Площадь и интеграл

30

Площадь и интеграл

Из статьи В. Болтянского «О понятиях площади и объема», помещенной в этом номере, вы узнали об определении и различных способах вычисления площадей. Наиболее универсальным из них является применение интегрального исчисления. Об этом способе и躬дет речь в настоящей статье (она рассчитана на десятиклассиков). Но сначала советуем вам заглянуть в учебник «Алгебра и начала анализа 10» и просмотреть еще раз пункты 97—102 и таблицу первогообразных на с. 219.

Площадь — это интеграл

Рассмотрим кривolineную трапецию на рисунке 1. Эта фигура ограничена графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, определяемой на отрезке $[a; b]$, прямыми $x = a, x = b$ и осью абсцисс $y = 0$. Ее площадь $S$ равна

$$F(b) - F(a),$$

где $F$ — какая-нибудь первогообразная для функции $f$ («Алгебра и начала анализа 10», п. 100). Вспоминая определение интеграла («Алгебра и на-

чала анализа 10», п. 101), формулу для вычисления площади можно переписать так:

$$S = \int_{a}^{b} f(x) dx.$$

Пример 1. Наимпплощадь фигуря ограничена осью абсцисс, прямыми $x = -1, x = 1$ и графиком функции $y = 1 - x^2$ (рис. 2), поэтому по формуле (1) ее площадь

$$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx.$$

Так как первообразной для функции $f(x) = 1 - x^2$ является функция

$$F(x) = x - \frac{x^3}{3},$$

то

$$S = \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \frac{4}{3}.$$

Вы видите, что в этом примере нам не пришлось прибегать к каким «ухшреням»; для решения задачи оказалось достаточно воспользоваться готовыми формулами. Но так бывают далеко не всегда.

Адитивность

Решать более сложные задачи на вычисление площадей помогает свойство addumивности площади. Оно «разрешает» разбить данную фигуру на части и подчитать площадь всей фигуры как сумму площадей этих частей.

Рис. 1.

Рис. 2.

31

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x$, $y = 1/x$, $y = 0$, $x = e$.

Эту фигуру (рис. 3) можно рассматривать как кривой нелинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми $x = 0$ и $x = e$ и графиком функций, которая на отрезке [0; 1] равна $x$, а на отрезке [1; $e$] равна $1/x$. Однако написать переобразную для такой функции нельзя.

Позному разобем данную кривой нелинейную трапецию примой $x = 1$ на две части (рис. 3). Их площади сразу находятся по формуле (1):

$$S_1 = \int_0^1 x dx, \quad S_2 = \int_1^e \frac{1}{x} dx.$$

Так как переобразной для функций $f_1(x) = x$ является функция $F_1(x) = x^2/2$, а переобразной для функций $f_2(x) = 1/x$ является (при $x > 0$) функция $F_2(x) = \ln x$, то

$$S_1 = \int_0^1 x dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1}{2},$$

$$S_2 = \int_1^e \frac{1}{x} dx = \ln x \bigg|_1^e = 1,$$

и по свойству адитивности площади

$$S = S_1 + S_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$

Инвариантность

В более сложных задачах помогает еще одно свойство площади, которое называется инвариантностью относительной перемещений: конгруэнтные функции имеют равные площади.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

$$y = \sqrt{x}, \quad y = 2, \quad x = 0.$$

32

Адитивность и инвариантность площади не только облегчают нахождение площади криволинейной трапеции, но и позволяет находить площади более сложных фигур, например, ограниченных графиками некоторых функций и сверху, и сизу—плошади «бикриволинейных трапеций».

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 2, y = 1 - x^2, x = 0, x = 1$.

Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми $x = 0, x = 1, y = 0$ (осью абсцисс) и графиком функции $y = 1 - x^2$, дополняет данную фигуру до криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = 0, x = 1, y = 0$ и графиком функции $y = x^2 + 2$ (рис. 6, а). Иными словами, данную в условиях фигуру можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций (рис. 6, б, θ). Поэтому площадь

$$S = \int_0^1 (x^2 + 2) dx - \int_0^1 (1 - x^2) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 2x \right) \bigg|_0^1 - \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_0^1 = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{5}{3}.$$

Это рассужждение легко обобщается следующим образом.

Пусть $f$ и $g$—две непрерывные функции, определенные на отрезке $[a; b]$, причем для всех $x \in [a; b]$ выполено неравенство $f(x) \geq g(x)$.

Тогда площадь фигуры, ограниченной графиками функции $y = f(x), y = g(x)$ и прямыми $x = a, x = b$ (рис. 7), равна

$$S = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx.$$

А поскольку разность интервалов двух функций (на одном и том же отрезке) равна интервалу от их разности («Алгебра и начала анализа 10», п. 106), то выражение для $S$ можно записать так:

$$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx. \tag{2}$$

Если $g(x) \geq 0$ при $x \in [a; b]$, то формула (2) выводится так же, как в примере 4. Если же в некоторых точках $g(x) < 0$, то прибавим к обеим функциям одну и ту же константу $k$, которая выберем настолько большей, чтобы графики функции $y = f(x) + k$ и $y = g(x) + k$ оказались выше оси абсцисс (рис. 8). Фигура на рисунке 7 получается из фигуры на рисунке 8 параллельным переносом и потому имеет также площадь. К фигуре на рисунке 8 применена формула (2):

$$S = \int_a^b \left[ (f(x) + k) - (g(x) + k) \right] dx.$$

Но

$$(f(x) + k) - (g(x) + k) = f(x) - g(x).$$

Отсюда получаем формула (2) и для фигуры на рисунке 7.

