[Примерные задачи вступительных экзаменов по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова в 1977 году]

52

мацини и обратной связи, применимо в основном к техническим системам. Для бихевиоральных систем (систем, обладающих поведением) основной проблемя является problema выбора решения. Сейчас общепризнано, что без математического описания таких систем невозможен програмс ни в биологически, ни в экономике. Управление в настоящие время более «физическая» наука, чем физика. Галилей так определял задачу физики: «Измерить то, что измеримо, сделать измеримым то, что нельзя измерить». Современная физика уже определялась и занимается первой половиной этой задачи. В новой науке — теории управления — одинаково важны обе стороны программы.

В то же время основные понятия этой науки быстро математизируются, а за последнее десять лет возникли настолько математизированные задалы управления, что их зачастую относят к области чистой математики: теоретическая кибернетика, теория алгоритмов, алгоритмические языки, теория ингр, дискретная математика, теория систем и т. д.

Выбирая специальность, вы часто ориентируется на те науки, в которых к настоящему моменту получены наиболее доступные. Физика — одна из таких наук. Однако вспомним, что проблема высвобожжения atomной энергии была формулирована в 20-х годах. Те, кто поступил тогда на физические факультеты, решили эту проблему в 40—50-х годах. И только тогда об этом заговори-la пресса, и абитуренты хлынули на физические факультеты.

А Макс Планк мечтал посвятить себя математической экономике, но понял, что экономика — слишком сложная наука для его времени, и лишь тогда он решил занять теоретической физикой.

В настоящее время управление как точная наука только складывается. Ей нужны свои Галилей, Ньюотоны, Эйштейны и Планки. Ими будут те, кто сейчас придает учиться этой науки. Возможно, что в будущем они смогут сказать словами Дирака: «Я благодарен судьбе, что родился вовремя: будь я старше или моложе на несколько лет, мне не представились бы столь блестишевозможности».

Без сомнения, в этом смысле факультет управления и прикладной математики — самый перспективный из существующих факультетов МФТИ. Однако это и самый трудный для обучения факультет. Здесь наиболее известная учебная программа и загрузка студентов.

С другой стороны, на нашем факультете наиболее полезно просвить способности студента. Если вы обладаете инженерным мышлением, то можете занять прикладными вопросами управления; если физический, то новых постановками, формилизаемый проблем; если математический, то строим доказательством формулированных на физическом уровне положений и гипотез.

Если вы считаете, что это вам по силам — поступайте на наш факультет!

Ю. Иванов

Примерные задачи вступительных экзаменов по математике вузы в 1977 году

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, как и другие вузы страны, в 1977 году будет проводить вступительные экзамены по математике по двум программам (см. «Квант», № 2).

Предлагаемые ниже задачи рассматриваны на то, чтобы помочь школьникам, кончащим школьу в 1977 году по новей программе, подготовиться к вступительных экзаменам по математике на различных факультеты МГУ.

1. Алгебра и начала анализ

2. Найти промежутки возникания и убывания, исследовать на экстремум и построить графики следующих функций:

a) $y = x^4 - 4x^2$;

b) $y = x^3 - 3x^2 + 2x$.

2. Применение дифференциального исчисления.

a) Найти абсциссы точек графика функции $y = \frac{1}{2} \sin 2x - \sin x$, определяной на отрезке [0; 2π], касательные в которых к графику этой функции параллельны прямой $y + x - 1 = 0$.

b) Найти величины угла между двумя касательными, проведенными из точки (0;-1) к графику функции $y = x^2$.

3. Задание на максимум и минимум.

a) Найти критические точки и наиболее значения следующих функций:

$y_1(x) = |x^2 - 3x + 2|$, $x \in [-5; 4]$;

$y_2(x) = |(x+1)(2x - 5)|$, $x \in [-2; 3]$.

b) В получруг единного радиуса вписать прямой наибольший площадь, одна из сторон которого лежит на диаметре.

4. Решить уравнения

a) $\cos x - \sin x = \sqrt{1 + \sin x \cos x}$;

b) $\log_{2x^2 - 2}(3x^2 + x - 4) = \log_8 16 - \log_{27} 3$.

5. Решить неравенства

53

a) $|x^2 - 5x + 6| > \left| \frac{x}{2} - 1 \right|$;

b) $\log_8 \cos x \leq \log_{1/27} 3$;

c) $\frac{1}{\lg x} + \frac{1}{(1 - \lg x)} > 1$;

d) $\sqrt{2x + \sqrt{x^2 + 5}} \geq x + 1$.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
   a) $y = x^2, x + y = 2$;
   b) $y = x, y = x + \sin^2 x, x = \pi/2 (x > 0)$.

