Ошибки в «Ошибках...»

55

Ошибки в «Ошибках…»

Представьте себе, что вы принимаете вступительные экзамены по математике. Перед вами сидит абитриент, желет ваших вопросов, а вы должны обеективно и справедливо оценить его знания.

Сначала вы предлагаете ему решить следующую задачу: найти корни уравнения $\log_{3x^2}(9x^4)-\log_{x^2/3}x^2=0$. (1)

Послепающий дает такое решение.

«Область допустимых значений неизвестного данного уравнения является множество действительных чисел, кроме $x=0$. Затем, перейдет к новому основанию логарифмов $|x|$ и предарительно проверив, что $|x|=1$ не будет корнем уравнения (1), абитриент получает уравнение

$$\frac{\log_{|x|}(9x^4)}{\log_{|x|}(3x^2)} = \frac{\log_{|x|}x^2}{\log_{|x|}\frac{x^2}{3}} = 0,$$

из него

$$(\log_{|x|}3+2)(1-\log_{|x|}3)=0,$$

откуда, наконец, получает и «Ответ:

$$x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_3 = 3, x_4 = -3.$$ (2)

Вы, видимо, объясните абитриенту, что он допустил грубую ошибку. В действительности ОДЗ уравнения (1) такое:

$$x \neq 0, x \neq \frac{1}{\sqrt{3}},$$

а потому указываемые в ответе (2) значения $x_1=1/\sqrt{3}$ и $x_2=-1/\sqrt{3}$ корнями уравнения (1) не являются. Кроме того, вы отметите, что переход к новому основанию логарифмов $|x|$ — крайне нерациональный метод решения уравнения (1); оно решается устно, поскольку $\log_{3x^2}(9x^4)=2$.

Послевперед абитриентом другую задачу: постипить график функции

$$y = \left| \frac{x-1}{x-2} \right|,$$

вы с первого взгляда на полученный абитриентом график (см. рисунок) заметите, что и эта задача решена неверно. В самом деле, функция (3) при $x=1$ принимает нулевое значение, тогда как изобразенная на рисунке кривая с осью абсцисс не пересекается.

Можно определенно утверждать, что постипящий с таким значениями студентом не станет. Однако по крайней мере приведенные ошибочные решения взятые во все не из работы ненадного абитриента, а из поиска для постипации $x^*$, где они, как ни странно, выдаются за правильные (см. стр. 48—49, 99—100).

*) Тупиков В. А., Ошибки в решении конкурсных задач на вступительные экзамены по математике, изд. 4-е, переработанное и дополненное (Минск «Вышийшая школа», 1974, 144 стр., тираж 150 000 экз., цена 16 коп.).

$$20\log_4x\sqrt{x}+7\log_{16x}x^3-3\log_x2^2=0$$

есте множество $x>0$, что лишь по случаиности не приводит в дальнейшем к ошибке. Непоследовательность автора можно проиллюстрировать тем, что $x=-6$ он считает корнем уравнения

$$(x+5)x^2+x-2=1$$

(стр. 39—40), однако $x=-3$, $y=2$ решением системы

$$\begin{cases} x^2=9, \\ y=\sqrt{324}=2x^2 \end{cases}$$

не признает (с. 50—51). Из текста невозможно понять, когда проверка является обязательной частью решения уравнения и когда ее проверить не нужно (см. с.26; 37, 45 и др.). По поводу уравнения

$$\sqrt{2x^2-8x+12}=6$$