Если графики непрерывных функций $f$ и $g$, заданных на отрезке $[a; b]$, пересекаются, и местами $f(x) > g(x)$, а местами $g(x) > f(x)$ (рис. 9), то пло-

33

шадь функры, ограниченной графиками функций $f$ и $g$ и прямыми $x = a$, $x = b$, равна

$$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx. \tag{3}$$

Эта формула обобщает формулу (2) (доказите ее самостояльно).

Пример 5. Найти площадь $S$ функции, заключенной между линиями $y = x^3 - 3x$ и $y = x$.

Данные линии пересекаются в точках с координатами $(-2; -2)$, $(0; 0)$ и $(2; 2)$ (рис. 10), причем $(x^3 - 3x) - x = x^3 - 4x$ и $|x^3 - 4x| = x^3 - 4x$ при $-2 \leq x \leq 0$, $|x^3 - 4x| = 4x - x^3$ при $0 \leq x \leq 2$. Поэтому по формуле (3)

$$S = \int_{-2}^{2} |(x^3 - 3x) - x| \, dx =$$

$$= \int_{-2}^{2} |x^3 - 4x| \, dx = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx +$$

$$+ \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left( \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right) \bigg|_{-2}^{0} +$$

$$+ \left( 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right) \bigg|_{0}^{2} = 4 + 4 = 8.$$

Заметив, что функра на рисунке 10 симметрина относительно начала координат, можно получить более короткое решение этой задачи:

$$S = 2 \int_{0}^{2} |(x^3 - 3x) - x| \, dx =$$

$$= 2 \int_{0}^{2} |x^3 - 4x| \, dx = 2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx =$$

$$= 2 \cdot \left( 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right) \bigg|_{0}^{2} = 2 \cdot 4 = 8.$$

Вычисление интегралов

До сих пор мы применяли интегральное исчисление для решения геометрической задачи — вычисление площадей. Теперь применим геометрическое сообщение к вычислению интегралов.

Пример 6. Вычислить интеграл

$$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx.$$

Графиком функции $y = \sqrt{1 - x^2}$, заданной на отрезке $[0; 1]$, является четверть окружности радиуса 1 с

34

Рис. 11.

центром в начале координат (рис. 11),
позтому $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$ – это плоскый четверти кругга радиуса 1, так что этот интервал равен $\pi/4$.

Пример 7. Найти первообразную для функции $f$ можно задать формулой

$$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$

(«Алгебра и начала анализа 10», п. 102).

В данном случае положим $a = 1$, тогда нам надо вычислить интервал

$$F(x) = \int_1^x \ln t \, dt.$$

Если $x > 1$, то этот интервал равен площади функции, отмещенной красным цветом на рисунке 12. Отразим ее относительно прямой $y = t$; тогда она отображится в функции (рис. 13), ограниченной прямыми $t = 0, t = \ln x$ и графиками функции $y = x$ и $y = e^t$ (функция, обратная к $y = \ln t$). Площадь этой функции по формуле (3) равна

$$\int_0^{\ln x} |e^t - x| \, dt.$$

Поскольку $e^t \leq x$ при $0 \leq t \leq \ln x$, мы получаем

$$F(x) = \int_1^x \ln t \, dt = \int_0^{\ln x} (x - e^t) \, dt = (xt - e^t) \bigg|_0^{\ln x} = x \ln x - x + 1.$$

Общий вид первообразной для функции $f(x) = \ln x$ при $x \geq 1$ таков:

$$F(x) = x(\ln x - 1) + C,$$

где $C$ – произвольная постоянная. Продиференцировав функцию $F$, можно убедиться в том, что она действительное является первообразной для функции $f$, причем и при $x \in ]0; 1]$.

Цикл Карно

В школьном учебнике по физике формула для к.п.д. цикла Карно приводится без вывода. Но, используя интегральное исчисление, вывести эту формулу не слишком трудно.

Для этого подсчитаем работу, совершаемую 1 молем газа в цикле Карно. Напомним, что при изменении значимого им объема от $V_1$ до $V_2$ газ совершает работу, которая численно равна площади кривойной трапеции, ограниченной графиком функции $p(V)$, осью $OV$ и прямыми $V = V_1$, $V = V_2$ («Физика 9», п. 21), т. е. интегралу

$$\int_0^{V_1} p(V) \, dV.$$

Цикл Карно (рис. 14) состоит из четырех участков (о цикле Карно см. «Квант», 1977, №1).

На участке $ab$ проискодит изотермическое расширение газа от объема $V_1$ до объема $V'_1$ при постоянной тем-