7. Задачи с параметрами.
   a) Найти все значения параметра $a$, при которых функция $f(x) = x^3 - ax - 1$ имеет точку максимума $x_0$, в которой $f(x_0) > 0$.
   b) При каком значении параметра $a$ касательные к графику функции $y = x^3 - a^2 x$, проведенные в точках с абсциссами $x = 0$ и $x = a$, перепределения?
   b) При каком значении параметра $a$ решить уравнение $|x^2 - 5x + 6| = ax$.
   g) При каком значении параметра $a$ решить неравенство
   $$\frac{ax - 1}{x - a} > 1.$$

8. Системы уравнения и неравенства.
   a) Найти множество решений системы неравенства
   $$\begin{cases} 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4, \\ x + y \leq 1, \\ x - 2y \leq 2. \end{cases}$$
   b) Найти множество решений системы уравнения
   $$\begin{cases} |xy - 4| = 8 - y^2, \\ xy = 2 + x^2. \end{cases}$$
   b) Найти множество решений системы неравенства
   $$\begin{cases} 6 \cdot 2^{4y} + 2^{2y} - 12 > 0, \\ 2^{2y} + 2^{y+1} - 8 < 0. \end{cases}$$

9. Геометрия

10. При каком взаимном расположении прямых $p$ и $q$ выполняется равенство $S_p S_q = S_q S_p$, где $S_p$ и $S_q$ — преобразования симметрики относительно указанных прямых.

11. Показать, что если $\alpha_1 + \alpha_2 = 0$, то $R_{O_2}^{\alpha_1} R_{O_1}^{\alpha_2}$ есть параллельный перенос $a$, а при $\alpha_1 + \alpha_2 \neq 0$ поворот $R_0^\alpha$. Определить длину и направление $a$ в первом случае, $O$ и $\alpha$ во втором.

12. В плоскости даны две взаимно перpendикулярные прямые $OX$ и $OY$ и две точки $A$ и $B$ такие, что $A \in [OX), B \in [OY)$, причем $|OA| = |OB|$. Пусть $l_1 = R_0^\alpha((OY))$ и $l_2 = R^{-\alpha}A((AB))$, где $\alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$.

При каких значениях $\alpha$ прямые $l_1$ и $l_2$
a) параллельны;
b) перpendикулярны?

4. Найти площадь треугольника $ABC$, если $|AC| = 3, |BC| = 4$, а медианы $AK$ и $BL$ перpendикулярны.

5. Прямы $a_1, a_2$ и $a_3$ параллельны, причем расстояния от прямой $a_2$, содержащая в полосе с краями $a_1$ и $a_3$, до двух других равны $b$ и $c$. Найти длину стороны равностороннего треугольника, вершины которого по одной расположены на прямых $a_1, a_2$ и $a_3$.

6. На стороне $AB$ и продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точки $D$ и $E$ соответствующего так, что $|AE| = |BE| = b, |BD| : |AD| = 1:3$. Найти радиус круга, вписанного в треугольник $ADE$, если известно, что $|AB| = a$ и $b > a$.

7. Равносторонний треугольник с длиной стороны $a$ повернули на угол $\alpha$ ($0 \leq \alpha < 360^\circ$) вокруг своего центра. Найти площадь пересечения исходного и повернуть треугольник.

8. Внутри равностороннего треугольника $ABC$ взята точка $O$ так, что $|OA| = \sqrt{19}, |OB| = \sqrt{13}, |OC| = \sqrt{17}$. Вычислить $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC}$.

9. В тетраэдре $ABCD$ длины ребер удовлетворяют соответствующим
   $$|AB|^2 + |DC|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 + |BC|^2.$$
   Доказать, что три пары скрещивающихся ребер тетраэдра взаимно перpendикулярны.

10. Плоскость проходит через вершину $A$ треугольной прямой $SABC$, делит пополам медиану $SK$ треугольника $SAB$ и пересекает медиану $SL$ треугольника $SAC$ в точке $D$ такой, что $|SD| : |DL| = 1:2$. В каком отношении делит эта плоскость объем прямой?

11. В куб вписка с ферма, касающаяся всех граней куба. Найти длину хорды, которая высекается на ферме прямой, проходит через двумя скрещивающими двумя скрещивающими ребрами куба.

12. На трех ребрах куба $K_1 = A_1A_2A_3A_4A_1'A_2'A_3'A_4'$ выбраны точки $P_1 \in [A_1A_4], P_2 \in [A_3A_4']$, $P_3 \in [A_1'A_2'']$ так, что
    $$|P_1A_4| : |P_1A_1| = 1:2,$$
    $$|P_2A_3| : |P_2A_3'| = 1:3,$$
    $$|P_3A_2'| : |P_3A_1'| = 1:2.$$

К кубу $K_1$ внешним образом приставлен куб $K_2 = B_1B_2B_3B_4B_1'B_2'B_3'B_4'$ так, что $A_1 = B_1, A_1' \in [B_1B_1']$, $A_2 \in [B_1B_2]$, причем $|A_1A_2| : |B_1B_2| = 1:3$. Плоскость, проходитшая через точки $P_1, P_2$ и $P_3$, делит куб $K_2$ на две части. Найти отношение их объемов.

B. Вавилов, B. Тихомиров