD|^2$ — это площадь круга, получающегося при пересечении конуса плоскостью $\alpha$. Величина $S_{III} = \pi \cdot |CE|^2$ — это площадь круга, получающегося в сечении шара.

Площадь же круга, получающегося в сечении цилиндра, равна $S_{II} = \pi \cdot |AB|^2$. Поэтому равенство (1) мы можем переписать так:

$$x \cdot S_{II} = 2R \left( S_{III} + S_{II} \right).$$ (2)

Если бы можнотель $x$ был постоянный, то с помощью принизап по переченьх сечений мы выразили бы друг через круг объемы шара, конуса и цилиндра.

Но можнотель $x$ — переменный, и это сильно осложняет ситуацию. Казалось бы, дальше не продвинутся. Но тут Архимед осеняет генциальная догадка, смысл которого состоит в следующем.

Отложим на прямой $AB$ blevо от точки $A$ отрезок $AT : |AT| = |AB|$. Представим теперь, что отрезки $AB$ и $AT$ являются плецами рычага; точка опоры которого совпадает с точкой $A$. Тогда соответствие к круговые сечения шара $S_{III}$ и конуса $S_K$ в точку $T$, то они «уравновесят» по отношению к точке $A$ круговое сечение цилиндра $S_{II} = \pi \cdot |AB|^2$, оставленное на своей месте $C^*$. Архимед заменает, что подсбное соответствие установливается и для любых других сечений шара, конуса и цилиндра, лежащих в одной и той же «вертикальной» плоскости. Тут важно отметить, что сечения шара и конуса «подещиваются» все время. В одной и той же точке $T$, на расстоянии $2R$ от точки опоры рычага $A$, а сечения цилиндра — на расстоянии $x$ от точки опоры $A$. Расматривая различные сечения наших трех тел вертикальных плоскостей (отстоящими от точки $A$ на различные расстояния $x$), мы каждый раз подвешиваем сечения цилиндра в разных местах (сечения конуса и шара

*) Мы предполагаем, что сечения $S_{III}$, $S_K$ и $S_{II}$ сделаны из одного матернала в виде очень тонких круглых дисков сдинаковой толщины.

12

Рис. 2.

меняются по величине при изменении $x$). Меняя $x$ от нуля до $2R$, т. е. расстояния всего изменяемые сечения трех тел, мы, соответственно, уравновешаем каждые три сечения (см. рис. 2). В результате слева в точке $T$ оказываются подвешенными все сечения шара и конуса, а справа — все сечения цилиндра (рис. 3). Архимед пишет *): «Если теперь, бере также кругги, заполнить им как цилиндр, так и шар с конусом, то цилиндр, оставясь в том же положении, будет относительно точки $A$ находиться в равновесии со вместе взятыми шаром и конусом, если перести их на рычаг в $T$ и помещить так, чтобы центр тяжести каждой из них оказался под $T$». Но центр

*) Именно в этих рассуждениях усматривается остроимое сочетание принципа поперечных сечений с правилом механического равновесия рычага.

Рис. 3.

Рис. 4.

13

Рис. 5.

Вращая рисунок 4 вокруг вертикальной оси AB, мы получим шар радиуса R, описанный около шара цилиндр и вписанный в цилиндр «двойной» круговой конус с вершиной в центре шара O. На рисунке 5 изображены эти три тела.

Возьемем точку C на оси вращения AB на некотором расстоянии x от центра шара и проведем через C горизонтальный плоскость (MN). Эта плоскость в сечении с цилиндром образует круг радиуса $|CM| = R$, в сечении с конусом — круг радиуса $|CD| = |OC| = x$ (так как угол при вершине конуса прямой) и в сечении с шаром — круг радиуса $|CE|$. По теореме Пифагора $|OE|^2 = |CE|^2 + |OC|^2$, или

$$|CM|^2 = |CE|^2 + |CD|^2.$$

Умножив обе части этого соотношения на число π, получим $\pi \cdot |CM|^2 = \pi \cdot |CE|^2 + \pi \cdot |CD|^2$, т. е.

$$s_ц = S_ц + s_к,$$

(3)

где $s_ц$, $S_ц$ и $s_к$ — соответственно, площади кругов, получающихся при пересечении цилиндра, шара и конуса плоскостью (MN).

Соотношение (3) выполняется для любых других сечений цилиндра, шара, и конуса, лежащих в одной и той же горизонтальной плоскости. Воспоминания принципи поперечных сечений, перейдем от соотношения (3) для плоскадей к таким же соотношенияю для объемов:

$$v_ц = V_ц + v_к.$$

Поскольку объем цилиндра второе больше объема вписанного в него «двойного» конуса (у которого те же основание и высота), т. е. $v_к = \frac{1}{3} v_ц$, мы получаем результат Архимеда:

$$V_ц = v_ц - v_к = v_ц - \frac{1}{3} v_ц = \frac{2}{3} v_ц,$$

а именно, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного цилиндра.

Задание
На рисунке 6 изображены шар и цилиндр с двумя конечками воронками на основании. Высота и диаметр основания цилиндра равны диаметру шара. Какое из этих двух тел весит больше?